2024届重庆市南开中学高一数学第二学期期末复习检测模拟试题含解析

2024届重庆市南开中学高一数学第二学期期末复习检测模拟试
题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．若
sin cos 1
sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）
A ．34
-
B ．
34
C ．43
-
D ．
43
2．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： 16进
制 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10进
制
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
现在，将十进制整数2019化成16进制数为（ ） A ．7E 3
B ．7F 3
C ．8E 3
D ．8F 3
3．如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，该矩形所在的平面内一点P 满足
1CP =，记1I AB AP =⋅，2I AC AP =⋅，3I AD AP =⋅，则（ ）
A ．存在点P ，使得12I I =
B ．存在点P ，使得13I I =
C ．对任意的点P ，有21I I >
D ．对任意的点P ，有31I I >
4．已知向量()
a a
b ⊥+，2b a =，则a ，b 的夹角为（ ） A ．
23
π B ．
34
π C ．
56
π D ．π
5．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 是OD 的中点，AE 的延长线与
CD 相交于点F ，若1AD =，2AB =，3BD =，则AF BD ⋅=( )
A ．
32
B ．1-
C ．
33
D ．23
-
6．已知函数f （x ）223
3
x x log x x ⎧=⎨≥⎩，＜，，则f [f （2）]＝（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC =3CD ，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO =x AB +(1-x)AC ，则x 的取值范围是 ( ) A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
B ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
C ．102⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， D ．103⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 8．圆被轴所截得的弦长为（ ） A ．1
B ．
C ．2
D ．3
9．产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标．下图为国家统计局发布的 2015 年至 2018 年第 2 季度我国工业产能利用率的折线图．
在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2016 年第二 季度与 2015 年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2015年第二季度与 2015 年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是（ ） A ．2015年第三季度环比有所提高 B ．2016年第一季度同比有所提高 C ．2017年第三季度同比有所提高
D ．2018年第一季度环比有所提高
10．在等差数列{}n a 中，若前10项的和1060S =，77a =，则4a =( ) A ．4
B ．4-
C ．5
D ．5-
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知关于两个随机变量,x y 的一组数据如下表所示，且,x y 成线性相关，其回归直线方程为 2.2y a x =+，则当变量10x =时，变量y 的预测值应该是_________ ．
x
2 3 4 5 6 y
4
6
7
10
13
12．过点(0,0)O 作直线与圆22(45)(8)169x y -+-=相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为______________. 13．已知点(3,1)和(4,6)在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是__________. 14．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的正三角形，4PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________． 15．下列结论中正确的是______. （1）将1sin 233π⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
y x 图像向左平移3π
个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来
的2倍，得到1sin 3
y x =-的图像； （2）将1sin 233π⎛⎫
=
+ ⎪⎝⎭
y x 图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图像向左平移
3π
个单位，得到1sin 3
y x =-的图像； （3）将1sin 233π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
y x 图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图像向左
平移
23π
个单位，得到1sin 3
y x =-的图像； （4）将1sin 233π⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭y x 图像上所有点的横坐标变为原来的1
2
倍，再将图像向左平移
3π
个单位，得到1sin 3
y x =-的图像； （5）将1sin 233π⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
y x 图像向左平移3π
个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来
的
12倍，得到1
sin 3
y x =-的图像； 16．在ABC △中，23,2a b ==，3ABC S ∆=，则角C =_____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ，AC BD G ⋂=． （Ⅰ）求证：//AE 平面BFD ； （Ⅱ）求三棱锥C BGF -的体积．
18．已知()1
221*,,0n n n n n n u a a
b a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.
（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）； （2）求1
lim
n
n n u u →∞-.
19．已知a ()2cos ,1x =-，b (
)
3sin cos ,1x x =+，函数()f x =a b ⋅.
(1)求()f x 在区间0,
4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值； (2)若函数()y f
x ω=在区间2,
3
3ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上是单调递增函数，求正数ω的取值范围. 20．某城市理论预测2020年到2024届人口总数与年份的关系如下表所示： 年份202x （年） 0 1 2 3 4 人口数y （十万）
5
7
8
11
19
（1）请在右面的坐标系中画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； （3）据此估计2025年该城市人口总数.
