2021-2022年高二第一次(10月)月考数学理试卷 含解析

2021-2022年高二第一次（10月）月考数学理试卷含解析
一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项）
1．抛物线2x2+y=0的焦点坐标是（）
A．B．C．D．
2．若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F
1，F
2
，点P在双曲线E上，且|PF
1
|=3，
则|PF
2
|等于（）
A．11 B．9 C．5 D．3
3．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的倍，则圆锥的高与球半径之比为（）
A．16：9 B．9：16 C．27：8 D．8：27
4．两圆C
1：（x+2）2+（y+1）2=4与C
2
：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4的位置关系为（）
A．内切B．外切C．相交D．相离
5．将正三棱柱截去三个角（如图甲所示，A，B，C分别是三边的中点）得到几何图形乙．则该几何体的正视图为（）
A．B．C．D．
6．已知A（﹣1，﹣1），过抛物线C：y2=4x上任意一点M作MN垂直于准线于N 点，则|MN|+|MA|的最小值为（）
A．5 B．C．D．
7．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为96，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）
A．B．16 C．D．32
8．以椭圆+=1的右焦点为圆心，且与双曲线﹣=1的渐近线相切的圆的方程是（）
A．x2+y2﹣10x+9=0 B．x2+y2﹣10x﹣9=0
C．x2+y2+10x+9=0 D．x2+y2+10x﹣9=0
9．设P为双曲线x2﹣=1上的一点，F
1，F
2
是该双曲线的两个焦点．若|PF
1
|：|PF
2
|=3：
2，则△PF
1F
2
的面积为（）
A．B．12 C．D．24
10．过抛物线y2=x的焦点F作直线l交抛物线准线于M点，P为直线l与抛物线的一个交点，且满足=3，则|PF|等于（）
A．B．C．D．
11．设F
1、F
2
分别是双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F
2
的直线交双
曲线右支于A、B两点，若AF
2⊥AF
1
，且|BF
2
|=2|AF
2
|，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
12．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．+1 D．﹣1
二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．若抛物线y2=4x上一点M到焦点F的距离为5，则点M的横坐标为．14．设圆x2+y2﹣4x﹣5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是15．过双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点F作直线l与双曲线交于A、B两点，若满足|AB|=8的直线有四条，则实数a的取值范围为．
16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|= ．
三.解答题（本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）
17．（10分）某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，三视图中的正视图和侧视图如图所示，求该几何体的体积．
18．（12分）已知动圆P过点A（﹣2，0）且与圆B：（x﹣2）2+y2=36内切．（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；
（2）若轨迹E上有一动点Q，满足∠AQB=60°，求|QA|•|QB|的值．19．（12分）已知方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．（1）求m的取值范围；
（2）当m=2时，直线y=kx+2与双曲线右支交于不同的两点A、B，求k的取值范围．
20．（12分）已知直线l与抛物线y2=8x交于A．B两点，且线段AB恰好被点P （2，2）平分．
（1）求直线l的方程；
（2）抛物线上是否存在点C和D，使得C．D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F
1，F
2
，上顶点
与两焦点构成的三角形为正三角形．（1）求椭圆C的离心率；
（2）过点F
2的直线与椭圆C交于A．B两点，若△F
1
AB的内切圆的面积的最大
值为．求椭圆的方程．
22．（12分）如图，抛物线C
1：y2=4x的焦点到准线的距离与椭圆C
2
：+=1（a＞b
＞0）的长半轴相等，设椭圆的右顶点为A，C
1，C
2
在第一象限的交点为B，O为
坐标原点，且△OAB的面积为．
（1）求椭圆C
2
的标准方程；
（2）若过点A作直线l交C
1
于C，D两点．①求证：∠COD恒为钝角；
②射线OC，OD分别交C
2于E，F两点，记△OEF，△OCD的面积分别为S
1
，S
2
，
问是否存在直线l，使得3S
2=13S
1
？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请
说明理由．
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项）
1．（xx秋•重庆校级月考）抛物线2x2+y=0的焦点坐标是（）A．B．C．D．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，确定焦点在y轴上，开口向下，及p 的值，即可求出抛物线2x2+y=0的焦点坐标．
【解答】解：抛物线2x2+y=0，可化为x2=﹣y，焦点在y轴上，开口向下．
又p=，∴，
∴焦点坐标是（0，﹣），
故选A．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，定位定量是关键．
