新的渗透压定律及公式.

新的渗透压定律及公式
从理论到实验对诺奖获得者范特霍夫渗透压定律公式的扬弃
范特霍夫(van ’t Hoff)是以渗透压和化学动力学的研究成果而获第一枚诺贝尔化学奖的世界著名科学家，一百多年来，范氏渗透压公式，一直写在世界各国的物理化学教科书中，已普遍被认为属于“无懈可击”的经典理论。

但笔者经多年研究发现：范氏渗透压公式不能正确完美地解释渗透过程；后人为从数理上证明范氏公式的正确性，在积分代换过程中有明显违背逻辑同一律的牵强之误。

鉴于这两点，笔者在抽象出渗透力和渗透定律的基础上（这方面的内容笔者在有关大学、学会、中科院研究所等主办的杂志或学报上阐述过）从理论推导出了一个具曲线方程性的渗透压公式，该公式的曲线与人们根据大量实验数值所绘出的线性图相吻合，可克服直线性的范氏渗透压公式的错误或不足。

今将此系统陈述于下。

1. 渗透力
人们常用渗透压（指渗透压公式 =v
n RT 或范特荷甫定律(van ,t Hoff la w ),下同）来解释渗透过程，但往往“出现矛盾”[1]，“纵是多方解释也不一定奏效”[2]。

之所以如此，这是因为客观上还必然存在一个能从本质上解释渗透过程的概念尚未被我们抽象出来，这个概念就是渗透力。

1.1 渗透力的概念和计算方法
渗透力是形成渗透压的原因，本质上是分子对周围物质表面的碰撞，是溶剂分子碰撞半透膜（本文简称“膜”，下同）的力，是由于诸多微观分子力的平均效果形成，其值大小等于膜上的压强乘描述渗透过程时的有效膜面积（“在化学和大多数工程技术中，压力的概念相当于压强”的说法是用单位面积进行归一之后的说法；目前一般热力学教材还这样用。

特此说明，以免误解)。

所谓“膜上的压强”，不仅指膜上的液压，还应包括大气压。

因膜两侧的大气压虽相同，但由于两侧的浓度的不同，相同大气压对膜两侧所增加的渗透力是不同的（这可称作大气压对膜两侧的“同量异效”性，浓度差越大“异效”性也越大。

这是干扰范特荷甫定律准确性的一个原因，也是有些教科书对植物体内渗透压之高“让人感到意外”的原因），所以膜两侧相同的大气压不能忽略或“对消”。

所谓“渗透有效膜面积”，亦即溶剂分子碰撞膜的面积。

因膜面积被溶剂和溶质分子共同碰撞触及，而只有被溶剂分子碰撞触及的面积才对渗透有效（其他面积可称作“渗透无效膜面积”）。

渗透有效、无效两种膜面积的具体位置瞬息万变，但其比例对同一浓度的溶液来说是不变的。

这两种膜面积的绝对值不易测定，但可以通过渗透平衡时膜两侧渗透力相等，而纯溶剂侧的渗透有效膜面积是100%而将溶液侧有效、无效两种膜面积都换算出来（皆指百分数。

这种换算有其独到的优点，因为它以实践测量为准，可以克服范特荷甫定律对有些溶液，如线型柔性大分子溶液、亲水性胶体溶液(colloidal solution)、电解质(electrolyte)溶液、浓度大溶液等，有偏差不适用的限制。

对于理想溶液，则可有统一的比值常数算出，后详）。

1.2 渗透力引出的相关公式
了解了渗透力的概念和其值大小的计算方法，便可得到如下一系列相关的公式：
(1) 渗透力公式：F=PS / 或 F=P(1-[Ci]k) (F 是渗透力；P 是膜上的压强；S /是渗透有效膜面积占总膜面积的百分数；[Ci]是溶质的摩尔量浓度；k 是平衡系数(equilibrium constant)，是理想溶液的渗透无效膜面积常数，其值是理想溶液浓度在一个摩尔量单位时渗透无效膜面积数占总膜面积的百分数；由此可知（1-[Ci]k ）则为渗透有效膜面积占总膜面积的百分数。

