《古典概型的概率计算公式》精品课件
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解决上述疑问可以采用两种办法：
（1）亲自动手试验：
课前可以让学生准备好两枚骰子，在上课时让学生分组动手试验并分析试验结果
也可以让学生列表分析：
探究新知
高中数学
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（2）计算机随机模拟.
教师可以用计算机软件给学生进行模拟演示.
结合前面自主探究中的经验分析：抛掷两枚均匀的骰子，其样本空间共有36个样本点，
上，让学生知道并不是所有的试验都是古典概型，通过思考交流这三个问题，让
学生清楚古典概型必须满足两个特征：有限性和等可能性.第3个问题学生容易出
错，可以通过用列表分析的方法理解每个样本点的出现是否具有等可能性，也可
通过模拟方法进行探究.
典例剖析
高中数学
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例、在试验 “袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球
高中数学
概型的概率计
算公式
导入新课
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问题1：体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号为0，1，2，3，
4，5，6，7，8，9的小球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个小球，观察这个
小球的号码.这个随机试验共有多少种可能的结果？这些结果出现的可能性相等吗？
对于一个随机事件A，我们经常用一个数()(0 ⩽ () ⩽ 1)来表示该事件发生的可能
性的大小，这个数就称为随机事件A的概率.概率度量了随机事件发生的可能性的大小，
是对随机事件统计规律性的数量刻画.
2.古典概型的概念和概率计算公式.
一般地，若试验E具有如下特征：
（1）有限性：试验E的样本空间的样本点总数有限，即样本空间为有限样本空间；
问题2：在试验“抛掷一枚均匀的骰子，观察骰子掷出的点数”中，样本空间中
有几个样本点？每个样本点出现的可能性相等吗？
问题3：在试验“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次骰子掷出的点数”中，
样本空间中有几个样本点？每个样本点出现的可能性相等吗？
师生活动：教师通过多媒体展示以上三个问题，让学生思考、分析.
（1）取到的两个球都是白球的概率；
（2）取到的两个球颜色相同的概率；
（3）取到的两个球至少有一个是白球的概率.
师生活动：教师引导学生写出试验 的样本空间，再看各个事件包含的样本点，最后用古典概型来计
算概率.
师生共同分析后，让学生写出解答过程.
解析
（2）设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，
则 = , , , , , , , ，
教师引导：第3个问题中，抛掷两枚均匀的骰子，如果我们把两枚骰子的点数之和作为
观察的指标，那么点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共有11种
1
可能的情形，能否由此得出“掷出的点数之和是5”的可能性是 的结论呢？关键在于
11
这11种结果出现的可能性是否相等？
探究新知
高中数学
1
11种可能的情形.因此，“掷出的点数之和是5”的可能性是 ，这种说法是否正确？
11
为什么？
师生活动：教师留时间让学生思考、分析、讨论、交流教师巡视，并引导学生分析.
教师引导：第1个问题中，试验的所有可能结果是什么？试验的所有可能结果有多少
个？
（试验的所有可能结果是线段上的所有点，试验的所有可能结果有无限个，因此尽管
共含有828个样本点，所以() = = ，即取到的两个球颜色相同的概率为 .
典例剖析
高中数学
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例、在试验 “袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球
除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，
所以() = = ，
即取到的两个球至少有一个是白球的概率为 .
典例剖析
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提出问题：你能通过这个例题总结运用古典概型求概率的步骤吗？
师生共同小结：用古典概型计算概率的步骤：
（1）根据问题情境判断是否为古典概型；
（2）用列举法写出试验所对应的样本空间；
典例剖析
高中数学
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例、在试验 “袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球
除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，
摸到白球的结果分别记为 , , ，摸到黑球的结果分别记为 , ，求：
1
每个样本点出现的可能性相等，均为 ，而“掷出的点数之和为5”对应的事件为
36
4
36
(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) ，含有4个样本点，因此，“掷出的点数之和是5”的可能性是 ，
1
1
即 ，而不是 .
9
11
总结：一个概率模型是否为古典概型，依据是其是否满足样本点的有限性和各个样本点
探究新知
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一、实例分析
1.抛掷一枚均匀的骰子，“掷出偶数点”的可能性是多少？
2.同时抛掷两枚均匀的骰子（编号为1，2），“1号骰子掷出的点数为1”的可能性是
多少？
3.同时抛掷两枚均匀的骰子，“掷出的点数相同”的可能性是多少？
师生活动：教师通多媒体展示问题，让学生自主探究.
（3）利用古典概型的概率计算公式来计算概率.
设计意图：通过例题总结用古典概型计算概率的步骤.
巩固练习
高中数学
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巩固练习：教材第196页练习第1，2题.
课堂小结
1.古典概型的概念和特征.
2.古典概型的概率计算公式.
3.运用古典概型解决实际问题的步骤.