2．（xx•福建）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F
1，F
2
，点P在双曲线E上，
且|PF
1|=3，则|PF
2
|等于（）
A．11 B．9 C．5 D．3
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．
∵|PF
1
|=3，∴P在双曲线的左支上，
∴由双曲线的定义可得|PF
2|﹣|PF
1
|=6，
∴|PF
2
|=9．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．3．（xx秋•重庆校级月考）一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的倍，则圆锥的高与球半径之比为（）
A．16：9 B．9：16 C．27：8 D．8：27
【考点】球内接多面体．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】利用圆锥的体积和球的体积相等，通过圆锥的底面半径与球的半径的关系，推出圆锥的高与底面半径之比．
【解答】解：V
圆锥=，V
球
=，V
圆锥
=V
球
，
∵r=R
∴h=R
∴h：R=16：9．
故选A．
【点评】本题是基础题，考查圆锥的体积、球的体积的计算公式，考查计算能力．
4．（xx秋•重庆校级月考）两圆C
1：（x+2）2+（y+1）2=4与C
2
：（x﹣2）2+（y
﹣1）2=4的位置关系为（）
A．内切B．外切C．相交D．相离
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆的位置关系．
【解答】解：由题意可得，两圆的圆心距C
1C
2
==2＞2+2，即两圆的圆心距大于两
圆的半径之和，
故两圆相离，
故选D．
【点评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题．
5．（xx秋•重庆校级月考）将正三棱柱截去三个角（如图甲所示，A，B，C分别是三边的中点）得到几何图形乙．则该几何体的正视图为（）
A．B．C．D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】由正视图的定义及其性质即可得出．
【解答】解：由正视图的定义及其性质可知：其外形为梯形，其中AE，AD为虚线，BF，FC的射影线为实线．
因此：该几何体的正视图为A．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（xx秋•重庆校级月考）已知A（﹣1，﹣1），过抛物线C：y2=4x上任意一点M作MN垂直于准线于N点，则|MN|+|MA|的最小值为（）
A．5 B．C．D．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】作图题；转化思想；数学模型法；空间位置关系与距离．
【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，数形结合可知，当F、M、A共线时，|MN|+|MA|的值最小为|FA|，再由两点间的距离公式得答案．
【解答】解：如图，由抛物线C：y2=4x，得F（1，0），
又A（﹣1，﹣1），∴|MN|+|MA|的最小值为|FA|=．故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．7．（xx秋•重庆校级月考）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为96，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）
A．B．16 C．D．32
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】设正六棱柱的底面边长为x，则侧棱长也为x，利用体积96=6××x，解得x．其左视图为矩形．
【解答】解：设正六棱柱的底面边长为x，则侧棱长也为x，
则体积96=6××x，解得x=4．
其左视图为矩形，边长分别为4，4，
可得面积S=4×4，
=16．
故选：C．
【点评】本题考查了正六棱柱的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（xx•九江二模）以椭圆+=1的右焦点为圆心，且与双曲线﹣=1的渐近线相切的圆的方程是（）
A．x2+y2﹣10x+9=0 B．x2+y2﹣10x﹣9=0
C．x2+y2+10x+9=0 D．x2+y2+10x﹣9=0
【考点】圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．
【专题】综合题．
【分析】要求圆的方程，首先求圆心坐标，根据椭圆的简单性质找出a与b的值，求出c的值，写出椭圆右焦点的坐标即为圆心坐标，然后找半径，根据双曲线的简单性质找出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离d即为圆的半径，最后根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．
【解答】解：由椭圆的方程得a=13，b=12，根据椭圆的简单性质得：c==5，所以右焦点坐标为（5，0），即所求圆心坐标为（5，0），
由双曲线的方程得到a=3，b=4，所以双曲线的渐近线方程为y=±x，即±4x﹣3y=0，
由双曲线的渐近线与所求的圆相切，得到圆心到直线的距离d==4=r，
则所求圆的方程为：（x﹣5）2+y2=16，即x2+y2﹣10x+9=0．
故选A．
【点评】此题考查了椭圆及双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系及圆的标准方程．掌握椭圆及双曲线的简单性质是解本题的关键，同时注意直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径．
9．（xx•辽宁）设P为双曲线x2﹣=1上的一点，F
1，F
2
是该双曲线的两个焦点．若
|PF
1|：|PF
2
|=3：2，则△PF
1
F
2
的面积为（）
A．B．12 C．D．24
【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据双曲线定义得|PF
1|﹣|PF
2
|=2a=2，所以
，再由△PF
1
F
2
为直角三角形，可以推导出
其面积．
【解答】解：因为|PF
1|：|PF
