江西省南昌二中高三5月模拟考试数学试题文科.5

y=xf '(x)
1y 江西省南昌二中高三5月模拟考试
数学试题（文科）
一、选择题
1．平面向量(,3),(2,1),(1,)a x b c y =-=-=，若(),//()a b c b a c ⊥-+则b 与c 的夹角为
（ ）
A ．0
B ．
4
π
C ．
2
π
D ．
34
π 2．已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ,且317S a =，则数列{}n a 的公比q 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．2或-3 D ．2或3
3．现从甲、乙、丙等6名学生中安排4人参加4×100m 接力赛跑。

第一棒只能从甲、乙两人中安
排1人，第四棒只能从甲、丙两人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种 4．在半径为17的球面上有A 、B 、C 三点，6
π
=
∠ABC ，8=AC ，则球心到截面ABC 的距离为
（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
5．若双曲线)0(12222>>=-b a b
y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线2
2y bx = 的
焦点分成5:7的两段，则此双曲线的离心率为 （ ）
A ．
8
9 B ．
37
37
6 C ．
42
3 D ．
10
10
3 6．已知等差数列{}n a 中，有
0110
11
<+a a ，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的n 的最大值为
（ ）
A ．11
B ．19
C ． 20
D ．21 7．若多项式102009200820090120082009(1)(1)(1)x x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++++，则2008a 的值为（ ）
A ．－
B ．
C ．－
D ．
8．若第一象限内的点),(y x A 落在经过点（6，—2）且方向向量为)2,3(-=a 的直线l 上，则
322
3
log log t y x =-有
（ ）
A ．最大值
2
3 B ．最大值1
C ．最小值
2
3 D ．最小值1
9．已知函数)(()(x f x f x y ''=其中的图象如右图所示
))(的导函数是函数x f ，下面四个图象中)(x f y =
的图象大致是
（ ）
31-2
1-1
22-2o
y
x
1
-2
1-122o
y
x
4
2
1
-2
o
y
x
42
2
-2
o
y
x
A B C D
10．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数．给出下列函
数： ①()sin cos f x x x =+； ②())2sin cos f x x x =
+；
③()sin f x x =；
④()22f x x = 其中“互为生成”函数的是
（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
11．f (x )是偶函数，且f (x )在[0，+∞]上是增函数；不等式f (ax + 1)≤f (x –2)对x ∈[12
，1]
恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ）A ．[–2，0] B ．[–5，0] C ．[–5，1]
D ．[–2，1]
12．对于任意实数a ，要使函数*215cos(
)()36k y x k N ππ+=-∈在区间[,3]a a +上的值5
4
出现的次数不小于4次，又不多于8次，则k 可以取 （ ）
A ．1和2
B ．2和3
C ．3和4
D ．2
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．能够使圆01422
2
=++-+y x y x 恰有两个点到直线02=++c y x 距离等于1的c 的一个值
为______。

14．已知5
2
35x x ⎛ ⎝
的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是 .
15．已知x 、y 满足1
420x x y x y c ≥⎧⎪
+≤⎨⎪-+≤⎩
且目标函数2z x y =+的最大值为7，则最小值为______;
16．下列三个命题：
①若函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于y 轴对称，则2
π
ϕ=；
②若函数2
()1
ax f x x -=
-的图象关于点（1，1）对称，则a=1；
③函数()|||2|f x x x =+-的图象关于直线x=1对称。

其中真命题的序号是 。

（把真命题的序号都填上）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且(b 2＋c 2－a 2
)tan A ＝
3bc .
（1）求角A 的大小；
（2）求sin(A ＋10°)·［1－3tan(A －10°)］的值.
