北师大版数学八年级上册三角形内角和定理课件(第1课时30张)

C
D4
1
40°2
3
A
E
B
课堂检测
能力提升题
如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，
∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE. ∴∠CED=∠B=78°. 又∵∠C=60°, ∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C） =180°-（78°+60°） =42°．
探究新知 知识点 2 三角形内角和的应用
例 如图所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是 △ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
探究新知
解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形
A
内角和定理）.
∵∠B=38°，∠C=62°（已知），
B
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）.
7.5 三角形内角和定理 （第1课时）
导入新知
情
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了
境 自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官
引 给它们评判一下吧. 入
不对，我有一 个钝角，所以 我的内角和才
我的形状 最大，那 我的内角 和最大.
是最大的.
我的形状最 小，那我的 内角和最小.
素养目标
2. 会运用三角形内角和定理进行计算. 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角 形内角和等于180°．
A
H
E
1
B
34 2
D F
C G
A
P
Q
E
14
23 F
D
C
B
G
H
试一试 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？
探究新知
知识要点 作辅助线
在这里，为了证明的需要，在本来的图形上添画的 线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同 旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
探究新知
三角形的内角和定理的证明 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
还有其他的拼接 方法吗？ 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说 明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
探究新知
验证结论 三角形三个内角的和等于180°. 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°.
∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
巩固练习
变式训练
直线l1∥l2，把一块含45°角的直角三角尺如图放置， ∠1＝85°，则∠2＝______4_0_°．
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
几何问题借助 方程来解. 这 是一个重要的
数学思想.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°.
巩固练习
变式训练
完成下列各题：
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠C= 102 ； ②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 °
探究新知
素养考点 2 方程的思想与三角形内角和相结合的题目
例2 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，
∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°， ∠C为(x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
l 12
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
探究新知
证法2：延长BC到D，过点C
作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错
角相等)
∠B=∠2.(两直线平行，同位角
如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是
△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD=
1
2∠BAC=20
°.
C
在△ABD中，
D
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
A
B
=85°.
探究新知
素养考点 1 利用三角形的内角和定理求角的度数 例1 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB 于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB，
课堂检测
基础巩固题
1.求出下列各图中的x值．
70
40
x
x=70
2x° x°
x=30
x°
x° x°
x=60
x° 20°
25°
45°
x=50
课堂检测
基础巩固题
2.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°， 则∠C= 100 °．
3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____2_8_0_°___ .
D北
∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，
∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB
.
=180°-60°-30° =90°,
A
北E
.C
.
B 东
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角 ∠ACB是90°.
巩固练习
变式训练
如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的 方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40° 的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角 ∠BAC是多少度？
课堂检测
拓广探索题
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若 ∠BAC=60°，求∠BPC的度数．
解：∵△ABC中，∠A=60°, ∴∠ABC+∠ACB=120°. ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （12 ∠ABC+∠ACB）=60°. ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°, ∴∠BPC=180°-60°=120°.
课堂小结 通过本课时的学习，需要我们掌握：
辅助线
三角形的 内角和等 于180 °
证法 应用
转化为一个平角 或同旁内角互补 求角度
课后作业
作业 内容
教材作业 从课后习题中选取
自主安排 配套练习册练习
___直__角____三角形 ；
③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则
∠A= ，60∠ B= ，50∠ C= 7.0
°
°
°
探究新知
素养考点 3 利用三角形的内角和定理解决实际问题
例3 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在
A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °
连接中考
1.（202X•杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内 角的差，则（D ） A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45° C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
2.（202X•百色）三角形的内角和等于（ B ） A．90° B．180° C．270°
D．360°
方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C
岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
D北
北E
.C
.
.
B
A
东
探究新知
解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°,
探究新知
知识点 1 三角形的内角和定理
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°. 与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.
思考 除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和
为180°呢?
还可以用拼 接的方法， 你知道怎样 操作吗？
折叠
探究新知
剪拼
A
1 2
B C
（小组合作，讨论剪拼方法.各小组代表 演式剪拼过程）
C D
∵AD平分∠BAC（已知）
∴∠BAD=∠CAD=
1∠BAC=的定义）
2
在△ ADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）.
∵∠B=38°（已知）,∠BAD=40°（已证）,
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）.
巩固练习
巩固练习 解：因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向, 所以∠ABD＝60°. 又因为∠DBE＝90°， 所以∠ABE＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°. 因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向， 所以∠ACE＝90°－40°＝50°. 所以∠BAC＝∠ACE－∠ABE＝50°－30°＝20°. 即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.
A
相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
B
E
1 2
CD
探究新知
证法3：过D作DE∥AC,作
DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
A
(两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF.
E F
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， B
D
C
∴∠A+∠想B一+∠想C同=1学80们°还. 有其他的方法吗？
探究新知
思考 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什
么？ A
A
D
1
ll
Am
1
B
2
CB
4 35
C
2 4 56
B
P
3
C
E
借助平行线的“移角”的功能， 将三个角转化成一个平角.
探究新知