最新高二数学题库 北师大版高中数学选修21期末考试试题及答案(理科)

高二期末考试数学试题
晁群彦
一．选择题（每小题5分，满分６0分）
１.设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面”“”“,n l m l l a ⊥⊥⊥且是则内α的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
２.对于两个命题：
①,1sin 1x R x ∀∈-≤≤， ②2
2
,sin cos 1x R x x ∃∈+>，
下列判断正确的是（ ）。

A. ① 假 ② 真
B. ① 真 ② 假
C. ① ② 都假
D. ① ② 都真
３.与椭圆14
22
=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A. 1222
=-y x B. 1422=-y x C. 122
2=-y x D. 13
322=-y x ４.已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A ,B 两点， 则2ABF ∆是正三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A
2 B 1
2
C D 13
５.过抛物线2
8y x =的焦点作倾斜角为0
45直线l ，直线l 与抛物线相交与A ，B 两点，
则弦AB 的长是（ ）
A 8
B 16
C 32
D 64
６.在同一坐标系中，方程)0(012
2222>>=+=+b a by ax x b x a 与的曲线大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
７.已知椭圆122
22=+b y a x (b a >>0) 的两个焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，则12PF F ∆的面积 最
大值一定是（ ）
A 2
a B a
b C D ８.已知向量k -+-==2),2,0,1(),0,1,1(与且互相垂直,则实数k 的值是( )
A ．1
B ．51
C ． 53
D ．57
９.在正方体
1111
ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则
1A B
与
1D E
所成角的余弦值为
（ ）
A B C D １０.若椭圆x y n m ny mx -=>>=+1)0,0(12
2与直线交于A ，B 两点,过原点与线段AB 中点
的连线的斜率为
2
2，则m n
的值是( )
2.2
3.22.
29
2. D C B A
１１.过抛物线y x 42
=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若
621=+y y ，则21P P 的值为 （ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
１２.以12
42
2y x -=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 （ ）
A.
1121622=+y x B. 1161222=+y x C. 14
162
2=+y x D. 二．填空题（每小题４分）
１３．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，给出下列表达式：
OC
OB y OA x OM 31
++=
其中x ，y 是实数，若点M 与A 、B 、C 四点共面，则x+y=___
１４．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x 的焦点，且与抛物线相交于A,B 两点，则AB
等
于___
１５．若命题P ：“∀x ＞0，0222
<--x ax ”是真命题 ，则实数a 的取值范围是___．
１６．已知90AOB ∠=︒，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=︒，则直线OC 与平面
AOB 所成角的正弦值为___．
C
三．解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。

） １７．（本小题满分1４）
设命题P ：2
",2"x R x x a ∀∈->，命题Q ：2
",220"x R x ax a ∃∈++-=；
如果“P 或Q ”为真，“P 且Q ”为假，求a 的取值范围。

１８．（1５分）如图①在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD=DC=PD=2，E ，F ，G 分别是线段PC 、PD ，BC 的中点，现将ΔPDC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD （如图②） （Ⅰ）求证AP ∥平面EFG ；
（Ⅱ）求二面角G-EF-D 的大小；
（Ⅲ）在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，试给出证明．
１９．(1５分) 如图，金砂公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪
分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.
（Ⅰ）设AD ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式；
（Ⅱ）如果DE 是灌溉水管，我们希望它最短，则DE 的位置应在哪里？
请予以证明
.
２０（本小题满分1５分）
设21,F F 分别为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右两个焦点.
（Ⅰ）若椭圆C 上的点21,)2
3
,1(F F A 到两点的距离之和等于4，
求椭圆C 的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P 是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，的最大值求||),2
1,0(PQ Q 。

２１（本小题满分1５分）
如图，设抛物线C ：y x 42
=的焦点为F ，),(00y x P 为抛物线上的任一点（其中0x ≠0）， 过P 点的切线交y 轴于Q 点．
（Ⅰ）证明：FQ FP =；
（Ⅱ）Q 点关于原点O 的对称点为M ，过M 点作平行于PQ 的直线 交抛物线C 于A 、B 两点，若)1(>=λλMB AM ，求λ的值．
高二（理科）期末考试数学试题参考答案及评分标准
一．选择题：ABCCB D CBDB DD
二、填空题：１３. １３.8 １４.
)4,(-∞ １５详解：由对称性点C 在平面AOB 内的射影D 必在AOB ∠的平分线上作DE OA ⊥于E ，连结CE 则由三垂线定理CE OE ⊥，设
1DE
=1,OE OD ⇒=，又60,2C O E C E O E O E ∠=⊥⇒=,所
以
CD ，因此直线OC 与平面
AOB
所成角的正弦值
sin COD ∠=
.
y ex =
三．解答题：
１７解：命题P ：2
",2"x R x x a ∀∈->
即2
2
2(1)1x x x a -=-->恒成立1a ⇔<- …………3分 命题Q ：2
",220"x R x ax a ∃∈++-= 即方程2
220x ax a ++-=有实数根
∴2
(2)4(2)0a a ∆=--≥ 2a ⇔≤-或1a ≥ .…………6分 ∵“P 或Q ”为真，“P 且Q ”为假，∴P 与Q 一真一假 …………8分 当P 真Q 假时，21a -<<-；当P 假Q 真时，1a ≥ …………10 ∴a 的取值范围是(2,1)
[1,)--+∞ ………1４
１８(14分)解法一：（Ⅰ）在图②中 ∵平面PDC ⊥平面ABCD ，AP ⊥CD ∴ PD ⊥CD ，PD ⊥DA ∴PD ⊥平面ABCD
如图. 以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DP 分别为y
x 、与z 轴建立空间直角坐标系： …………………1分 则()0,0,0D ()0,0,2A ()0,2,2B ()0,2,0C ()2,0,0P
()1,1,0E ()1,0,0F ()0,2,1G
()2,0,2-=∴AP ()0,1,0-= ()1,2,1-= ………………3分
3
2
设平面GEF 的法向量),,(z y x =，由法向量的定义得： ⎩⎨
⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=⇒⎩⎨⎧=-∙=-∙⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙z x y z y x y 0020
0)1,2,1()z y,x,(0)0,1,0()z y,x,(00
不妨设 z=1， 则
………………………………4分 0210212
=⨯+⨯+⨯-=⋅ ………………………………5分
⊥∴，点P ∉ 平面EFG
∴AP ∥平面EFG ………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面GEF 的法向量 ，因平面EFD 与坐标平面PDC 重合 则它的一个法向量为=（1，0，0分
设二面角D EF G --为θ.则 …………9分
由图形观察二面角D EF G --为锐角，故二面角G-EF-D 的大小为45°。

