初二下学期数学竞赛试题

初二下学期数学竞赛试题
一、选择题（每题2分，共10分）
1. 若a，b，c为正整数，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么a，b，c称为勾股数。

下列哪组数不是勾股数？
A. 3, 4, 5
B. 5, 12, 13
C. 7, 24, 25
D. 9, 12, 15
2. 已知x^2 - 5x + 6 = 0，求x的值。

A. x = 2
B. x = 3
C. x = 1 或 x = 6
D. 无解
3. 一个圆的半径为r，其面积的公式为S = πr^2。

若半径增加1，则新的面积与原面积的比值是多少？
A. π
B. 1 + π
C. 1 + 2π
D. 1 + 2πr
4. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，其体积为V = abc。

若长增加1，宽和高不变，新的体积与原体积的比值是多少？
A. 1 + 1/a
B. 1 + 1/b
C. 1 + 1/c
D. 1 + a/b + a/c
5. 一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项
的和。

这个数列的第五项是多少？
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
二、填空题（每题3分，共15分）
6. 一个分数的分子与分母之和为21，分子比分母小8，该分数是
________。

7. 若一个等差数列的首项为a，公差为d，且前n项和为S_n，已知
S_5 = 25，S_10 = 100，求a的值。

8. 一个正六边形的内角为120°，边长为1，求其外接圆的半径。

9. 一个函数f(x) = 2x - 3，求f(2)的值。

10. 一个直角三角形的两直角边分别为3和4，求斜边的长度。

三、解答题（每题10分，共30分）
11. 证明：若a，b，c为正整数，且a^3 + b^3 = c^3，则a + b = c。

12. 解不等式：2x + 5 > 3x - 2。

13. 一个班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。

如果从班级
中随机选择3名学生，求至少有1名女生的概率。

四、综合题（每题15分，共30分）
14. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,-2)，求直线AB的方
程，并求出与x轴平行且经过点A的直线方程。

15. 一个水池可以以固定的速率r（升/分钟）注水，同时以另一个固定的速率d（升/分钟）排水。

如果水池初始时为空，求水池注满所需时间t的最小值，假设水池的容量为C升。

五、附加题（20分）
16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求该圆的半径。

（提示：正六边形可以分成6个等边三角形）
请注意，以上题目仅为示例，具体竞赛题目会根据实际竞赛要求和难度进行调整。