2018版高中数学北师大版必修一学案：第三章 章末复习

学习目标 1.构建知识网络；2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆；
3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．
1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．
2．指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图像特点．
3．应用指数函数y＝a x和对数函数y＝log a x的图像和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a＞1和0＜a＜1两种情况的讨论．
4．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．
5．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．
6．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间．
7．函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．
类型一 指数、对数的运算
例1 化简：(1)293
2
-⨯
(2)2log 32－log 332
9＋log 38－25log 53.
反思与感悟 指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
跟踪训练1 计算80.25×42＋(3
2×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________．
类型二数的大小比较
例2比较下列各组数的大小．
(1)27,82；
(2)log20.4，log30.4，log40.4；
(3)
1
3
21
2
11 2,log,log.
33
反思与感悟数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)的大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图像法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．
跟踪训练2比较下列各组数的大小．
(1)log0.22，log0.049；
(2)a1.2，a1.3；
(3)30.4,0.43，log0.43.
类型三指数函数、对数函数、幂函数的综合应用
命题角度1函数的性质及应用
例3已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
反思与感悟指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图像变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．
跟踪训练3已知函数f(x)＝log a(1－x)＋log a(x＋3)(0<a<1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．
命题角度2 函数的图像及应用
例4 如图，函数f (x )的图像为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )
A ．{x |－1＜x ≤0}
B ．{x |－1≤x ≤1}
C ．{x |－1＜x ≤1}
D ．{x |－1＜x ≤2}
反思与感悟 指数函数、对数函数、幂函数图像既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图像，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．
跟踪训练4 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
1．化简2lg (lg a 100)2＋lg (lg a )为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
2．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )
3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
与函数g (x )＝log 12
|x |在区间(－∞,0)上的单调性为( )
A ．都是增函数
B ．都是减函数
C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数
D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数
4．已知P ＝2－32，Q ＝⎝⎛⎭⎫253，R ＝⎝⎛⎭⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是( ) A ．P ＜Q ＜R B ．Q ＜R ＜P C ．Q ＜P ＜R
D ．R ＜Q ＜P
5．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1与x 轴交点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．
2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图像的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图像、性质等方面来考查．
答案精析
题型探究
例1 解 原式＝22395332
22
(2)(10)10-⨯÷
＝2－1
×103
×10
52
-
＝2－1
×101
2
＝
102
. (2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－552log 3
＝log 3⎝⎛⎭⎫4×932×8－55log 9 ＝log 39－9＝2－9＝－7. 跟踪训练1 111
解析 ∵log 32×log 2(log 327) ＝log 32×log 23＝lg 2lg 3×lg 3
lg 2
＝1，
∴原式＝3144
22⨯＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111. 例2 解 (1)∵82＝(23)2＝26，
由指数函数y ＝2x 在R 上递增知26<27，即82<27. (2)∵对数函数y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴log 0.44<log 0.43<log 0.42<log 0.41＝0. 又幂函数y ＝x －1
在(－∞，0)上是减函数，
∴
1log 0.42<1log 0.43<1
log 0.44
， 即log 20.4<log 30.4<log 40.4. (3)∵0<13
2
-<20＝1，
log 21
3
<log 21＝0，
1
12
211log log 1,32
>= 1
321211
log 2log .33
-∴<<
跟踪训练2 解 (1)∵log 0.049＝lg 9lg 0.04＝lg 32lg 0.22＝2lg 32lg 0.2＝lg 3
lg 0.2＝log 0.23. 又∵y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上递减， ∴log 0.22>log 0.23，即log 0.22>log 0.049.
(2)∵函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)， 当底数a >1时在R 上是增函数； 当底数0<a <1时在R 上是减函数， 而1.2<1.3，故当a >1时，有a 1.2<a 1.3； 当0<a <1时，有a 1.2>a 1.3. (3)30.4>30＝1， 0<0.43<0.40＝1， log 0.43<log 0.41＝0， ∴log 0.43<0.43<30.4.
例3 解 (1)当a >0，b >0时，因为a ·2x ，b ·3x 在R 上都是增函数，所以函数f (x )在R 上是增函数；
当a <0，b <0时，因为a ·2x ，b ·3x 在R 上都是减函数， 所以函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0. ①当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b ， 解得x >log 32
⎝⎛⎭
⎫－a
2b ； ②当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a
2b ， 解得x <log 32
⎝⎛⎭
⎫－a
2b . 跟踪训练3 解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪
⎧
1－x >0，x ＋3>0，
解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)． (2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)] ＝log a (－x 2－2x ＋3) ＝log a [－(x ＋1)2＋4]．
∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4. ∵0<a <1，
∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4. 由log a 4＝－2，得a －
2＝4，
∴a ＝1
2
4
-
＝12
. 例4 C [借助函数的图像求解该不等式．
令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )的图像如图.
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2
(x ＋1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝1. ∴结合图像知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．]
跟踪训练4 B [由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－
x ＝(13)x ，显然图像错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图像可知正确；选项C 中，y ＝(－
x )3＝－x 3，显然与所画图像不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图像与y ＝log 3x 的图像关于y 轴对称．显然不符．故选B.] 当堂训练
1．B 2.D 3.D 4.B 5.B。