18．（12分）一项“过关游戏”规定：在第n 关要抛掷一颗均匀的骰子n 次，如果第n 关的n 次
抛掷所出现的点数之和大于n 2
就算过关．问： （1）玩家小强在这项游戏中最多能连过几关？ （2）他连过前两关的概率是多少？
19．（12分）已知函数),()(2
3R b a b ax x x f ∈++-=．
（I ）当0>a 时，求函数)(x f y =的极值；
（II ）若函数)(x f y =的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2，求证：
66<<-a ；
（III ）对任意],1,0[0∈x )(x f y =的图像在0x x =处的切线的斜率为k ，求证：31≤
≤a 是
1||≤k 成立的充要条件．
A D C E
B F 20．（12分）已知在多面体ABCDE 中，AB ⊥ 平面ACD ，DE ∥AB ，A
C = A
D = CD = D
E = 2，
F 为CD
的中点．
（Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ；
（Ⅱ）求平面ABC 和平面CDE 所成的小于90︒的二面角的大小； （Ⅲ）求点A 到平面BCD 的距离的取值范围．
21．（12分）已知函数2()2f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点(,)
n n P n S 都在函数()f x 的图象上，且过点(,)n n P n S 的切线的斜率为n k ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2n k n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T ；
（Ⅲ）设{|,*}n Q x x k n N ==∈，{|2,*}n R x x a n N ==∈，等差数列{}n c 的任一项
n c Q
R ∈，其中1c 是Q R 中的最小数，10110115c <<，求{}n c 的通项公式．
22．（12分设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影
分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为3
2
，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ． （1）求椭圆的离心率； （2）直线213404x y a ++
=与圆M 相交于,E F 两点，且21
2
ME MF a ⋅=-，求椭圆方程； （3）设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N 的最远距离不大于62，求椭圆C 的
短轴长的取值范围．
参考答案
一、选择题 CCBDC BABCD AB
二、填空题 13． 3; 14．10,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
; 15． 2; 16．②③.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且(b 2＋c 2－a 2
)tan A ＝
3bc .
（1）求角A 的大小；
（2）求sin(A ＋10°)·［1－3tan(A －10°)］的值.
解：（1）由已知及余弦定理A
A
A bc bc a c b bc A cos sin cos 233tan 222=
=-+=
， 又)2π,0(∈A ，则23sin =A ，故A ＝3
π
.……………………………………（5分）
（2）)50cos 50sin 31(70sin )]10tan(31)[10sin(︒
︒
-︒=︒--︒+A A
140sin 20cos 20sin 250cos )5030sin(70sin 250cos 50sin 350cos 70sin -=︒
︒
︒-=︒︒-︒︒=︒︒-︒⋅
︒=.…（12分）
18．（12分）一项“过关游戏”规定：在第n 关要抛掷一颗均匀的骰子n 次，如果第n 关的n 次
抛掷所出现的点数之和大于n 2
就算过关．问： （1）玩家小强在这项游戏中最多能连过几关？ （2）他连过前两关的概率是多少？
【解析】（1）因为点数最大为6，抛掷n 次点数之和的最大值为6n ，所以6×1＞12
，6×2＞
22，6×3＞32，6×4＞42，6×5＞52，6×6 = 62，6×7＜72
，……，当n ≥6时，点数之和不可
能大于n 2
，即此时过关的概率为0．所以小强在这项游戏中最多能连过5关．
（2）记第n 次过关为事伯A n ，基本事件总数为6n
．
第一关：由12
= 1知，点数不小于2即可，所以P (A 1) = 56
，
第二关：由22
= 4知，考虑对立事件2A ， 即“不能过第二关”依次取a = 2，3，4，
解不定方程x + y = a ，得其解的个数是111
1236C C C ++=，
从而P (A 2) = 1 – P 265
()1666
A =-
=⨯． 所以他连过前两关的概率是P = 5525
6636
⨯=． (12分)
19．已知函数),()(2
3R b a b ax x x f ∈++-=．
（I ）当0>a 时，求函数)(x f y =的极值；
（II ） 若函数)(x f y =的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2，求证：
66<<-a ；
（III ）对任意],1,0[0∈x )(x f y =的图像在0x x =处的切线的斜率为k ，求证：31≤
≤a 是
1||≤k 成立的充要条件．
解：（I ）)3
2(323)(2
a
x x ax x x f -
-=+-=' 2分 由0)(='x f 得，0=x 或3
2a x = 而>a x )0,(-∞
0 )32,
0(a 3
2a ),3
2(
+∞a
)('x f — 0 +
0 — )(x f
递减
极小值
递增
极大值
递减
所以，当0=x 时，)(x f 取得极小值，极小值等于b ；
当3
2a
x =时，)(x f 取得极大值，极大值等于b a +2743； 6分 （II ）设函数),()(111y x P x f y 点的图象上任意不同的两=、),(222y x P ，
不妨设,21x x >
6
6060)8(12408230)2(4)(0
2)(:2
))(())((,22222222222222221122
212212
12121222121212
1223
221312121<<-∴<-<+--=∆∴∈>+--<+---=∆∴∈>+-+-+<-+-+++--∴<--++-<--a a a a R x a ax x ax x a x R x ax x x a x x x x x x x x a x x x x x x x x ax x ax x x x y y 即即整理得即则
（注：若直接用2)('<x f 来证明至少扣1分） 10分 （III ）]1,0[,23)(002
00∈+-='=x ax x x f k 则当时，12311||02
0≤+-≤-⇔≤ax x k
.
