高中数学人教A版必修4讲义：第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角含答案

2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
预习课本P106～107，思考并完成以下问题
(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？
(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？
[新知初探]
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．
2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式
(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.
(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.
(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，
则cos θ＝a·b
|a||b|＝
x1x2＋y1y2
x21＋y21·x22＋y22
.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()答案：(1)×(2)×(3)×
2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是()
A．23B．7C．－23D．－7
答案：D
3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是() A．{2,3} B．{－1,6} C．{2} D．{6}
答案：C
4．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
答案：2
平面向量数量积的坐标运算
[典例](1)(全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()
A．－1B．0
C．1 D．2
(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC＝()
A．5 B．4
C．3 D．2
[解析](1)a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
(2)由AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝5.
[答案](1)C(2)A
数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
[活学活用]
已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
解：(1)因为a与b同向，又b＝(1,2)，
所以a＝λb＝(λ，2λ)．
又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.
因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2,4)．
(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，
所以(b·c)·a＝0·a＝0.
向量的模的问题
[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )
A. 5
B.10 C ．2 5
D ．10
(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．
[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a ⊥c ，b ∥c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝－2.
∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)． ∴|a ＋b |＝10.
(2)由题意可设AB ＝λa (λ＞0)， ∴AB ＝(2λ，3λ)．又|AB |＝213，
∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或－2(舍去)． ∴AB ＝(4,6)．又A (1，－2)，∴B (5,4)． [答案] (1)B (2)(5,4)
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：
利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：
若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. [活学活用]
1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________． 解析：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2 ＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ ＝7－43cos θ，
当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 答案：2＋3
2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.
解析：∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，
∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 答案：82
向量的夹角和垂直问题
[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.
(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π
4，则实数k 的
值为________．
[解析] (1)∵a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)， ∴a ＋λb ＝(3－λ，2＋2λ)． 又∵(a ＋λb )⊥b ， ∴(a ＋λb )·b ＝0，
即(3－λ)×(－1)＋2×(2＋2λ)＝0， 解得λ＝－1
5
.
(2)c ＝a ＋kb ＝(2－k,1－k )，d ＝a ＋b ＝(1,0)， 由cos π4＝22得(2－k )×1＋(1－k )×0(2－k )2＋(1－k )2·12＋02＝2
2，
∴(2－k )2＝(k －1)2，∴k ＝3
2.
[答案] (1)－15 (2)3
2
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝
a ·b
|a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝
x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 21 x 22＋y 22
直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求
角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝
a ·b
|a ||b |
来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
[活学活用]
已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；
(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 解：(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．
(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设m ，n 的夹角为θ， 则cos θ＝
m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)272＋12
＝
－25252
＝－22.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π
4
， 即m ，n 的夹角为
3π4
.
求解平面向量的数量积
[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．
[解] [法一 定义法]
如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，
∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB
＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×3
5
＝－25. [法二 坐标法]
如图，建立平面直角坐标系， 则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)．
∴AB ＝(－3,0)，BC ＝(0,4)，CA ＝(3，－4)．
∴AB ·BC ＝－3×0＋0×4＝0，
BC ·CA ＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ·AB ＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.
∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0－16－9＝－25. [法三 转化法]
∵|AB |＝3，|BC |＝4，|AC |＝5， ∴AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，
∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(AB ＋BC ) ＝CA ·AC ＝－|AC |2＝－25.
求平面向量数量积常用的三个方法
(1)定义法：利用定义式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)坐标法：利用坐标式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2解题；
(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．
[活学活用]
如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．
解析：法一：
以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ＝⎝⎛⎭⎫1，12，OE ＝⎝⎛⎭
⎫1
2，1. 故cos ∠DOE ＝OD ·OE |OD |·|OE |＝1×12＋1
2×1
52×
52＝4
5.
法二：∵OD ＝OA ＋AD ＝OA ＋1
2
OC ，
OE ＝OC ＋CE ＝OC ＋1
2OA ，
∴|OD |＝
52，|OE |＝52
，
OD ·OE ＝12OA 2＋1
2OC 2＝1， ∴cos ∠DOE ＝OD ·OE |OD ||OE |＝4
5
.
答案：4
5
层级一 学业水平达标
1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3
D ．－3
解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－6
2＝－3.选D.
2．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10
解析：选B 由a ⊥b 得a·b ＝0， ∴x ×1＋1×(－2)＝0，即x ＝2， ∴a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10.
3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6
D ．12 解析：选D 2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.
4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A ．8
65
B ．－
865 C ．1665
D ．－
1665
解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝16
65.
