2019-2020年高三二模试卷文科数学含答案

2019-2020年高三二模试卷文科数学含答案
数 学（文科） xx.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项． 1．设集合，集合，则（ ） （A ） （B ）
（C ）
（D ）
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
3．直线为双曲线22
22 1(0,0)x y C a b a b
-=>>：
的一条渐近线，则双曲线的离心率是（ ） （A ）
（B ）
（C ）
（D ）
4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ） （A ） ，且 （B ），且 （C ） ，且 （D ），且
5．设平面向量，，均为非零向量，则“”是“”的（ ） （A ）充分而不必要条件
（B ）必要而不充分条件
正(主)视图
俯视图
侧(左)视图
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
6．在△ABC中，若，，，则（）
（A）（B）
（C）（D）
7. 设函数若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
8.设为平面直角坐标系中的点集，从中的任意一点作轴、轴的垂线，垂足分别为，，记点的横坐标的最大值与最小值之差为，点的纵坐标的最大值与最小值之差为.
如果是边长为1的正方形，那么的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在等差数列中，，，则公差_____；____.
10．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且点的横坐标为2，则 .
11．执行如图所示的程序框图，输出的a值为______．
12．在平面直角坐标系中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪
⎨⎪+-⎩
≥≥≤所表示的平面区域是，不等式组所表示的
平面区域是. 从区域中随机取一点，则P 为区域内的点的概率是_____．
13．已知正方形ABCD ，AB =2，若将沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体的体积的最大值是____.
14．已知f 是有序数对集合**{(,)|,}M
x y x y N N 上的一个映射，正整数数对在映射f
下的象为实数z ，记作. 对于任意的正整数，映射由下表给出：
则__________，使不等式成立的x 的集合是_____________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值.
16．（本小题满分13分）
为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A ，B 两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：
A 班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.
B 班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.
（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？ （Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明） （Ⅲ）根据数据推断A 班全班40名学生中有几名学生的视力大于4.6?
17．（本小题满分14分）
如图，在正方体中，，为的中点，为的中点. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）设为正方体棱上一点，给出满足条件的点的 个数，并说明理由.
18．（本小题满分13分）
已知函数，其中.
（Ⅰ）若，求函数的定义域和极值；
（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并证明.
19．（本小题满分14分）
设分别为椭圆的左、右焦点，斜率为的直线经过右焦点，且与椭圆W 相交于两点. （Ⅰ）求的周长；
（Ⅱ）如果为直角三角形，求直线的斜率.
20．（本小题满分13分）
在无穷数列中，，对于任意，都有，. 设， 记使得成立的的最大值为.
（Ⅰ）设数列为1，3，5，7，，写出，，的值； （Ⅱ）若为等比数列，且，求的值；
1
（Ⅲ）若为等差数列，求出所有可能的数列.
北京市西城区xx 高三二模试卷参考答案及评分标准
高三数学（文科） xx.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．D 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9． 10． 11． 12． 13． 14． 注：第9，14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：2
()sin cos cos 1f x x x x =-+
……………… 4分
， ……………… 6分
所以函数的最小正周期为. ……………… 7分 （Ⅱ）解：由 ，得.
所以 ， ……………… 9分
所以
1π1
)
2242
x-+
≤≤1，即 . ………11分
当，即时，函数取到最小值；…12分
当，即时，函数取到最大值. …………13分16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：A班5名学生的视力平均数为A
4.3+
5.1+4.6+4.1 4.9
==4.6
5
x +
，…………2分
B班5名学生的视力平均数为
B
5.1+4.9+4.0+4.0 4.5
==4.5
5
x +
. ……………3分
从数据结果来看A班学生的视力较好. ………………4分（Ⅱ）解：B班5名学生视力的方差较大. ………………8分（Ⅲ）解：在A班抽取的5名学生中，视力大于4.6的有2名，
所以这5名学生视力大于4.6的频率为．………………11分
所以全班40名学生中视力大于4.6的大约有名，
则根据数据可推断A班有16名学生视力大于4.6．………………13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在正方体中，
因为平面，平面，
所以平面平面. ……………… 4分
（Ⅱ）证明：连接，，设，连接.
因为为正方体，
所以，且，且是的中点，
又因为是的中点，
所以，且，
所以，且，
即四边形是平行四边形，所以，
1
又因为 平面，平面，
所以 平面. ……………… 9分 （Ⅲ）解：满足条件的点P 有12个. ……………… 12分
理由如下： 因为 为正方体，， 所以 .
所以 . ……………… 13分 在正方体中， 因为 平面，平面， 所以 ， 又因为 ，
所以 ， 则点到棱的距离为，
所以在棱上有且只有一个点（即中点）到点的距离等于， 同理，正方体每条棱的中点到点的距离都等于， 所以在正方体棱上使得的点有12个. ……… 14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：函数的定义域为，且. ……………… 1分
2
2
e (1)e e ()(1)(1)x x x x x
f x x x +-'==++. ……………… 3分 令，得，
当变化时，和的变化情况如下：
……………… 4分
故的单调减区间为，；单调增区间为．
所以当时，函数有极小值. ……………… 5分 （Ⅱ）解：结论：函数存在两个零点.
证明过程如下： 由题意，函数，
因为 2
2
13
1()02
4
x x x ++=++
>， 所以函数的定义域为. ……………… 6分
求导，得22222
e (1)e (21)e (1)
()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-+-'==++++， ………………7分
令，得，，
当变化时，和的变化情况如下：
故函数的单调减区间为；单调增区间为，． 当
时
，
函
数
有
极
大
值
；
当
时
，
函
数
有
极
小
值. ……………… 9分 因为函数在单调递增，且，
所以对于任意，. ……………… 10分 因为函数在单调递减，且，
所以对于任意，. ……………… 11分 因为函数在单调递增，且，，
所以函数在上仅存在一个，使得函数， ………… 12分
故函数存在两个零点（即和）. ……………… 13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：椭圆的长半轴长，左焦点，右焦点， … ……… 2分 由椭圆的定义，得，，
所以的周长为1212||||||||4AF AF BF BF a +++== ……………… 5分（Ⅱ）解：因为为直角三角形，
所以，或，或， 当时，
设直线的方程为，，， ……………… 6分
由 2
21,2(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得 2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……………… 7分
所以 ，. ……………… 8分 由，得， ……………… 9分 因为，，
所以11121212()1F A F B x x x x y y ⋅=++++
2121212()1(1)(1)x x x x k x x =++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++
2222
2
2
2224(1)(1)101212k k k k k k k
-=+⨯+-⨯++=++， ……………10分 解得. ……………… 11分
当（与相同）时，
则点A 在以线段为直径的圆上，也在椭圆W 上，
由22
221,21,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩
解得，或， ……………… 13分 根据两点间斜率公式，得，
综上，直线的斜率，或时，为直角三角形. ……………14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：，，. ……………… 3分 （Ⅱ）解：因为为等比数列，，，
所以， ……………… 4分 因为使得成立的的最大值为， 所以，，，， ，， ……………… 6分
所以12350243b b b b +++
+=. ……………… 8分
（Ⅲ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<
<<
，
结合条件，得. ……………… 9分 又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，
所以，. ……………… 10分 设，则.
假设，即， 则当时，；当时，. 所以，.
因为为等差数列， 所以公差， 所以，其中. 这与矛盾，
所以. ……………… 11分 又因为123n a a a a <<<
<<
，
所以，
由为等差数列，得，其中. ……………… 12分 因为使得成立的的最大值为， 所以，
由，得. ……………… 13分
.。