（注：由于真正的理想溶液是不存在的，
是人们为了研究而理想化的，所以理想溶液的渗透无效膜面积常数k值难以测出，但这不影响从理论上对理想溶液有统一k值的认识，以便建立统一的数学模型或公式，深化对渗透本质规律的认识）
(2) 净渗透力公式：ΔF=P
a S/
a
-P
b
S/
b
（P
a
、S/
a
和P
b
、S/
b
分别为膜两侧的压强和渗透有效膜面积占总
膜面积的百分数）若ΔF>0 则a侧向b侧作净渗透；若ΔF<0 则b侧向a侧作净渗透。

(3) 渗透平衡公式：P
a S
a
=P
b
S
b
即ΔF=0, 渗透处于动态平衡(dynamic equilibrium)中。

(4) 膜面积关系公式：S=S/+S//（S/、S//分别为溶液侧渗透有效膜面积、渗透无效膜面积占总膜面积的百分数，简称为面积数；S 是膜总面积，已归一为1，这样计算比较简便。

下同）此要说明一点的是，为了便于形象地理解渗透力，同时也是为了与范特荷甫渗透压公式对比，我们从通用的量浓度（体积摩尔浓度）角度推导出了渗透有效、无效膜面积的概念。

渗透有效、无效膜面积（占总膜面积的百分数），应分别与溶剂、溶质的量分数（摩尔分数）x B
、
y B同值，可以代换，即(1- [Ci]k)= x B、[Ci]k=y B。

2 渗透定律
2.1 渗透定律的内容
鉴于上述，我们可以得到一条渗透定律──在一个渗透系统中，溶剂由渗透力大的一侧向渗透力小的一侧渗透，直至两侧渗透力相等，出现渗透平衡。

2.2 渗透定律对渗透过程的解释
曾用渗透压解释渗透过程“出现矛盾”的不足，现可用以渗透力为核心概念的渗透定律得到完美的解释：
渗透之始，溶剂（或相对较稀的溶液，下同）与溶液（或相对较浓的溶液，下同）液面一样高时（图1），由于纯溶剂侧的渗透力大于溶液侧的渗透力，所以溶剂开始向溶液侧渗透，引起溶液侧压强的上升；这个上升过程也是纯溶剂侧渗透力不断减小（因压强减小，若是相对较稀的溶液，渗透有效膜面积也减小）而溶液侧渗透力不断增大（因压强、渗透有效膜面积都增大）的过程（图2）；当半透膜两侧的渗透力增减到一样大小时两侧的液面不再升降，即达到了渗透之终的平衡态(equilibrium state)（图3）。

图1 渗透之始图2 渗透之中图3 渗透之终
（渗透最初瞬间）（渗透正在进行）（渗透达到平衡）
有了渗透力的概念，渗透实验中，非刚体(rigid body)膜的形变规律也能很容易地得到解释：渗透最初瞬间（图1）溶剂侧的净渗透力达到最大值，但两侧的压强却一样，所以膜不发生宏观的弹性形变（微观的弹性形变，即两侧都向半透膜的压力可使膜变“薄”的形变在此不计）；随着渗透进行，溶剂侧的压强渐减而溶液侧的压强渐增，从而造成两侧压差从无到有的变化，膜则被这种渐大的压差压得向纯水侧渐渐凸起（图2）；最后，两侧的净渗透力为零，处于渗透平衡态，但两侧的压差却达到最大值，所以膜向纯水侧凸起最大（图3）。

这是膜向纯水侧凸起形变呈现“无──小──大”规律的原因。

以上无论对整个渗透过程的解释还是对非刚体膜的形变规律的解释，用渗透力的概念解释起来都非常顺理成章，能实现“对自然现象进行逻辑上前后一贯的摹写”[3] 的科学理论价值。

但是一些教科书对渗透过程作解释时，由于没有渗透力的概念，所以注意不到膜弹性形变的反弹力在平衡压差中的作用，为了自圆其说，只好臆想平衡压差的是溶剂侧“有这样大的静压”，并将其误解或曲解为“渗透压”[4]，而殊不知，在渗透平衡时能平衡两侧渗透的力不会是别的任何力，而只能是量值相等的渗透力。

