2020年高考数学满分秘籍

集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．
1
（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。 有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语
言）和自然语言之间的转化如： A x, y | x2 y2 4 ，
为三角最值求解。
x2 y2
【练 2】（05 高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线 1 4 b2
b0
上变化，则 x2 2 y 的最大值为
（）
（A）
b2 4

40

2b b 4
b

4 （B）
b2
40

4
2b b 2
b

2 （C）
b2 4
再求
1 x
y f 1 x 1 的反函数得 g x 2 x 。正确答案：B
1 x
【知识点提升】函数 y f 1 x 1 与函数 y f x 1 并不互为反函数，他只是表示 f 1 x 中 x
用 x-1 替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设 y f x 1 则 f 1 y x 1，

4 （D） 2b
答案：A
【满分秘籍 3】时刻铭记：求函数的反函数不忘定义域，就是原函数的值域。
例3、
f
x

a2x 1 1 2x
是R
上的奇函数，（1）求 a
的值（2）求的反函数
f
1
x
【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。
解析：（1）利用 f x f x 0 （或 f 0 0 ）求得 a=1.
4
4
x=-1 时 x2+y2 有最小值 1,
8
当 x=-
时，x2+y2 有最大值
28
。故 x2+y2 的取值范围是[1,
28
]
3
3
3
【知识点提升】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件 x 2 2 y2 1对 x、y 的限制，显然
4
方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1， 2 y 2 。此外本题还可通过三角换元转化
A、 y x2 2x 2 x 1 B、 y x2 2x 2 x 1
C、 y x2 2x x 1 D、 y x2 2x x 1
答案：B
【满分秘籍 4】时刻铭记：反函数与反函数值不同。
例 4、已知函数 f x 1 2x ，函数 y g x 的图像与 y f 1 x 1 的图象关于直线 y x 对
（2）函数 f x 具有奇偶性，则 f x f x或 f x f x 是对定义域内 x 的恒等式。常
常利用这一点求解函数中字母参数的值。 【练 5】判断下列函数的奇偶性：
① f x 4 x2 x2 4 ② f x x 1 1 x ③ f x 1 sin x cos x
凡是函数的定义域永远是指自变量的取值范围，而不是与 x 有关的式子的范围。
补救练习：已知函数 f 2x+1 的定义域为（0,1）求函数 f log2 x 的定义域。 首先求出 f x 的定义域为（1,3），再求出 f log2 x 的定义域为（ 2，23 ）
【满分秘籍 2】时刻铭记：求解函数值域或单调区间定义域优先原则。
一次函数的单调性取决于一次项系数的符号二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置指数函数对数函数的单调性决定于其底数的范围大于1还是小于1特别在解决涉及指对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想对数型函数还要注意定义域的限制
2020 高考数学捷胜满分秘籍精选
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例 2、已知 x 2 2 y2 1,求 x2 y2 的取值范围
4
3
【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x 的函数最值求解，但极易忽略 x、
y 满足 x 2 2 y2 1这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
4
解析：由于 x 2 2 y2 1得(x+2)2=1- y 2 ≤1，∴-3≤x≤-1 从而 x2+y2=-3x2-16x-12，因此当
【知识点提升】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的 解析式后表明（若反函数的定义域为 R 可省略）。
（2）应用 f 1(b) a f (a) b 可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和
函数值要互换。
【练 3】（2004 全国理）函数 f x x 1 1 x 1 的反函数是（）
x f 1 y 1 再将 x、y 互换即得 y f x 1 的反函数为 y f 1 x 1 ，故 y f x 1 的
反函数不是 y f 1 x 1 ，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。
【练 4】（2004 高考福建卷）已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f-1(x)，则函数 y= f-1(1-x)的图象是（）
解，此时 a=0 符合已知条件（Ⅱ）当 B 时，即方程 ax 2 0 的解为 3 或 5，代入得 a 2 或 2 。 35
综上满足条件的
a
组成的集合为 0,
2 3
,
2
5