（参考公式：()()()
1
1
2
2
21
1
ˆn n
i
i
i i
i i n
n
i
i i i x x y y x y nx y
b
x x x nx ====---==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-） 21．已知
()()sin 317cos 31αππα+=-，()sin 1
cos sin 6
πβββ-=-.
(1)求()tan αβ+的值；
(2)若α，β均为锐角，求2αβ+的值.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】 试题分析：
sin cos tan 11,tan 3sin cos tan 12ααααααα++===---，22tan 63
tan 21tan 84
ααα-===--.
考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系． 2、A 【解题分析】
通过竖式除法，用2019除以16，取其余数，再用商除以16，取其余数，直至商为零，将余数逆着写出来即可. 【题目详解】
用2019除以16，得余数为3，商为126； 用126除以16，得余数为14，商为7； 用7除以16，得余数为7，商为0； 将余数3,14,7逆着写，即可得7E3. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查进制的转化，只需按照流程执行即可. 3、C 【解题分析】
以C 为原点，以,CD CB 所在直线为x 轴、y 轴建立坐标系，则
()()3,2,0,2,A B ---()3,0,C -()()()3,0,3,2,0,2AB AC AD ===，
1CP =，
且P 在矩形内，∴可设()3cos ,2P sin ααπαπ⎛
⎫
<<
⎪⎝⎭
，()cos 3,2AP sin αα=++，13cos 9I AB AP α=⋅=+，23cos 213I AC AP sin αα=⋅=++，324I sin α=+，
2121240,I I sin I I α∴-=+>>，A 错误，C 正确，
()
3152350I I sin sin αααϕ-=-+-=-+<，31I I <， B 错误，D 错误，
故选C.
【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式的坐标表示，属于中档题.平面向量数
量积公式有两种形式，一是几何形式，cos a b a b θ⋅=，二是坐标形式，
1212a b x x y y ⋅=+（求最值问题与求范围问题往往运用坐标形式），主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a b
θ=
（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投
影，a 在b 上的投影是a b b
⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模
（平方后需求a b ⋅）. 4、A 【解题分析】
由题意得()
0a a b ⋅+=，即可得2
a b a ⋅=-，再结合2b a =即可得解. 【题目详解】
由题意知()
220a a b a a b a a b ⋅+=+⋅=+⋅=，则2
a b a ⋅=-.
2
2
1cos ,22a
a b a b a b
a
-⋅=
=
=-，则a ，b 的夹角为23π
. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查了向量数量积的应用，属于基础题. 5、B 【解题分析】
先根据勾股定理判断ADB ∆
为直角三角形，且90ADB ∠=︒，60DAB ∠=︒，再根据三角形相似可得1
3
DF AB =，然后由向量的加减的几何意义以及向量的数量积公式计算即可． 【题目详解】
1AD =，2AB =，BD =
222AB AD BD ∴+=，
ADB ∴∆为直角三角形，且90ADB ∠=︒，60DAB ∠=︒，
平行行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 是OD 的中点，
13DE DB ∴=
，//DF AB ，13
DF AB ∴=
∴1
3
AF AD DF AD AB =+=+
，BD AD AB =-， ∴
22112421
·()()1121
333332
AF BD AD AB AD AB AD AB AD AB =+⋅-=--⋅=--⨯⨯⨯=-故选B ． 【题目点拨】
本题主要考查向量的加减的几何意义以及向量的数量积公式的应用． 6、B 【解题分析】
根据分段函数的表达式求解即可. 【题目详解】
由题[]2
2(2)(2)(4)log 42f f f f ====.
故选：B 【题目点拨】
本题主要考查了分段函数的求值,属于基础题型. 7、D 【解题分析】
根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的三分之一关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果． 【题目详解】 如图.
依题意，设BO =λBC ，其中1<λ<43
， 则有AO =AB +BO =AB +λBC
=AB +λ(AC -AB )=(1-λ)AB +λAC .
又AO =x AB +(1-x)AC ，且AB AC ，不共线，于是有x=1-λ∈103⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
，即x 的取值范
围是
1
3
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，.
故选D.