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每一个结果出现的可能性相等，这个试验也不是古典概型）
探究新知
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教师引导：第2个问题中，试验的所有可能结果有11个，是有限的，命中10环，命中9
环，…，命中1环和脱靶出现的可能性相等吗？
（命中10环，命中9环……命中1环和脱靶出现的可能性不相等，因此这个试验也不是
古典概型）
师生共同分析后，让学生写出解答过程.
解析
（3）设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，
则 = { , , , , , , , , , , ,
, , , , , , ሽ，共含有18个样本点，
（2）等可能性：每次试验中，样本空间的各个样本点出现的可能性相等.
则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型.
对古典概型来说，如果样本空间所含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数
为m，则事件A发生的概率为
包含的样本点个数
() =
= .
包含的样本点总数
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引导学生从以下两个方面进行探究：
（1）动手实践，探究相关随机事件出现的可能性；
（2）进行分析，在满足有限性和等可能性的基础上引出用比例刻画随机事件发生的可
能性.
抛掷一枚均匀的骰子，其样本空间为 1,2,3,4,5,6 ，共有6个样本点每个样本点出现的
1
可能性相等，均为 ；而“掷出偶数点”对应的事件为 2,4,6 ，含有3个样本点，因此
通过以上三个试验，得出样本空间的特征：
（1）有限性：样本空间的样本点总数有限；
（2）等可能性：每次试验中，样本空间的各个样本点出现的可能性相等.
师：在这种情况下，任意一个随机事件发生的可能性该如何表示呢？
设计意图：选取的三个试验，前两个是一维有限样本空间，第三个是二维有限
样本空间，学生都比较熟悉，有利于快速切入主题.
算概率.
师生共同分析后，让学生写出解答过程.
解析
通过分析可知试验 的样本空间 = { , , , , , ,
, , , , , , , , , , , ,
摸到白球的结果分别记为 , , ，摸到黑球的结果分别记为 , ，求：
（1）取到的两个球都是白球的概率；
（2）取到的两个球颜色相同的概率；
（3）取到的两个球至少有一个是白球的概率.
师生活动：教师引导学生写出试验 的样本空间，再看各个事件包含的样本点，最后用古典概型来计
算概率.
出现的等可能性，判断它是否满足两个特征要根据具体情形分析，如学生很有可能认为
第2个问题中命中10环和命中1环的可能性相等.事实上，1环的区域比10环的区域大得多，
所以命中1环的概率也要大得多，而从实际来看，对有些射击者而言，由于高强度的训
练，命中10环的概率可能比别的大，所以这些事件发生的可能性大小不同.通过上述问题
6
3
6
1
2
可以认为掷出偶数点”的可能性是 ，即 .
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同时抛掷两枚均匀的骰子，其样本空间共有36个样本点，每个样本点出现的可能性相
1
等，均为 ；而“1号骰子掷出的点数为1”对应的事件为
36
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) ，含有6个样本点，因此可以认为“1号骰子掷出的
说明：在现实中不存在绝对均匀的硬币，也不存在绝对均匀的骰子.古典概率模型是
从现实中抽象出来的一个数学模型，它有着广泛的应用.
设计意图：由前面对3个实例的分析体会古典概型的两个基本特征；有限性和等可能
性，在此基础上抽象概括出古典概型的概念和概率计算公式.
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三、思考交流，理解模型
1.向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上的不同位置.你认为这个情境适
合用古典概型来描述吗？为什么？
2.某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9
环，…，命中1环和脱靶.你认为这个情境适合用古典概型来描述吗？为什么？
3.有人认为，抛掷两枚均匀的骰子，掷出的点数之和可能为2，3，4，…，12，共有
, ሽ，共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概
型来计算概率.
（1）设事件A表示“取到的两个球都是白球”，
则 = , , , , , ，共含有6个样本点，
所以() = = ，即取到的两个球都是白球的概率为 .
6
1
点数为1”的可能性是 ，即 .同样，“掷出的点数相同”对应的事件为
36
6
(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) ，含有6个样本点，因此可以认为“掷出的点数相
6
1
同”的可能性是 ，即 .
36
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二、抽象概括，形成概念
1.概率的概念.
的讨论，加深学生对古典概型两个特征的理解与认识.针对第3个问题，如果把两枚骰子
出现的点数的所有情况作为观察的对象，则可以用古典概型进行描述，而如果只考虑两
枚骰子的点数之和，则不满足等可能性，不能使用古典概型的概率计算公式进行计算.
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设计意图：在让学生从正面分析相关的实际问题是否适合用古典概型的基础
除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，
摸到白球的结果分别记为 , , ，摸到黑球的结果分别记为 , ，求：
（1）取到的两个球都是白球的概率；
（2）取到的两个球颜色相同的概率；
（3）取到的两个球至少有一个是白球的概率.