2
|=3：2，设|PF
1
|=3x，|PF
2
|=2x，
根据双曲线定义得|PF
1|﹣|PF
2
|=3x﹣2x=x=2a=2，
所以，，
△PF
1F
2
为直角三角形，其面积为，
故选B．
【点评】本题考查双曲线性质的灵活运用，解题时要注意审题．
10．（xx秋•重庆校级月考）过抛物线y2=x的焦点F作直线l交抛物线准线于M 点，P为直线l与抛物线的一个交点，且满足=3，则|PF|等于（）A．B．C．D．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设|PF|=a，则|FM|=2a，P到准线的距离为a，利用三角形的相似，建立方程，即可得出结论．
【解答】解：设|PF|=a，则P到准线的距离为a，
∵=3，
∴|PM|=2a，
由题意可得，∴a=，
故选A．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，正确建立方程是关键．
11．（xx秋•重庆校级月考）设F
1、F
2
分别是双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左、右
焦点，过点F
2的直线交双曲线右支于A、B两点，若AF
2
⊥AF
1
，且|BF
2
|=2|AF
2
|，
则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意，设|AF
2|=m，则|BF
2
|=2m，利用勾股定理，求出a，m的关系，
再利用勾股定理确定a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：由题意，设|AF
2|=m，则|BF
2
|=2m，
∴|AF
1|=2a+m，|BF
1
|=2a+2m，
∵AF
2⊥AF
1
，
∴（2a+2m）2=（2a+m）2+（3m）2，
∴m=a，
∵（2c）2=（2a+m）2+（m）2，
∴e==．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的离心率，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．（xx•山西三模）已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．+1 D．﹣1
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA 与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．
【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，
则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，
∵|PA|=m|PB|，
∴|PA|=m|PN|
∴=
设PA的倾斜角为α，则sinα=，
当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PM的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），
即x2﹣4kx+4=0，
∴△=16k2﹣16=0，
∴k=±1，
∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）
∴双曲线的离心率为=+1．
故选C．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，是解题的关键．
二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（xx秋•运城期末）若抛物线y2=4x上一点M到焦点F的距离为5，则点M 的横坐标为 4 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，求解即可．
【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，
∵抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于5，
∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，
∴可得所求点的横坐标为4．
故答案为：4
【点评】本题给出抛物线上一点到焦点的距离，要求该点的横坐标，着重考查了抛物线的标准方程与简单性质，属于基础题．
14．（xx秋•邗江区校级期末）设圆x2+y2﹣4x﹣5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是x+y﹣4=0
【考点】直线与圆相交的性质；中点坐标公式；直线的一般式方程．
【分析】先把圆的方程变为标准形式，得到圆心O坐标和半径，根据垂径定理可知OP与AB垂直，求出OP的斜率，即可得到哦AB的斜率，写出AB的方程即可．
【解答】解：由x2+y2﹣4x﹣5=0得：（x﹣2）2+y2=9，得到圆心O（2，0），所以求出直线OP的斜率为=1，根据垂径定理可知OP⊥AB
所以直线AB的斜率为﹣1，过P（3，1），所以直线AB的方程为y﹣1=﹣1（x﹣3）即x+y﹣4=0
故答案为x+y﹣4=0
【点评】考查学生灵活运用直线与圆相交的性质，会根据两直线垂直得到斜率的乘积为﹣1，会写出直线的一般式方程．
15．（xx秋•重庆校级月考）过双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点F作直线l与双曲线交于A、B两点，若满足|AB|=8的直线有四条，则实数a的取值范围为1＜a ＜4 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．
【解答】解：由题意，AB是通径时，|AB|==8，∴a=1
若AB只与双曲线右支相交时，|AB|的最小距离是通径，此时有两条直线符合条件，∴a＞1；
若AB与双曲线的两支都相交时，此时|AB|的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a=8，∴a=4，结合双曲线的对称性，此时有2条直线符合条件，a＜4；综合可得，有4条直线符合条件时，1＜a＜4；
故答案为1＜a＜4．
【点评】本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解；要避免由弦长公式进行计算．