【题目点拨】
本题考查向量的基本定理，是一个基础题，这种题目可以出现在解答题目中，也可以单独出现，注意表示向量时，一般从向量的起点出发，绕着图形的边到终点．
8、C
【解题分析】
先计算圆心到轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.
【题目详解】
，圆心为
圆心到轴的距离
弦长
故答案选C
【题目点拨】
本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.
9、C
【解题分析】
根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．
【题目详解】
解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A错误；
2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B错误；
2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正确；
2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误．
故选C．
【题目点拨】
本题考查了新定义的理解，图表认知，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．
10、C 【解题分析】 试题分析：()
()1101047410560,52
a a S a a a ⋅+=
=+==.
考点：等差数列的基本概念.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、21.2 【解题分析】
计算出4x =，8y =，可知回归方程经过样本中心点，从而求得0.8a =-，代入10x =可得答案. 【题目详解】
由表中数据知，4x =，8y =，线性回归直线必过点(,)x y ，所以将4x =，8y =代入回归直线方程 2.2y a x =+中，得0.8a =-，所以当10x =时，
0.8 2.21021.2y =-+⨯=.
【题目点拨】
本题主要考查回归方程的相关计算，难度很小. 12、
9
32
【解题分析】
根据圆的性质可求得最长弦和最短弦的长度，从而得到所有弦长为整数的直线条数，从中找到长度不超过14的直线条数，根据古典概型求得结果. 【题目详解】
由题意可知，最长弦为圆的直径：221326r =⨯=
()
0,0O 在圆内部且圆心到O 12=
∴最短弦长为：210=
∴弦长为整数的直线的条数有：()22510232⨯-+=条
其中长度不超过14的条数有：()2141019⨯-+=条
∴所求概率：9
32
p =
本题正确结果：
932
【题目点拨】
本题考查古典概型概率问题的求解，涉及到过圆内一点的最长弦和最短弦的长度的求解；易错点是忽略圆的对称性，造成在求解弦长为整数的直线的条数时出现丢根的情况. 13、70a -<< 【解题分析】
试题分析：若点A （3，1）和点B （4，6）分别在直线3x-2y+a=0两侧，则将点代入直线中是异号，则[3×3-2×1+a]×[3×4-2×6+a]＜0，即（a+7）a ＜0，解得-7＜a ＜0，故填写-7<a<0
考点：本试题主要考查了二元一次不等式与平面区域的运用．
点评：解决该试题的关键是根据A 、B 在直线两侧，则A 、B 坐标代入直线方程所得符号相反构造不等式． 14、
64
3
π 【解题分析】
设三棱锥P ABC -的外接球半径为R ，利用正弦定理求出ABC ∆的外接圆半径r ，再
利用公式R =可计算出外接球半径R ，最后利用球体的表面积公式可计
算出结果. 【题目详解】
由正弦定理可得，ABC ∆的外接圆直径为242sin 603
r ==
，r ∴= 设三棱锥P ABC -的外接球半径为R ，
PA ⊥平面ABC ，
3R ∴==，
因此，三棱锥P ABC -的外接球表面积为2
2
64443R πππ=⨯=⎝⎭，故答案为643
π
. 【题目点拨】
本题考查多面体的外接球，考查球体表面积的计算，在求解直棱柱后直棱锥的外接球，
若底面外接圆半径为r ，高为h ，可利用公式R =R ，解题时要熟悉这些结论的应用.
