高考数学临考易错易混易忘问题备忘录

高考数学临考易错、易混、易忘问题备忘录 （ 三 ）
集美中学数学组 刘 海 江
◆ 42、“实系数一元二次方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042
≥-=∆ac b ”，你
是否注意到必须0≠a ；当0=a 时，“方程有解”不能转化为042≥-=∆ac b 。

若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情
形。

例 若方程0342=++x mx 有实根，则实数m 的取值范围为_ ]3
4
,(-∞ _。

◆ 43、分式不等式)0()
()(≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么? 移项通分使不等式的一端为0，化分式不等式为整式不等式，切记不要两边同乘)(x g ，若乘)(x g ，要对)(x g 的符号进行分类作答。

例 11>x
100)1(0)1(01011<<⇔<-⇔>-⇔>-⇔>-⇔x x x x x x x x ◆ 44、解无理不等式有哪几种常规题型？它们的等价不等式组是怎样的？ ⎩⎨⎧<≥⇔>0)(0)()()(x g x f x g x f 或⎩⎨⎧>≥2)]
([)(0)(x g x f x g ； ⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0
)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ； ⎪⎩
⎪⎨⎧>≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f
◆ 45、解指、对数型不等式应该注意什么问题？
利用指数函数与对数函数的单调性，将不等式两端化为同底的表达式，再将指、对数不等式化为普通不等式来解，（化超越为普通）。

并要注意对数的真数大于零。

例 2)41(log 4>-x
◆ 46、含有两个或多个绝对值的不等式如何去掉绝对值？
一般是分类讨论，利用绝对值的定义，去掉绝对值，一般采用零点分区间的方法去掉绝对值，特例采用两边平方。

例 |5||1|,2|1|||-<->-+x x x x
◆ 47、利用均值不等式ab b a 2≥+ 以及变式2)2(
b a ab +≤等求函数的最值时，你是否注意到+∈R b a ,（或b a ,非负），且“等号成立”时的条件，积ab 或和b a +其中之一
应是定值？（一正，二定，三相等）
例 0,0>>y x 且191=+y
x 求y x +的最小值？（16） ◆ 48、在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？
一般没有固定的方法，要根据不等式的特征而定，如二次不等式两根不定时要讨论其大小来定解集。

指对数不等式的底没有指明时要对底：10<<a 或1>a 讨论完之后转化为普通不等式来解，解完要写出：综上所述，原不等式的解集是……。

例x x a a 4log )1(log >+ （请读者自己来解）
◆ 49、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”。

分类要不重不漏，要把握好分类的时机。

例 已知1>a 解关于
x 的不等式)]2(1[log )1(log 2-+>-x a x a a （{a x x x a
x >⋃<<-|{}212|}） ◆ 50、恒成立不等式问题通常解决的方法是什么？
借助相应函数的单调性求解，其主要技巧有数形结合法，分离变量法（转化为熟悉函数的最值问题），主元法。

例 若012≥++ax x 对一切]2
1
,0(∈x 恒成立，则a 范围是什么？ ◆ 51、直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。

以及各种形式
的局限性。

（如点斜式不适用于斜率不存在的直线）。

例 过点（1，2）的所有直线为：)1(2-=-x k y 或1=x （易丢掉1=x ）截距式注意截距为0的情况，例如过点A （1，
2）在坐标轴上的截距相等的直线方程为 。

◆ 52、设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，你是否注意到直线垂直于x 轴时，斜率
k 不存在的情况？例如：一条直线经过点（2
3,3--），且被圆2522=+y x 截得弦长为8，求此弦所在直线的方程。

该题就要注意，不要漏掉03=+x 这一解。

◆ 53、简单线性规划问题的可行域求作时，要注意不等式表示的区域是相应直线的上方、
下方，是否包括边界上的点。

（边界的虚实）
◆ 54、对不重合的两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有
0;//2121212
211122121=+⇔⊥⎩⎨⎧≠=⇔B B A A l l C A C A B A B A l l 例 若是013)2(=+++my x m 与03)2()2(=-++-y m x m ①互相垂直时，则m =_________；② 互相平行时，则m =_______。