16．（xx秋•重庆校级月考）圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|= 2﹣3 ．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线方程，求得c=，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，可知|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，并结合双曲线的定义可得|PO|﹣
|PT|=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3．
【解答】解：设双曲线的右焦点为F′，则PO是△PFF′的中位线，
∴|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，
根据双曲线的方程得：
a=3，b=2，c=，
∴|OF|=，
∵MF是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，
∴Rt△OTF中，|FT|==2，
∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣（|MF|﹣|FT|）=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3，
故答案为：2﹣3．
【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的中位线定理、圆的切线的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三.解答题（本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）
17．（10分）（xx秋•重庆校级月考）某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，三视图中的正视图和侧视图如图所示，求该几何体的体积．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】由正视图与侧视图可知：圆柱的底面直径为6，高为7，球的直径为6，圆锥的底面直径为6，高为4．
【解答】解：由正视图与侧视图可知：圆柱的底面直径为6，高为7，球的直径为6，圆锥的底面直径为6，高为4．
可得该几何体的体积V=π×32×7﹣﹣=33π．
【点评】本题考查了圆柱、圆锥、球的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（xx秋•重庆校级月考）已知动圆P过点A（﹣2，0）且与圆B：（x ﹣2）2+y2=36内切．
（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；
（2）若轨迹E上有一动点Q，满足∠AQB=60°，求|QA|•|QB|的值．
【考点】轨迹方程．
【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）依题意，不难得到||PA|+|PB|=6，转化为椭圆定义，求出动圆圆心P的轨迹的方程．
（2）利用余弦定理及椭圆的定义，建立方程，即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意，动圆与定圆相内切，得|PA|+|PB|=6，可知P到两个定点A、B的距离的和为常数6，并且常数大于|AB|，所以点P的轨迹为以A、B 焦点的椭圆，可以求得a=3，c=2，b=，
所以动圆圆心P的轨迹E的方程为=1；
（2）设|QA|=m，|QB|=n，
则由余弦定理可得16=m2+n2﹣2mn×=m2+n2﹣mn=（m+n）2﹣3mn，
∵m+n=6，
∴mn=，即|QA|•|QB|=．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，余弦定理的运用，是中档题．
19．（12分）（xx秋•重庆校级月考）已知方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．
（1）求m的取值范围；
（2）当m=2时，直线y=kx+2与双曲线右支交于不同的两点A、B，求k的取值范围．
【考点】圆锥曲线的实际背景及作用．
【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）把方程化为x2+y2=1，令，求出m的取值范围即可；（2）m=2时方程化为x2﹣y2=3，与直线方程联立消去y，得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣7=0，则该方程有两个不相等的正实数根即可．
【解答】解：（1）方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线，
∴2m+2≠0，即m≠﹣1，
∴方程化为x2+y2=1，
即，
解得，
即0＜m＜4；
（2）当m=2时，方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2化为x2﹣y2=3，
由，消去y，得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣7=0；
则1﹣k2≠0①，
△=16k2+28（1﹣k2）＞0②，
＞0③，
＞0④；
由①②③④组成不等式组，解得：
﹣＜k＜﹣1，
所以直线y=kx+2与双曲线右支交于不同的两点A、B时，
k的取值范围是﹣＜k＜﹣1．
【点评】本题考查了双曲线的定义与性质的应用问题，也考查了直线与二次方程的应用问题，是综合性题目．
20．（12分）（xx秋•重庆校级月考）已知直线l与抛物线y2=8x交于A．B两点，且线段AB恰好被点P（2，2）平分．
（1）求直线l的方程；
（2）抛物线上是否存在点C和D，使得C．D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，说明理由．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）利用点差法，求出直线的斜率，即可求出直线l的方程；
（2）设直线CD的方程为x+2y+c=0，与抛物线联立，可得y2+16y+8c=0，求出CD的中点坐标，代入直线l，即可得出结论．
