直线的交点坐标与距离公式课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

+ −

特别地，（1）原点(0,0)与任意一点(, )间的距离||= 2 + 2 ；
（2）当1 2 平行于x轴时，| 1 2 |=|2 − 1 |；
（3）当1 2 平行于y轴时，| 1 2 |=|2 − 1 |.
注意：两点的距离公式与两点的先后顺序无关，即公式可以写成
A
A
即 Bx Ay Bx0 Ay0 .
Ax By C 0
解方程组
，得直线 l 与 PQ 的交点坐标，
Bx Ay Bx0 Ay0
B 2 x0 ABy0 AC ABx0 A2 y0 BC
,
即垂足 Q 的坐标为
.
2
2
2
2
A B
=
=
=
≠
2 2 2 2 2 2
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.2 两点间的距离公式
探究新知
已知平面内两点1 1 , 1 ，2 2 , 2 ，如何求1 ， 2 之间的距离|1 2 |？
由点1 1 , 1 ，2 2 , 2 ，得1 2 = (2 − 1 , 2 − 1 )
3 + 4 − 2 = 0
= −2
解：解方程组
得
=2
2 + + 2 = 0
所以， 与 的交点是M (-2，2)
课本71页例2
判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标：
（1）1 ： − = 0，
2 ：3 + 3 − 10 = 0 ；
（2）1 ：3 − + 4 = 0，
159
思考
如何取点，可使计算简单？
选取直线与坐标轴的交点.
y
l2
l1 x
例2
求证：两条平行直线 Ax+By+C1 = 0 与Ax+By+C2 = 0 间的距离为
d
| C1 C2 |
A2 B 2
.
分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直
线上的一点到另一条直线的距离.
证明：在直线 Ax+By+C1=0 上任取一点 P ( x0 ,y0 )，点 P ( x0 ,y0 ) 到
| | =
−

+ −

课本73页例3
已知点 −1,2 , (2, 7)，在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.
解：设点P的坐标为(, 0)
解得 = 1，所以所求点 1,0 ，且|PA|=2 2
课本73页例4
用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
直线 l2 的距离就是直线 l1 与直线 l2 间的距离.
两条平行直线间的距离
转化
l1
l2
Q
O
点到直线的距离
x
三、典型例题
例1
已知两条平行直线 l1：2 x 7 y 8 = 0 ，l2：6 x 21y 1= 0 ，
求 l1 与 l2 间的距离.
分析：在 l1 上选取一点，如 l1 与坐标轴的交点，用点到直线的距
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
如图，已知点 P( x0 , y0 ) ，直线 l : Ax By C 0 ，如何求点 P 到直线 l
的距离？
点 P 到直线 l 的距离，就是从点 P 到直线 l 的垂线段 PQ 的长度，
代入上式，得 PM n
1
A B
2
因此 | PQ || PQ || PM n |
2
Ax0 By0 C .
Ax0 By0 C
A B
2
2
.
例 5 求点 P(1, 2) 到直线 l : 3x 2 的距离.
解：点 P(1, 2) 到直线 l : 3x 2 0 的距离 d
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
两直线的交点
若直线 ： + + = 与直线 ： + + = 相交，
如何求其交点P的坐标？
交点P既在方程1 + 1 + 1 = 0,
1
PM n x x0 , y y0


1
A B
1
2
2
A2 B 2
( A, B)
A x x0 B y y0
Ax By Ax0 By0 .

2
A2 B
因为点 M ( x, y) 在直线 l 上，所以 Ax By C 0 .所以 Ax By C .
1
5
2 2
5.
2
2
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
一、复习回顾
两点间的距离公式
已知平面内两点 P1 ( x1 ,y1 )，P2 ( x2 ,y2 ) ，
2
2
|=
(
x

x
)

(
y

y
)
则 |PP
1 2
2
1
2
1 .
点到直线的距离公式 点 P ( x0 ,y0 )到直线 l：Ax+By+C = 0 的距离
A B


2
B x0 ABy0 AC
ABx0 A y0 BC

x0
y0
于是 | PQ |
2
2
2
2
A B
A B



2

Ax0 By0 C
A B
2
2
2

2
Ax0 By0 C
A B
2
2
.
2
因此，点 P x0 , y0 到直线 l : Ax By C 0 的距离
A x2 x1 B y2 y1 0 .
由平面向量的数量积运算可知，向量 ( A, B) 与向量 ( x2 x1 , y2 y1 )
垂直.向量
1
A B
2
2
( A, B) 就是与直线 l 的方向向量垂直的一个单位向量.
我们取 n
1
A B
2
2
( A, B) ，从而
离公式求这点到 l2 的距离，即 l1 与 l2 间的距离.
解：先求 l1 与 x 轴的交点 A 的坐标.容易知道，点 A 的坐标为 (4,0) .
点 A 到直线 l2 的距离
d=
|6 4 21 0 1|
62 212
23
23


53 ，
3 53 159
23
53.
所以 l1 与 l2 间的距离为
d=


.
2
2
2
2
2
2
A +B
A +B
A +B
结论：两条平行直线 Ax+By+C1 = 0 与 Ax+By+C2 = 0 间的距离为
d=
| C1 C2 |
A2 B 2
.
注意：两条平行直线的方程中 x,y 的系数对应相等.
四、课堂练习
1. 求下列两条平行直线间的距离：
（1） l1： 2 x+3 y 8 = 0 ，
问题2：如何利用直线l 的方程得到与l 的方向向量垂直的单位向量n？
设 P1 x1 , y1 ， P2 x2 , y2 是直线 l : Ax By C 0 上的任意两点，则
P1 P2 x2 x1 , y2 y1 是直线 l 的方向向量，
把 Ax1 By1 C 0 ， Ax2 By2 C 0 两式相减，得
边 AB 上的高 h 就是点 C 到直线 AB 的距离.
y 3 x 1
边 AB 所在直线 l 的方程为
，即 x y 4 0 .