15、（1）（3） 【解题分析】
根据三角函数图像伸缩变换与平移变换的原则，逐项判断，即可得出结果. 【题目详解】 （1）将1sin 233π⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
y x 图像向左平移3π
个单位，得到
()11
sin 2sin 233π=+=-y x x 的图像，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到
1
sin 3y x =-的图像；（1）正确；
（2）将1sin 233π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到
1sin 33π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 的图像，再将图像向左平移3π
个单位，得到12sin 33
π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
y x 的图像；（2）错； （3）将1sin 233π⎛⎫
=
+ ⎪⎝⎭
y x 图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到1sin 33π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
y x 的图像，再将图像向左平移23π
个单位，得到
()11
sin sin 33
π=+=-y x x 的图像；（3）正确；
（4）将1sin 233π⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭y x 图像上所有点的横坐标变为原来的1
2
倍，得到1sin 433π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 的图像，再将图像向左平移3π
个单位，得到
1512sin 4sin 433
33y x x π
π⎛⎫
⎛⎫
=+
=-+ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
的图像；
（4）错； （5）将1sin 233π⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
y x 图像向左平移3π
个单位，得到
()11sin 2sin 233π=+=-y x x 的图像，再将所有点的横坐标扩大为原来的1
2倍，得到
1
sin 43
=-y x 的图像；（5）错；
故答案为（1）（3） 【题目点拨】
本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型. 16、30︒或150︒ 【解题分析】
本题首先可以通过解三角形面积公式得出sin C 的值，再根据三角形内角的取值范围得出角C 的值。

【题目详解】
由解三角形面积公式可得：1
sin 2
ABC S ab C ∆=，
11
2sin sin 22
C C =⨯⨯=，
， 因为0180C ︒︒<<， 所以30C ︒=或150︒。

【题目点拨】
在解三角形过程中，要注意求出来的角的值可能有多种情况。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）1
3
【解题分析】
（Ⅰ）先证明//AE GF ，再证明//AE 平面BFD ； （Ⅱ） 由等积法可得1
3
C BFG G BCF CFB V V S FG --∆==⋅⋅即可求解. 【题目详解】
（Ⅰ）因为G 是AC 中点，又因为BF ⊥平面ACE ，所以BF CE ⊥，由已知BC BE =，所以F 是AC 中点，所以//AE GF ，因为AE ⊄平面BFD ，GF ⊂平面BFD ，所以//AE 平面BFD ．
（Ⅱ）因为AD ⊥平面ABE ，//AD BC ，所以BC ⊥平面ABE ，则BC ⊥AE ，又因为BF ⊥平面ACE ，所以BF AE ⊥，则AE ⊥平面BCE ，由//AE GF 可得GF ⊥平面BCE ，因为2AE EB BC === ， 此时1122124BCF BCE S S ∆∆==⨯⨯=，1
12
FG AE ==， 所以11
33
C BFG
G BCF CFB V V S FG --∆==⋅⋅=．
【题目点拨】
本题主要考查线面平行的判定及利用等积法求三棱锥的体积问题，属常规考题.
18、（1）1a =时，()3,12
n n n S a +=≠时，()()()
2
122
1221n n n
n a n a a a
S a +++-+-+=-；
（2）1
,lim
,n n n a a b u b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩；
【解题分析】
（1）当a b =时，求出()1n
n u n a =+，再利用错位相减法，求出{}n u 的前n 项和n S ；
（2）求出
1
n
n u u -的表达式，对a ，b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限. 【题目详解】
（1）当a b =时，可得()1n
n u n a =+，
当1a =时，得到1n u n =+， 所以()
32
n n n S +=
， 当1a ≠时，
所以()2
3
1
2341n n n S a a a na
n a -=+++⋅⋅⋅+++，
两边同乘a 得()2
3
41
2341n
n n aS a a a na n a
+=+++⋅⋅⋅+++
上式减去下式得()()2
3
1
121n
n n a S a a a a n a
+-=+++⋅⋅⋅+-+
()()()11111n n n a a a S a n a a
+--=+
-+-，
所以()
()
()12
1111n n n a a a n a S a
a +--+=
+--
()()()
2122
1221n n n a n a a a a +++-+-+=- 所以综上所述，1a =时，()
32
n n n S +=
；1a ≠时，()()()
2122
1221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-. （2）由（1）可知当a b =时，()1n
n u n a =+
则()11
1lim lim n n
n n n n n a u u na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==；
当a
b 时，11n n n n
n u a a b ab b --=++⋅⋅⋅++
21n
n
b b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()1
1111
1n n n n b a
a a
b b a b
a
+++⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
==
--- 则11
1n n n n n n u a b u a b
++--=- 若0a b >>，11
1
lim
lim lim 1n
n n n n n n n n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞
-⎛⎫
- ⎪
-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 若0b a >>，11
1
lim
lim lim 1n
n n n n n n
n n n n b a b u a b a
b u a b b a ++→∞→∞→∞
-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭
所以综上所述1
,lim ,n n n a a b u b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.