【解答】解：（1）设A（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
），则x
1
+x
2
=4，y
1
+y
2
=4，
∵y
12=8x
1
，y
2
2=8x
2
，∴4（y
1
﹣y
2
）=8（x
1
﹣x
2
），∴k
AB
=2，
∴直线l的方程为：y﹣2=2（x﹣2），化为2x﹣y﹣2=0．（2）设直线CD的方程为x+2y+c=0，
与抛物线联立，可得y2+16y+8c=0，
设C（x
3，y
3
），D（x
4
，y
4
），则y
3
y
4
=﹣8c，y
3
+y
4
=﹣16，
∴x
3+x
4
=（y
3
2+y
4
2）=32+2c，
∴CD的中点坐标为（16+c，﹣8）
代入2x﹣y﹣2=0，可得32+2c+8﹣2=0，
∴c=﹣19，
∴直线CD的方程为x+2y﹣19=0．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率与中点坐标公式、直线与与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）（xx秋•重庆校级月考）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左．右焦
点分别为F
1，F
2
，上顶点与两焦点构成的三角形为正三角形．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）过点F
2的直线与椭圆C交于A．B两点，若△F
1
AB的内切圆的面积的最大
值为．求椭圆的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的实际背景及作用．
【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）如图所示，M（0，b），△MF
1F
2
为正三角形．可得|MF
1
|=2|OF
1
|，即
a=2c，可得椭圆离心率．
（2）由（1）可知：椭圆的方程化为：3x2+4y2=12c2．设直线AB的方程为ty=x
﹣c，A（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
）．与椭圆的方程联立化为：（3t2+4）y2+6tcy﹣9c2=0，
可得|y
1﹣y
2
|=.=•|y
1
﹣y
2
|=．通过换元利用导数研究其单调性可得：△F
1
AB的
面积取得最大值3c2．另一方面可得：设△F
1
AB的内切圆的半径为r，=≤3c2．可得r≤，利用=，解得c即可得出．
【解答】解：（1）如图所示，
M（0，b），△MF
1F
2
为正三角形．
∴|MF
1|=2|OF
1
|，∴a=2c，
可得椭圆离心率e==．
（2）由（1）可知：a=2c，b=c，∴椭圆的方程化为：3x2+4y2=12c2．
设直线AB的方程为ty=x﹣c，A（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
）．
联立，
化为：（3t2+4）y2+6tcy﹣9c2=0，
∴y
1+y
2
=，y
1•
y2=．
∴|y
1﹣y
2
|==．
∴=•|y
1﹣y
2
|=×=．
设=m≥1，则t2=m2﹣1，∴==，
令f（m）=3m+，则f′（m）=3﹣＞0，
∴函数f（m）在[1，+∞）上单调递增，因此m=1，t=0时，△F
1
AB的面积取得最大值3c2．
设△F
1
AB的内切圆的半径为r，则==4cr≤3c2．
∴r≤，
∴=，解得c=1．
∴椭圆的方程为：=1．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、正三角形的性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角形的内切圆的性质与面积，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22．（12分）（xx秋•重庆校级月考）如图，抛物线C
1
：y2=4x的焦点到准线的
距离与椭圆C
2：+=1（a＞b＞0）的长半轴相等，设椭圆的右顶点为A，C
1
，C
2
在
第一象限的交点为B，O为坐标原点，且△OAB的面积为．
（1）求椭圆C
2
的标准方程；
（2）若过点A作直线l交C
1
于C，D两点．
①求证：∠COD恒为钝角；
②射线OC，OD分别交C
2于E，F两点，记△OEF，△OCD的面积分别为S
1
，S
2
，
问是否存在直线l，使得3S
2=13S
1
？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请
说明理由．
【考点】直线与抛物线的位置关系；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）p=2，得椭圆的长半轴a=2，由△OAB的面积为=，知B的坐标．代
入抛物线能求出椭圆C
2
方程．
（2）①设直线l的方程为：x=my+2，与抛物线方程联立，得y2﹣4my﹣8=0，利用韦达定理和向量的数量积导出∠COD＞90°，由此能证明结论；
②==•，求出直线OC的方程，与椭圆方程联立，利用
3S
2=13S
1
，由此能推导出存在直线l使得3S
2
=13S
1
．
【解答】解：（1）抛物线C
1
：y2=4x中，p=2，得椭圆的长半轴a=2，∵△OAB的面积为=，
∴y
B
=．
代入抛物线求得B（，），
∴椭圆C
2
方程为=1．
（2）①设直线l的方程为：x=my+2，由，得y2﹣4my﹣8=0，
设C（x
1，y
1
），D（x
2
，y
2
），
∴y
1+y
2
=4m，y
1
y
2
=﹣8，
∴x
1x
2
=4，
∴x
1x
2
+y
1
y
2
=﹣4＜0，
∴∠COD＞90°，
∴∠COD恒为钝角．
②==•，直线OC的斜率为=，
∴直线OC的方程为x=．
与椭圆方程联立，得y
E 2=，y
F
2=，
∴y
E
2•y F2=，∴（）2==，∴m=±1，
∴直线l的方程为：x=±y+2．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，探索满足条件的直线方程是否存在．综合性强，难度大，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理合理运用．
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