1 3 3 1
| 1 0 4 |
5
点 C (1,0) 到直线 l : x y 4 0 的距离 h
.

2
2
2
1 1
因此， S△ ABC
有唯一解、无数组解、无解，则两直线的位置关系如
2 + 2 + 2 = 0
何？
A1 x + B1 y + C1 = 0
方程组
的解
A2 x + B2 y + C2 = 0
一组
无数组
无解
直线的公共点个数
一个
无数个
零个
直线的位置关系
相交
重合
平行
系数关系
1 1
≠
2 2
1 1 1 1 1 1
y
解：如右图,以顶点A为坐标原点，AB边所在
的直线为x轴，建立直角坐标系.
在平行四边形ABCD中，点
0,0 ，点 , 0 ，点 , ，
由平行四边形的性质得点 + , .
D (b,c)
C(a+b,c)
o A (0,0) B (a,0) x
∴ |AB|²==a²，|AD|²=b²+c²，|AC|²=(a+b)²+c²，|BD|²=(b-a)²+c²
∴ |AB|²+|AD|²=a²+b²+c²，|AC|²+|BD|²=2(a²+b²+c²)
∴2（ |AB|²+|AD|²）=|AC|²+|BD|²
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
用坐标法解决简单的平面几何问题的步骤
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关的代数运算；
其中 Q 是垂足.因此，求出垂足 Q 的坐标，利用两点间的距离公式求
出 | PQ | ，就可以得到点 P 到直线 l 的距离.
A
设 A 0 ， B 0 .由 PQ l ，以及直线 l 的斜率为 ，可得 l 的
B
B
B
垂线 PQ 的斜率为 ，因此，垂线 PQ 的方程为 y y0 x x0 ，
| 3 (1) 2 |
32 02
5
.
3
例 6 已知 △ABC 的三个顶点分别是 A(1,3), B(3,1), C(1,0) ，求 △ABC 的面积.
解：如图，设边 AB 上的高为 h，则 S△ ABC
1
| AB | h ，
2
| AB | (3 1)2 (1 3)2 2 2 .
d
Ax0 By0 C
A B
2
2
.
可以验证，当 A=0，或 B=0 时，上述公式仍然成立.
问题1：能否用向量方法求点到直线的距离？
如图，点 P 到直线 l 的距离，就是向量 PQ 的模.
设 M ( x, y) 是直线 l 上的任意一点，n 是与直线 l 的方向向量垂直
的单位向量，则 PQ 是 PM 在 n 上的投影向量， | PQ || PM n | .

o

也满足直线2 的方程2 + 2 + 2 = 0，
1 + 1 + 1 = 0
所以点P的坐标是方程组
的解
2 + 2 + 2 = 0
解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
课本70页例1
求下列两条直线的交点，并画出图形：
: + − = ； : + + = .
2 ：6 − 2 − 1 = 0 ；
（3） 1 ：3 + 4 − 5 = 0，
2 ：6 + 8 − 10 = 0.
总结：方程组解的组数与两直线的位置关系
对于直线1 ：A1 x + B1 y + C1 = 0与直线2 ：A2 x + B2 y + C2 = 0，若方程组
1 + 1 + 1 = 0
直线 Ax+By+C2 =0 的距离就是这两条平行直线间的距离，即
d=
|Ax0 +By0 +C2|
2
A +B
2
.
因为点 P ( x0 ,y0 ) 在直线 Ax+By+C1=0 上，所以 Ax0 +By0 +C1=0 ，
即 Ax0 +By0 = C1 ，因此
|Ax0 +By0 +C2| | C1+C2| |C1 C2|
l2： 2 x+3 y+18 = 0 ；
解：先求 l1 与 x 轴的交点 A 的坐标为(4,0).
点 A 到直线 l2 的距离
d=
|2 4+3 0+18|
22 32
26
=
=2 13 ，
13
所以 l1 与 l2 间的距离为 2 13.
另解：
| 8 18|
d=
|Ax0 +By0 +C|
2
A +B
2
.
问题：如何求两条平行直线间的距离呢？
二、探究新知
两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线
间的公垂线段的长.
思考
已知两条平行直线 l1，l2的方程，如何求 l1 与 l2 间的距离？
y
P•
在直线 l1 上任取一点 P ( x0 ,y0 )，点 P ( x0 ,y0 ) 到
于是|1 2 | =
2 − 1
2
+ 2 − 1 2 .
由此得到1 1 , 1 ，2 2 , 2 两点间的距离公式
|1 2 | =
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
两点间的距离公式
1 1 , 1 ，2 2 , 2 两点间的距离公式
| | =
−