师生活动：教师引导学生写出试验 的样本空间，再看各个事件包含的样本点，最后用古典概型来计
解决上述疑问可以采用两种办法：
（1）亲自动手试验：
课前可以让学生准备好两枚骰子，在上课时让学生分组动手试验并分析试验结果
也可以让学生列表分析：
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（2）计算机随机模拟.
教师可以用计算机软件给学生进行模拟演示.
结合前面自主探究中的经验分析：抛掷两枚均匀的骰子，其样本空间共有36个样本点，
上，让学生知道并不是所有的试验都是古典概型，通过思考交流这三个问题，让
学生清楚古典概型必须满足两个特征：有限性和等可能性.第3个问题学生容易出
错，可以通过用列表分析的方法理解每个样本点的出现是否具有等可能性，也可
通过模拟方法进行探究.
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例、在试验 “袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球
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概型的概率计
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问题1：体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号为0，1，2，3，
4，5，6，7，8，9的小球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个小球，观察这个
小球的号码.这个随机试验共有多少种可能的结果？这些结果出现的可能性相等吗？
对于一个随机事件A，我们经常用一个数()(0 ⩽ () ⩽ 1)来表示该事件发生的可能
性的大小，这个数就称为随机事件A的概率.概率度量了随机事件发生的可能性的大小，
是对随机事件统计规律性的数量刻画.
2.古典概型的概念和概率计算公式.
一般地，若试验E具有如下特征：
（1）有限性：试验E的样本空间的样本点总数有限，即样本空间为有限样本空间；
问题2：在试验“抛掷一枚均匀的骰子，观察骰子掷出的点数”中，样本空间中
有几个样本点？每个样本点出现的可能性相等吗？
问题3：在试验“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次骰子掷出的点数”中，
样本空间中有几个样本点？每个样本点出现的可能性相等吗？
师生活动：教师通过多媒体展示以上三个问题，让学生思考、分析.
（1）取到的两个球都是白球的概率；
（2）取到的两个球颜色相同的概率；
（3）取到的两个球至少有一个是白球的概率.
师生活动：教师引导学生写出试验 的样本空间，再看各个事件包含的样本点，最后用古典概型来计
算概率.
师生共同分析后，让学生写出解答过程.
解析
（2）设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，
则 = , , , , , , , ，
教师引导：第3个问题中，抛掷两枚均匀的骰子，如果我们把两枚骰子的点数之和作为
观察的指标，那么点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共有11种
1
可能的情形，能否由此得出“掷出的点数之和是5”的可能性是 的结论呢？关键在于
11
这11种结果出现的可能性是否相等？
探究新知
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1
11种可能的情形.因此，“掷出的点数之和是5”的可能性是 ，这种说法是否正确？
11
为什么？
师生活动：教师留时间让学生思考、分析、讨论、交流教师巡视，并引导学生分析.
教师引导：第1个问题中，试验的所有可能结果是什么？试验的所有可能结果有多少
个？
（试验的所有可能结果是线段上的所有点，试验的所有可能结果有无限个，因此尽管
共含有828个样本点，所以() = = ，即取到的两个球颜色相同的概率为 .
典例剖析
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例、在试验 “袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球
除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，
所以() = = ，
即取到的两个球至少有一个是白球的概率为 .
典例剖析
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提出问题：你能通过这个例题总结运用古典概型求概率的步骤吗？
师生共同小结：用古典概型计算概率的步骤：
（1）根据问题情境判断是否为古典概型；
（2）用列举法写出试验所对应的样本空间；
典例剖析
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例、在试验 “袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球
除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，
摸到白球的结果分别记为 , , ，摸到黑球的结果分别记为 , ，求：
1
每个样本点出现的可能性相等，均为 ，而“掷出的点数之和为5”对应的事件为
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(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) ，含有4个样本点，因此，“掷出的点数之和是5”的可能性是 ，
1
1
即 ，而不是 .
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总结：一个概率模型是否为古典概型，依据是其是否满足样本点的有限性和各个样本点
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一、实例分析
1.抛掷一枚均匀的骰子，“掷出偶数点”的可能性是多少？
2.同时抛掷两枚均匀的骰子（编号为1，2），“1号骰子掷出的点数为1”的可能性是
多少？
3.同时抛掷两枚均匀的骰子，“掷出的点数相同”的可能性是多少？
师生活动：教师通多媒体展示问题，让学生自主探究.
（3）利用古典概型的概率计算公式来计算概率.
设计意图：通过例题总结用古典概型计算概率的步骤.
巩固练习
高中数学
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巩固练习：教材第196页练习第1，2题.
课堂小结
1.古典概型的概念和特征.
2.古典概型的概率计算公式.
3.运用古典概型解决实际问题的步骤.