311||,31:10)0('1
23)1(0310)0('123)1(1313)3('10)0('123)1('1302
≤≤≤≤≤⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤=-≥+-='<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥=≤+-='>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤=-≥=-≥+-=≤≤⇔a k a f a f a f a f a a a f f a f a 成立的充要条件是故解得或或 20．（12分）已知在多面体ABCDE 中，AB ⊥ 平面ACD ，DE ∥AB ，AC = AD = CD = DE = 2，F 为CD
的中点．
（Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ；
（Ⅱ）求平面ABC 和平面CDE 所成的小于90︒的二面角的大小； （Ⅲ）求点A 到平面BCD 的距离的取值范围．
证明： （Ⅰ）∵AB ⊥平面ACD ，AB ∥DE ， ∴DE ⊥平面ACD ，
∵AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF ．
又∵AC =AD =CD ，F 为CD 中点，∴AF ⊥CD ．
∵DE ⊂平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，CD ∩DE ＝D ， ∴AF ⊥平面CDE ． （Ⅱ）解法一：∵AB ∥DE ，AB ⊂/平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，∴AB ∥平面
CDE ，设平面ABC ∩平面CDE ＝l ，
则l ∥AB ．即平面ABC 与平面CDE 所成的二面角的棱为直线l ． ∵AB ⊥平面ADC ，∴l ⊥平面ADC ．
∴l ⊥AC ，l ⊥DC ．
∴∠ACD 为平面ABC 与平面CDE 所成二面角的平面角． ∵AC ＝AD ＝CD ，∴∠ACD ＝60︒，
∴平面ABC 和平面CDE 所成的小于90︒的二面角的大小为60︒．……
7分
（Ⅱ）解法二：如图，以F 为原点，过F 平行于DE 的直线为x 轴，FC ，FA 所在直线为y 轴，z
轴建立空间直角坐标系．
∵AC ＝2，∴A (0，0，3)，
设AB ＝x ，B (x ，0，3)，C (0，1，0)，−→AB ＝(x ，0，0)，−→
AC ＝(0，1，－3)，
设平面ABC 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )， 则由−→AB ⋅n ＝0，−→
AC ⋅n ＝0，得a ＝0，b ＝3c ， 不妨取c ＝1，则n ＝(0，3，1)． ∵AF ⊥平面CDE ，
∴平面CDE 的一个法向量为−→
FA ＝(0，0，3)． cos ＜n ，−→FA ＞＝n ⋅−→
FA
|n |⋅|−→FA |
＝1
2，＜n ，−→FA ＞＝60︒．
A D C E B
F A
D
C E
B F
l
H
A
B F y
z
O
∴平面ABC 与平面CDE 所成的小于90︒的二面角的大小为60︒． （Ⅲ）解法一：设AB ＝x ，则x ＞0． ∵AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥CD ．
又∵AF ⊥CD ，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，AB ∩AF ＝A ， ∴CD ⊥平面ABF ．
∵CD ⊂平面BCD ，∴平面ABF ⊥平面BCD ． 连BF ，过A 作AH ⊥BF ，垂足为H ，
则AH ⊥平面BCD ．线段AH 的长即为点A 到平面BCD 的距离． 在Rt △AFB 中，AB ＝x ，AF ＝3
2
CD ＝3，
∴BF ＝3＋x 2
，AH ＝
3x 3＋x
2
＝31＋
3
x 2
∈(0，3)．
（Ⅲ）解法二：设AB ＝x ，
∵AC ＝CD ＝DA ＝2，AB ⊥平面ACD ． ∴V B －ADC ＝13⋅S △ADC ⋅BA ＝13⋅34⋅22⋅x ＝3
3x ．
∵BC ＝BD ＝4＋x 2
，CD ＝2， ∴S △BCD ＝12⋅2⋅x 2＋3＝x 2
＋3，
设点A 到平面BCD 的距离为d ， 则V A －BCD ＝13⋅S △BCD ⋅d ＝d 3x 2
＋3．
∵V B －ADC ＝V A －BCD ．
∴
33x ＝d 3x 2＋3，解得d ＝3x 3＋x
2∈(0，3)． 21．（12分）已知函数2()2f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点(,)