求两平行线间距离时要把y x ,前的相应系数化为相等，再用2221|
|B A C C d +-=来求解。

◆ 55、直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0。

截距为0时的图形过（0，0）不
能用截距式。

（截距不是距离）
◆ 56、直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为1=+b
y a x ，但不要忘记当0=a 时，直线kx y =在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等。

◆ 57、处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（几何特征）（2）直
线方程与圆的方程联立，利用判别式。

（代数特征）一般来说，前者更简捷，但后者更具有一般性。

例如，圆 122=+y x 与直线θsin ·x +θcos ·y +1=0的位置关系为___________.
◆ 58、处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系。

（初中已有交待） ◆ 59、在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形。

例 直线0
1=-+y x 被122=+y x 截得的弦长为___________.
◆ 60、定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及λ值可要搞清）若λ=，
则),(y x p 公式为____________.
◆ 61、在利用定比分点解题时,你注意到1-≠λ了吗?
◆ 62、曲线系方程你知道吗？直线系方程？圆系方程？共焦点的椭圆系，共渐近线的双曲
线系？0),(),(21=+y x F y x F λ等。

例 过点),(b a 的线系：a x =或)(a x k b y -=-，与kx y =平行线系：b kx y +=，过0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 交点的直线，0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（不包括2l ），过曲线
0),(1=y x F 与),(2y x F =0的交点线系：),(1y x F +),(2y x F λ=0，
（不包括),(2y x F ＝０） 与椭圆)0(,122
22>>=+b a b
y a x 有相同焦点的椭圆方程 为)0(,12222
22>+>+=+++m b m a m
b y m a x 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设),0,0(,12
2n m n m n
y m x ≠>>=+，可避免讨论和繁杂的运算，也可设),0,0(,122B A B A By Ax ≠>>=+更为简洁。

与双曲线)0,0(,122
22>>=-b a b
y a x 有相同渐近线的双曲线方程可设为：)0,0(,22
22>>=-b a b
y a x λ ◆ 63、两圆相交所得公共弦方程是相减消去二次项所得。

200r y y x x =+表示过圆
222r y x =+上一点),(00y x 的切线，若点),(00y x 在已知圆外，200r y y x x =+表示什么？（切点弦）
◆ 64、椭圆方程中三参数c b a ,,的满足2
22c b a =+对吗？双曲线方程中三参数应满足什
么关系？（求e 只需知c b a ,,的另一关系式）（离心率对图形的影响）
◆ 65、椭圆，双曲线中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形。

（c b a ,,） ◆ 66、若a PF PF 2||||21=+，则动点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的椭圆吗？若a PF PF 2||||||21=-，则动点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线，对吗？第一定义中要注意什么？
◆ 67、在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几
何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合。

◆ 68、在利用圆锥曲线统一定义（第二定义）解题，你是否注意到定义中的定比的分子分
母的顺序？ 焦半径的求法。

◆ 69、在用圆锥曲线与直线联立求解时，消去后得到的方程中要注意：二次项的系数是否
为零？判别式0≥∆的限制。

（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在0>∆下进行）焦点∆面积公式：2cot ,,,2tan 22θ
θ
b b （θ是焦距所对的角）
◆ 70、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。

其长为p 2。

◆ 71、过抛物线)0(22
>=p px y 焦点的弦交抛物线于A （11,y x ），B （22,y x ），则4
2
21p x x = ，p x x AB p y y ++=-=21221||,。

◆ 72、若A （11,y x ），B （22,y x ）是二次曲线C ：),(y x F =0的弦的两个端点，则
F ),(11y x =0且F ),(22y x =0。

涉及弦的中点和斜率时，常用点差作法作F ),(11y x －F ),(22y x =0求得弦AB 的中点坐标与弦AB 的斜率的关系。