………10分 （Ⅲ）假设在线段PB 上存在一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，
∵P 、Q 、D 三点共线，则设t t +-=)1(，又()0,2,2=DB ，()2,0,0= ∴)22,2,2(t t t DQ -=，又()2,0,0= …………11分 若PC ⊥平面ADQ ，又)2,2,0(-=PC
则210)22(2220)22,2,2()0,2,-2(0)0,0,2()0,2,-2(00
=⇒=--⨯⇒⎩⎨
⎧=-∙=∙⇒⎪
⎩⎪⎨⎧=∙=∙t t t t t t DQ PC DA PC …………1５分
∴
）DB DP DQ +=
(21
， ………………………………13分
故在线段PB 上存在一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，且点Q 为线段PB 的中点。

……1５分 解法二：（1）∵EF ∥CD ∥AB ，EG ∥PB ，根据面面平行的判定定理
∴平面EFG ∥平面PAB ，又PA ⊂面PAB ，∴AP ∥平面EFG ……………………4分 （2）∵平面PDC ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC
∴AD ⊥平面PCD ，而BC ∥AD ，∴BC ⊥面EFD
过C 作CR ⊥EF 交EF 延长线于R 点连GR ，根据三垂线定理知 ∠GRC 即为二面角的平面角，∵GC=CR ，∴∠GRC=45°， 故二面角G-EF-D 的大小为45°。

…………………8分 （3）Q 点为PB 的中点，取PC 中点M ，则QM ∥BC ，∴QM ⊥PC
在等腰Rt △PDC 中，DM ⊥PC ，∴PC ⊥面ADMQ ……………………1５分 １９(14分)解: （1）在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE2－2x ·AE·cos60°
⇒y 2＝x 2＋AE2－x ·AE,①
1212)1,0,1(=)1,0,1(=n 22
21cos =⋅=θ
又S △ADE ＝ S △ABC ＝ · 2＝ x ·AE·sin60°⇒x ·AE ＝2.② ……4分
②代入①得y 2＝x 2＋ －2（y ＞0）, ∴y ＝
………6分
又x ≤2，若
1x <，
，矛盾，所以
x ≥1
∴y ＝ x ≤2）. ………………………7分
（2）如果DE 是水管y =
………………10分
当且仅当x 2＝2
4
x ，即x ＝2时“＝”成立， …………………………1５分
故DE ∥ BC ，且DE ＝2. ………………………………1５分 ２０解：（Ⅰ）椭圆C 的焦点在x 轴上，
由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2. …….2分
又点.1,31)23
(21
,)23,1(2222
2===+c b b
A 于是得因此在椭圆上 …….4分
所以椭圆C 的方程为).0,1(),0,1(,134212
2F F y x -=+焦点 …….6分 （Ⅱ）设134),,(22=+y x y x P 则223
44y x -=∴ …….8分 222222141117
||()423434
PQ x y y y y y y =+-=-+-+=--+ …….10分
5)2
3
(312++-=y …….12分
又33≤≤-y 5||,2
3
max =-=∴PQ y 时当 …….1５分
２１解：（Ⅰ）证明：由抛物线定义知1||0+=y PF ，
2
|0
0x y k x x PQ =
'==， 可得PQ 所在直线方程为0
00()2
x y y x x -=
-， ∵2
004
x y =
∴得Q 点坐标为(0, 0y -)
22()x 22AE x =>
∴1||0+=y QF ∴ |PF |=|QF |
（Ⅱ）设A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，又M 点坐标为(0, y 0)
∴AB 方程为00
2
y x x y +=
…….8分。

由⎪⎩
⎪⎨⎧+==00
224y x x y y x 得042002
=--y x x x ∴,2021x x x =+2
00214x y x x -=-=……① …….10分。

由λ=得：),(),(022101y y x y y x -⋅=--λ，
∴21x x λ-= ……② …….12分。

由①②知⎩
⎨⎧==-2
022022)1(x x x x λλ，得2
22224)1(x x λλ=-，由x 0≠0可得x 2≠0， ∴λλ4)1(2
=-，又1>λ，解得：223+=λ． …….1５分。