n n P n S 都在函数()f x 的图象上，且过点(,)n n P n S 的切线的斜率为n k ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2n k n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T ；
（Ⅲ）设{|,*}n Q x x k n N ==∈，{|2,*}n R x x a n N ==∈，等差数列{}n c 的任一项
n c Q
R ∈，其中1c 是Q R 中的最小数，10110115c <<，求{}n c 的通项公式．
解 （Ⅰ）∵点(,)n n P n S 都在函数2()2f x x x =+的图象上， ∴22n S n n =+． 当1n =时，113a S ==；
当2n ≥时，2212(1)2(1)21n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，当1n =时，也满足．
故21n a n =+．
（Ⅱ）由2()2f x x x =+求导可得，'()22f x x =+ ∵ 过点(,)n n P n S 的切线的斜率为n k ， ∴22n k n =+． 又∵2n k n n b a =⋅， ∴22
2
(21)4(21)4n n n b n n +=⋅+=+⋅．
∴ 2
3
434454474n T =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++4(21)4n n +⋅ ………①
由①4⨯可得：
2344434454474n T =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+
+14(21)4n n ++⋅………②
①－②可得：2
3
34[342(444)n n T -=⋅⨯+⋅++
+1(21)4]n n +-+⋅
214(14)
4[34214
n --=⋅⨯+⋅-1(21)4]n n +-+⋅．
∴26116
499
n n n T ++=
⋅-． （Ⅲ）∵{|22,*}Q x x n n N ==+∈，{|42,*}R x x n n N ==+∈
∴Q
R R =，
又∵n c Q R ∈，其中1c 是R Q 中的最小数，
∴61=c ，
∴ 6410+=m c ，*N m ∈，（{}n c 的公差是4 的倍数!）
又∵10110115c <<
∴11046115,*.m m N <+<⎧⎨∈⎩
解得27m =．
22．（12分设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影
分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为3
2
，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．
（1）求椭圆的离心率； （2）直线213404x y a ++
=与圆M 相交于,E F 两点，且21
2
ME MF a ⋅=-，求椭圆方程； （3）设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N 的最远距离不大于62，求椭圆C 的
短轴长的取值范围．
解：（1）由条件可知⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--a
b c P 2
,，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛a b c Q 2,
因为23
=
PQ k ，所以得：=e 12
………4分 （2）由（1）可知，c b c a 3,2==， 所以，()
()()0,3,0,,3,01c B c F c A -， 从而()0,c M 半径为a ， 因为2
1
2
ME MF a ⋅=-，
所以︒=∠120EMF ，可得：M 到直线距离为
2
a
从而，求出2=c ，所以椭圆方程为：
22
11612
x y +=； ………9分 （3）因为点N 在椭圆内部，所以b>3 ………10分 设椭圆上任意一点为()y x K ,，则()()
2
2
22263≤-+=y x KN
由条件可以整理得：018941822≥+-+b y y 对任意[]()3,>-∈b b b y 恒成立，
所以有：()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+--+--≤-0189418922b b b b 或者()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+--+-->-0
1894918992
2b b
解之得： 2∈b (6,1226] ………15分。