ARMA模型解析

k H 1 : 存在某个 ，使 kk 0 ，且 pkMp pM
统计量 2 N
2
2
kk M
M kp1
2 M
(
)
表示自由度为
的 2 分布 的上侧 分位数点
对于给定的显著性水平 0 ，若 2 M 2 ()，则认为
样本不是来自AR（ p ）模型 ； 2 M 2 ()，可认为 样本来自AR（ p ）模型 。
三、模型的识别与建立
在需要对一个时间序列运用B-J方法建模时，应运用序列的 自相关与偏自相关对序列适合的模型类型进行识别，确定适
宜的阶数 d,D, p,q 以及 P , Q （消除季节趋势性后的平稳序列）
1、自相关函数与偏自相关函数
（1）MA（ q ）的自相关与偏自相关函数
自协方差函数
k k1112k1qq2kq2,2,
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
1、自回归【 AR 】模型
自回归序列 X
：
t
如果时间序列 X t 是它的前期值和随机项的线性
函数，即可表示为 X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p u t【1】
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
注1：实参数 1,2, ,p称为自回归系数，是待估参数. 随机项 u t 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、
只能借助于统计手段进行检验和判定。
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1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
（1） k 的截尾性判断
对于每一个 q ，计算 q1, ,qM （
左右），考察其中满足
M 一般取 N
|k |
1 N
q
02 2 l2
l1
或
|k |
2 N
q
02 2 l2
l1
的个数是否为 M 的68.3%或95.5%。
2021/10注/10：实际中，此判断方法比较粗糙，还不能定阶，目前流行的方法是H.Akaik18e 信息定阶准则（AIC）
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
（3）AIC准则确定模型的阶数
AIC定阶准则： S 是模型的未知参数的总数
ˆ 2 是用某种方法得到的方差 2 的估计
N 为样本大小，则定义AIC准则函数
实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况， 这时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性， 否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至判断错误.
包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型，需进 行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节周期一致.
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1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
注3：【2】满足平稳条件时， AR过程等价于无穷阶的MA 过程，即
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X t1v1B v2B 2 u t vjB j u t
6
j 0
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
3、自回归移动平均【ARMA】模型 【B-J方法建模】
自回归移动平均序列 X t ：
如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差项以及
都是模型的待估参数
注2：【1】和【3】是【5】的特殊情形
注3：引入滞后算子，模型【5】可简记为
(B)Xt (B)ut 【6】
202注1/140：/10ARMA过程的平稳条件是滞后多项式 ( B ) 的根均在单位圆外
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可逆条件是滞后多项式 ( B ) 的根都在单位圆外
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 二、随机时间序列的特性分析
令 ( B ) 1 1 B 2 B 2 p B p ，模型可简写为
(B)Xt ut
【2】
AR（ p ）过程平稳的条件是滞后多项式 ( B )
的根均在单位圆外，即 (B) 0 的根大于1
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1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、移动平均【MA】模型
移动平均序列
若样本偏自相，关函数 k k在 p 步截尾，则可判断 X t 是AR（ p ）序列
若 k ， k k 都不截尾，而仅是依负指数衰减，这时可初步认为X t 是
ARMA序列，它的阶要由从低阶到高阶逐步增加，再通过检验来确定.
但实际数据处理中，得到的样本自协方差函数和样本偏自相关函数只是
k 和 k k 的估计，要使它们在某一步之后全部为0几乎是不可能的， 而只能是在某步之后围绕零值上下波动，故对于 k 和 k k 的截尾性
前期值的线性函数，即可表示为
X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p u t 1 u t 1 2 u t 2 q u t q 【5】
式【5】称为( p , q ) 阶的自回归移动平均模型，记为ARMA ( p , q )
注1：实参数 1,2, ,p 称为自回归系数， 1,2, ,q 为移动平均系数，
1、时序特性的研究工具 （1）自相关 构成时间序列的每个序列值 X t,X t 1 ,X t 2 , ,X t k之间的简单
相关关系称为自相关。自相关程度由自相关系数 k 度量，
表示时间序列中相隔 k 期的观测值之间的相关程度。
nk
(Xt X )(Xtk X )
t1
k
n
(Xt X )2
t 1
时间序列分析模型
时间序列分析模型简介 一、时间序列分析模型概述 1、自回归模型 2、移动平均模型 3、自回归移动平均模型 二、随机时间序列的特性分析 三、模型的识别与建立 四、模型的预测
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1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
一、概 述
ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型， 是一种精度较高的时间序列短期预测方法，其基本
引入滞后算子，并令 ( B ) 1 1 B 2 B 2 q B q
则模型【3】可简写为
Xt (B)ut
【4】
注1：移动平均过程无条件平稳
注2：滞后多项式 ( B ) 的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程
能相互表出，即过程可逆，
1 w 1 B w 2 B 2 X t w iB i X t u t i 0 即为MA过程的逆转形式，也就是MA过程等价于无穷阶的AR过程
如果当1 k q0 时，
k
明显地异于0，而
, , q01
q0M
近似为0，且满足上述不等式的个数达到了相应的比例，
q 则可近似地认为 k 在 0 步截尾
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1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
（2） k k 的截尾性判断
作如下假设检验： M N
H 0 :p k ,p k 0 ,k 1 , ,M
k0 1kq
0,
kq
Du 2