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每一个结果出现的可能性相等，这个试验也不是古典概型）
探究新知
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教师引导：第2个问题中，试验的所有可能结果有11个，是有限的，命中10环，命中9
环，…，命中1环和脱靶出现的可能性相等吗？
（命中10环，命中9环……命中1环和脱靶出现的可能性不相等，因此这个试验也不是
古典概型）
师生共同分析后，让学生写出解答过程.
解析
（3）设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，
则 = { , , , , , , , , , , ,
, , , , , , ሽ，共含有18个样本点，
（2）等可能性：每次试验中，样本空间的各个样本点出现的可能性相等.
则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型.
对古典概型来说，如果样本空间所含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数
为m，则事件A发生的概率为
包含的样本点个数
() =
= .
包含的样本点总数
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引导学生从以下两个方面进行探究：
（1）动手实践，探究相关随机事件出现的可能性；
（2）进行分析，在满足有限性和等可能性的基础上引出用比例刻画随机事件发生的可
能性.
抛掷一枚均匀的骰子，其样本空间为 1,2,3,4,5,6 ，共有6个样本点每个样本点出现的
1
可能性相等，均为 ；而“掷出偶数点”对应的事件为 2,4,6 ，含有3个样本点，因此
通过以上三个试验，得出样本空间的特征：
（1）有限性：样本空间的样本点总数有限；
（2）等可能性：每次试验中，样本空间的各个样本点出现的可能性相等.
师：在这种情况下，任意一个随机事件发生的可能性该如何表示呢？
设计意图：选取的三个试验，前两个是一维有限样本空间，第三个是二维有限
样本空间，学生都比较熟悉，有利于快速切入主题.
算概率.
师生共同分析后，让学生写出解答过程.
解析
通过分析可知试验 的样本空间 = { , , , , , ,
, , , , , , , , , , , ,
摸到白球的结果分别记为 , , ，摸到黑球的结果分别记为 , ，求：
（1）取到的两个球都是白球的概率；
（2）取到的两个球颜色相同的概率；
（3）取到的两个球至少有一个是白球的概率.
师生活动：教师引导学生写出试验 的样本空间，再看各个事件包含的样本点，最后用古典概型来计
算概率.
出现的等可能性，判断它是否满足两个特征要根据具体情形分析，如学生很有可能认为
第2个问题中命中10环和命中1环的可能性相等.事实上，1环的区域比10环的区域大得多，
所以命中1环的概率也要大得多，而从实际来看，对有些射击者而言，由于高强度的训
练，命中10环的概率可能比别的大，所以这些事件发生的可能性大小不同.通过上述问题
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可以认为掷出偶数点”的可能性是 ，即 .
探究新知
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同时抛掷两枚均匀的骰子，其样本空间共有36个样本点，每个样本点出现的可能性相
1
等，均为 ；而“1号骰子掷出的点数为1”对应的事件为
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(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) ，含有6个样本点，因此可以认为“1号骰子掷出的
说明：在现实中不存在绝对均匀的硬币，也不存在绝对均匀的骰子.古典概率模型是
从现实中抽象出来的一个数学模型，它有着广泛的应用.
设计意图：由前面对3个实例的分析体会古典概型的两个基本特征；有限性和等可能
性，在此基础上抽象概括出古典概型的概念和概率计算公式.
探究新知
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三、思考交流，理解模型
1.向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上的不同位置.你认为这个情境适
合用古典概型来描述吗？为什么？
2.某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9
环，…，命中1环和脱靶.你认为这个情境适合用古典概型来描述吗？为什么？
3.有人认为，抛掷两枚均匀的骰子，掷出的点数之和可能为2，3，4，…，12，共有
, ሽ，共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概
型来计算概率.
（1）设事件A表示“取到的两个球都是白球”，
则 = , , , , , ，共含有6个样本点，
所以() = = ，即取到的两个球都是白球的概率为 .
6
1
点数为1”的可能性是 ，即 .同样，“掷出的点数相同”对应的事件为
36
6
(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) ，含有6个样本点，因此可以认为“掷出的点数相
6
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同”的可能性是 ，即 .
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二、抽象概括，形成概念
1.概率的概念.
的讨论，加深学生对古典概型两个特征的理解与认识.针对第3个问题，如果把两枚骰子
出现的点数的所有情况作为观察的对象，则可以用古典概型进行描述，而如果只考虑两
枚骰子的点数之和，则不满足等可能性，不能使用古典概型的概率计算公式进行计算.
探究新知
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设计意图：在让学生从正面分析相关的实际问题是否适合用古典概型的基础
除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，
摸到白球的结果分别记为 , , ，摸到黑球的结果分别记为 , ，求：
（1）取到的两个球都是白球的概率；
（2）取到的两个球颜色相同的概率；
（3）取到的两个球至少有一个是白球的概率.
师生活动：教师引导学生写出试验 的样本空间，再看各个事件包含的样本点，最后用古典概型来计