，故其子集共有 23

8
个。
【知识点提升】（1）在应用条件 A∪B＝Ｂ A∩B＝Ａ Ａ Ｂ时，要树立起分类讨论的数学思想，将
【满分秘籍 1】时刻铭记：空集是任何非空集合的子集。
例 1 已知集合 A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 A∪B＝A.求实数 m 的取值范围． 正解 ∵A∪B＝A，∴B⊆A.∵A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}． ①若 B＝∅，则 m＋1>2m－1，即 m<2，故 m<2 时，A∪B＝A； ②若 B≠∅，如图所示，则 m＋1≤2m－1，即 m≥2.
【练 1】已知集合 A x | x2 4x 0 、 B x | x2 2a 1 x a2 1 0 ，若 B A，
则实数 a 的取值范围是
。答案： a 1 或 a 1。
【练 2】 已知集合 A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，p∈R}，若 A∩R*＝∅，则实数 p 的取值范围为____________．
1 x
称，则 y g x 的解析式为（）
A、 g x 3 2x B、 g x 2 x C、 g x 1 x D、 g x 3
x
1 x
2 x
2 x
【易错点分析】解答本题时易由 y g x 与 y f 1 x 1 互为反函数，而认为 y f 1 x 1 的
反函数是
y

f
x
1 则
y

g x =
f
x
1 =
1 2 x 1 1 x 1

3 2x x
而错选 A。
解析：由
f
x
1 2x
得
1 x
f
1 x

1 x 2 x
从而
y

f
1 x 1
1 x 1 2 x 1

2x
－2≤m＋1， 由 B⊆A 得2m－1≤5. 解得－3≤m≤3. 又∵m≥2，∴2≤m≤3.由①②知，当 m≤3 时，A∪B＝A.
例 2，设 A x | x2 8x 15 0 ， B x | ax 2 0 ，若 A B B ，求实数 a 组成的集合
的子集有多少个？
1 x
1 sin x cos x
答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数
【满分秘籍 6】时刻铭记：原函数和反函数的单调性和奇偶性相同。
例6、
函数 f
x

2x2
log2 2x1

x

1 或x 2

1 2

的反函数为
f
1
x
，证明 f 1
x
是奇函数且在
其定义域上是增函数。
【思维分析】可求 f 1 x 的表达式，再证明。若注意到 f 1 x 与 f x 具有相同的单调性和奇偶性，
6
只需研究原函数 f x 的单调性和奇偶性即可。
2 x1
2 x1
2 x1
解析： f x log22x1 log2 2x1 log22x1 f x ，故 f x 为奇函数从而 f 1 x 为
【易错点分析】此题由条件 A B B 易知 B A ，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易
忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的 a 值产生漏解现象。
解析：集合 A 化简得 A 3, 5 ，由 A B B 知 B A 故（Ⅰ）当 B 时，即方程 ax 1 0 无
B x, y | x 32 y 42 r2 ，其中 r 0 ,若 A B 求 r 的取值范围。将集合所表达
的数学语言向自然语言进行转化就是：集合 A 表示以原点为圆心以 2 的半径的圆，集合 B 表示以（3，4） 为圆心，以 r 为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径 r 的取值范围。思维马上就可利 用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。
（2）由 a
1即
f
x

2x 2x
1
，设
1
y

f
x ,则 2x 1
y 1
y 由于
y
1故 2x
1 1
y y
，
4
x

1 y
log21 y
，而
f
x

2x 2x
1 1
1
2
2 x
1


1,1
所以
f
1xΒιβλιοθήκη 1 xlog
1 2
x
1
x
1
5
答案：C
【满分秘籍 5】时刻铭记：函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。
lg 1 x2
例5、 判断函数 f (x)
的奇偶性。
x2 2
lg 1 x2
【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解： f (x)
f x 从
x2 2
而得出函数 f x 为非奇非偶函数的错误结论。
解析：由函数的解析式知 x
满足
1

x2

0
即函数的定义域为 1, 0
0,1 定义域关于原点对称，
x 2 2
lg 1 x2
在定义域下 f x
易证 f x f x 即函数为奇函数。
x
【知识点提升】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数 的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。
Δ＝(p＋2)2－4≥0， －p＋2 2>0，
p≥0或p≤－4，
即p<－2，
解得 p≤－4.
故当 A∩R*＝∅时，p 的取值范围是(－4，＋∞)．
【满分秘籍 2】时刻铭记：集合元素确定性、互异性、无序性。
2
【满分秘籍 2】时刻铭记：分式命题否定要考虑分母不为零的问题。
【满分秘籍 2】时刻铭记：函数定义域概念要理解清楚。