5．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
解析：选A 由题设知AB ＝(8，－4)，AC ＝(2,4)，BC ＝(－6,8)，∴AB ·AC ＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB ⊥AC .
∴∠BAC ＝90°， 故△ABC 是直角三角形．
6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－1
2
，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2. 答案：2
7．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 解析：∵a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a |＝2，|2a ＋b |＝2，a ·(2a ＋b )＝2， ∴cos θ＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝12，∴θ＝π
3.
答案：π
3
8．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．
解析：设b ＝(x ，y )(y ≠0)，则依题意有⎩⎨
⎧
x 2＋y 2＝1，
3x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧
x ＝1
2，y ＝3
2，
故b ＝⎝⎛⎭⎫1
2，
32.
答案：⎝⎛⎭
⎫12，
32
9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，
则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，
即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.
当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上，|a －b |＝2或2 5.
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；
(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值． 解：(1)∵AB ＝(－3，－1)，AC ＝(1，－5)， ∴AB ·AC ＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2. ∵AB ＋AC ＝(－2，－6)， ∴|AB ＋AC |＝4＋36＝210.
(2)∵AB －t OC ＝(－3－2t ，－1＋t )，OC ＝(2，－1)，且(AB －t OC )⊥OC ， ∴(AB －t OC )·OC ＝0，
∴(－3－2t )×2＋(－1＋t )·(－1)＝0， ∴t ＝－1.
层级二 应试能力达标
1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫
12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝2
2
C ．a －b 与b 垂直
D ．a ∥b
解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝
⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12
＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－1
2
＝0，故a －b 与b 垂直． 2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )
A ．(－3,0)
B ．(2,0)
C ．(3,0)
D ．(4,0)
解析：选C 设P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)， ∴AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时点P 的坐标为(3,0)．
3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎭⎫－∞，10
3 B.⎝
⎛⎦⎤－∞，10
3
C.⎝⎛⎭⎫10
3，＋∞ D.⎣⎡⎭
⎫10
3，＋∞ 解析：选C x 应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a ，b 不共线，解得x ＞103，且x ≠－6
5，∴x ＞
10
3
. 4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )
A.⎝⎛⎭⎫－3，－29
4 B.⎝⎛⎭⎫－3，29
4 C.⎝
⎛⎭⎫3，294 D.⎝
⎛⎭⎫3，－294 解析：选B 设C (x ，y )，则OC ＝(x ，y )． 又OA ＝(－3,1)，
∴AC ＝OC －OA ＝(x ＋3，y －1)． ∵AC ∥OB ，
∴5(x ＋3)－0·(y －1)＝0，∴x ＝－3. ∵OB ＝(0,5)，
∴BC ＝OC －OB ＝(x ，y －5)，AB ＝OB －OA ＝(3,4)． ∵BC ⊥AB ，∴3x ＋4(y －5)＝0，∴y ＝29
4
， ∴C 点的坐标是⎝
⎛⎭⎫－3，29
4. 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.
解析：因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.
因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|，即a·c |a |＝b·c
|b |，所以5m ＋85＝
8m ＋20
25
， 解得m ＝2. 答案：2
6．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；
DE ·DC 的最大值为______．
解析：
以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．
则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，
设E (1，a )(0≤a ≤1)． 所以DE ·CB ＝(1，a )·(1,0)＝1，
DE ·DC ＝(1，a )·(0,1)＝a ≤1， 故DE ·DC 的最大值为1.
答案：1 1
7．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．
(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52
，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，
∴x 2＋y 2＝20.
由c ∥a 和|c |＝25，
可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，y ＝－4. 故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．
(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，
即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，
∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52
， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |
＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
8．已知OA ＝(4,0)，OB ＝(2,23)，OC ＝(1－λ)OA ＋λOB (λ2≠λ)．
(1)求OA ·OB 及OA 在OB 上的投影；
(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB ＝BC 时，求λ的值；
(3)求|OC |的最小值．
解：(1)OA ·OB ＝8，设OA 与OB 的夹角为θ，则cos θ＝OA ·OB | OA ||OB |＝84×4＝12
， ∴OA 在OB 上的投影为|OA |cos θ＝4×12
＝2.
(2)AB ＝OB －OA ＝(－2,2 3 )，BC ＝OC －OB ＝(1－λ)·OA －(1－λ)OB ＝(λ－1)AB ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB ＝BC 时，λ－1＝1，所以λ＝2. (3)|OC |2＝(1－λ)22OA ＋2λ(1－λ)OA ·OB ＋λ22
OB
＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭
⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12
时，|OC |取到最小值，为2 3.。