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t
是白噪声序列的方差
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1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
样本自相关函数
1,
k0
k
k 0
k1112k1qq2kq
,
1kq
0,
kq
MA（ q ）序列的自相关函数 k 在 k q 以后全都是0，
q 这种性质称为自相关函数的 步截尾性；偏自相关函数
X
：
t
如果时间序列
X
是它的当期和前期的随机误差
t
项的线性函数，即可表示为
X t u t 1 u t 1 2 u t 2 q u t q【3】
式【3】称为 q 阶移动平均模型，记为MA（ q ）
注：实参数 1,2, ,q 为移动平均系数，是待估参数
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5பைடு நூலகம்
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
偏自相关系数 k k 度量，有 1kk 1
1
k1
kk
k
k1, j
j1
kj
k1
1 k1, j j
j1
k 1 k 2,3,
k 其中 k 是滞后 期的自相关系数，
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k j k 1 , j k k k 1 , k j ,j 1 , 2 ,, k 1
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1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
N
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
3、参数估计
在阶数给定的情形下模型参数的估计有三种基本方法：矩 估计法、逆函数估计法和最小二乘估计法，这里仅介绍矩 估计法
（1）AR（ p ）模型
它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性
（3）ARMA（ p , q ）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的
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1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、模型的识别
自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最 主要工具，B-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数.
若样本自协方差函数 k 在 q 步截尾，则判断 X t 是MA（ q ）序列
随着滞后期 k 的增加，呈现指数或者正弦波衰减，趋向于0，
这种特性称为偏自相关函数的拖尾性
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1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
（2）AR（ p ）序列的自相关与偏自相关函数
偏自相关函数
kk 0k,,
1kp kp
是 p 步截尾的 ；
自协方差函数 k 满足 (B)k 0 自相关函数 k 满足 (B)k 0
t 思想是：某些时间序列是依赖于时间 的一族随机
变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确 定性，但整个序列的变化却有一定的规律性，可以 用相应的数学模型近似描述.
通过对该数学模型的分析研究，能够更本质地认
识时间序列的结构与特征，达到最小方差意义下的 最优预测.
ARMA模型有三种基本类型：
自回归（AR：Auto-regressive）模型 移动平均（MA：Moving Average）模型 2自021回/10/归10 移动平均（ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型2
2、时间序列的特性分析 （1）随机性 如果一个时间序列是纯随机序列，意味着序列没有任何规
律性，序列诸项之间不存在相关，即序列是白噪声序列，其 自相关系数应该与0没有显著差异。可以利用置信区间理论进 行判定。
在B-J方法中，测定序列的随机性，多用于模型残差以及评 价模型的优劣。
（2）平稳性
若时间序列 X t 满足
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
X 202注1/120/1：0 一般假定 t 均值为0，否则令 Xt Xt
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1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
记 B k 为 k 步滞后算子，即 BkXt Xtk ，则
模型【1】可表示为
X t 1 B X t 2 B 2 X t p B p X t u t
在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序
列通过差分可以平稳 判断时间序列的趋势是否消除，只需考察经过差分后序
列的自相关系数
（3）季节性
时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列 重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额 等时间序列都具有明显的季节变化.
一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月；
t 1）对任意时间 ，其均值恒为常数；
t 2）对任意时间 和 s ，其自相关系数只与时间间隔t s
t 有关，而与 和 s 的起始点无关。
2021那/10么/10 ，这个时间序列就称为平稳时间序列 。
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1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
序列的平稳性也可以利用置信区间理论进行判定.需要 注意的是，在B-J方法中，只有平稳时间序列才能直接建立 ARMA模型，否则必须经过适当处理使序列满足平稳性要求
n 注1： 是样本量， k 为滞后期， X 代表样本数据的算术平均值
注2：自相关系数 k 的取值范围是 [ 1,1] 且 | k | 越接近1，自相关程度越高
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1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
（2）偏自相关
偏自相关是指对于时间序列 X t ，在给定 X t 1 ,X t 2 , ,X t k 1 的条件下，X t 与 X t k 之间的条件相关关系。 其相关程度用
AIC(S)lnˆ22S
N
用AIC准则定阶是指在 p , q 的一定变化范围内，寻求使得
AIC(S ) 最小的点( pˆ , qˆ ) 作为 ( p , q ) 的估计。
p AR（ ）模型 ：
AIClnˆ2 2p
N
( 2021/10/10ARMA p , q ) 模型 ： AIClnˆ22(pq)
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季度资料的时间序列，季节周期为4个季.
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判断时间序列季节性的标准为： 月度数据，考察 k 1 2 ,2 4 ,3 6 , 时的自相关系数是否
与0有显著差异； 季度数据，考察k4,8,12, 时的自相关 系数是否与0有显著差异。 若自相关系数与0无显著不同， 说明各年中同一月（季）不相关，序列不存在季节性，否则 存在季节性.