【题目点拨】
本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题. 19、（1）()()max min 2, 1.f x f x ==（2）1
0.4
ω<≤ 【解题分析】
（1）利用向量的数量积化简即可得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，求出26
x π
+
的范围结合图像即可解决．
（2）根据（1）()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
求出()f x ω，再根据正弦函数的单调性求出()f x ω的单调区间即可．
【题目详解】 解：
()f x =a b
⋅)
2cos cos 1x
x x =+
-2cos 22sin 2,6x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭
（1）因为0,
,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
所以22663x πππ≤+≤，所以1sin 2126x π⎛
⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()()max min 2, 1.f x f x ==
（2）解法一：()2sin 2,6f x x πωω⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭令222,,262
k x k k Z πππ
πωπ-<+<+∈ 得
,,36k k x k Z π
πππ
ω
ωωω
-
<<+∈ 因为函数()f x 在233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上是单调递增函数，
所以存在0k Z ∈，使得233ππ⎛⎫⊆
⎪⎝⎭，0036k k ππππωωωω⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，， 所以有0033
263k k πππ
ωωπππωω
⎧-≤⎪⎪⎨
⎪+≥⎪⎩，， 因为0>ω，所以0031614k k ωω≤+⎧⎨+≥⎩，，
所以016k >-，
又因为
2123322πππω-≤⋅，得302ω<≤，所以05
.6
k ≤ 从而有015,66k -
<≤所以00k =，所以10.4
ω<≤ 解法二：由
2123322πππω-≤⋅，得3
02
ω<≤， 因为2,33
x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以
24263636x πωππωππω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，， 所以
423362362ωπππωπππ+≤+≥或，解得1
0 2.4
ωω<≤≥或 又3
02ω<≤
，所以10.4
ω<≤ 【题目点拨】
本题主要考查了正弦函数在给定区间是的最值以及根据根据函数的单调性求参数．属于中等题，解决本题的关键是记住正弦函数的单调性、最值等．
20、（1）见解析；（2）ˆ 3.2 3.6y x =+；（3）2025年该城市人口总数为196万人
【解题分析】
（1）由表中数据描点即可；
（2）由最小二乘法的公式得出ˆˆ,a
b 的值，即可得出该线性方程； （3）将5x =代入（2）中的线性方程，即可得出2025年该城市人口总数. 【题目详解】
（1）画出散点图如图所示.
（2）2x =，10y =，
5
2
222221
0123430i
i x
==++++=∑，
5
1
051728311419132i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
1325210ˆ 3.23054
b
-⨯⨯==-⨯，ˆ10 3.22 3.6a =-⨯=， 则线性回归方程ˆ 3.2 3.6y
x =+. （3）5x =时，19.6y =（十万）196=（万）. 答：估计2025年该城市人口总数为196万人 【题目点拨】
本题主要考查了绘制散点图，求回归直线方程以及根据回归方程进行数据估计，属于中档题. 21、（1）
3
4 （2） 4
π 【解题分析】
（1）利用诱导公式可得tan ,tan αβ的值，再利用两角和的正且公式可求得()tan αβ+的值.
(2)先判断角2αβ+的范围，再求()tan 2αβ+的值，可求得2αβ+的值. 【题目详解】
（1）
()()sin 3sin 17
tan cos cos 31
απααπαα+-===--. ()sin sin 1cos sin cos sin 6πββββββ-==--,可得：1
tan 7
β=
()171
tan tan 3
317tan 1711tan tan 4
1317
αβαβαβ+
++===-⋅-⨯
（2）由α，β均为锐角，由（1）()3tan 14
αβ+=< 所以04
π
αβ<+<
，所以022
π
αβ<+<
()()()()tan tan tan 2tan 1tan tan αββ
αβαββαββ
+++=++=⎡⎤⎣⎦-+⨯
31
47131147
+
==-⨯
所以24
π
αβ+=
【题目点拨】
本题考查三角函数的诱导公式和角变换的应用，考查知值求值和角，属于中档题.。