由此可见，如果没有渗透力的概念，不了解渗透力在渗透过程中的变化及作用，对渗透过程的解释就难免“出现矛盾”。

2.3 渗透压不能很好地解释渗透过程的原因
渗透压之所以不能很好地解释渗透过程，其根本原因在于渗透压这个概念，不是从能充分暴露渗透全部本质的动态过程中抽象出来的；相反，它是从“为了阻止渗透过程进行”[5]这一静态中测出来的（其值就是“为了阻止渗透过程进行”保持象图1那样的状态，需要在溶液面所施加的力P ）。

我们从范特荷
甫定律或渗透压公式π=v
n RT 可看出，除了摩尔(mole)气体常数(gas constant,gas-law constant)R 和一定条件下不变的热力学温度(absolute temperature)T 外，渗透压只与（摩尔）量(quantity)浓度一一对应。

作为一个描述渗透过程概念的渗透压，它虽涵盖到了渗透过程的一个必要因素──浓度，却没有涵盖到渗透过程的另一个必要的因素──压强（膜上的压强）。

这样一来，渗透压不能胜任对渗透过程的解释也就不足为怪了。

另外，我们从“渗透之始”测定“为了阻止渗透过程进行”的力就可知，即便是同一浓度的液体，其“为了阻止渗透过程进行”力的大小也会随渗透之始膜两侧相同液面高度的增减而增减，这说明这种“阻止渗透过程进行”力的大小不仅与浓度有关，也与膜上压强有关，从这也可看出忽视膜上压强的渗透压在解释渗透过程中必然存在的极大局限性（当然，渗透压这个概念仍具有溶
液普遍属性的意义）。

而渗透力这个概念却不同了，我们从渗透力公式F=PS /（S /是浓度[Ci]的函数）或 F=P
（1-[Ci]k ）可清楚看出，渗透力同时涵盖了渗透过程进行两个必要而充分的因素──浓度和压强，所以以渗透力为核心概念的渗透定律能够胜任对渗透过程的解释。

3 渗透压公式
3.1 范特荷甫渗透压公式由来的逻辑推导
范氏渗透压公式主要是应用化学势在多相平衡，具体说是液相与气相中的平衡，进行方程联立而推导出来的。

简述如下。

当渗透平衡时，纯溶剂侧与溶液测分别与气相的化学势平衡，即：
A μ=+Θμ⎰Θ+A
p p A dp a RT ¨1ln υ (1) B μ=+Θμ+B a RT ln ⎰+Θπ
υA p p dp ¨1 (2)
式中，A μ，B μ是纯溶剂A 侧和溶液B 测的化学势；
p A ,p A +π是两测的压力，其中π是渗透压；
p Θ,μΘ是标准压力和标准化学势；
υ1是溶剂的摩尔体积；
B A a a ,是A 、B 两侧溶剂的活度。

由于平衡时纯溶剂侧与溶液测的化学势相等，即A μ=B μ (3)
所以 +Θμ⎰Θ+A p p A dp a RT 1ln υ=+Θμ+B a RT ln ⎰+ΘπυA p p dp 1 (4)
解此方程和代换，即可推导出范氏渗透压公式π=
v
n RT 3.2 范氏渗透压公式由来的逻辑推导之误 上述推导过程，看似无懈可击，实际上在逻辑上是有严重硬伤的。

因为渗透平衡无论与相变平衡还是与化学反应平衡相比，在机制机理方面都有着根本的区别，适用于相变平衡和化学反应平衡的“平衡时化学势相等”这一规律，并不适用于渗透平衡。

具体地说，在渗透系统中，溶剂和溶液之间存在有选择特定分子通过的功能性界膜；而这种功能性界膜在非渗透的相变物之间或化学反应物之间是均不存在的。

上述（1）、（2）两个平衡等式，都是根据不存在功能性界膜的前提下成立的。

可是经过上述（3）式而推导到（4）式时已存在功能性界膜了。

也就是说，范氏渗透压公式原本是根据无功能性界膜条件下的平衡作为逻辑前提进行推导的，可是推导过程中为了合乎主观要求，又人为地将它置于有功能性界膜的条件下了。

这种任意更换条件的推导，违背了逻辑上必须遵循的同一律。

再一点，无论是固、液、气三态间的相变，还是同素异形体（如石墨和金刚石）之间的相变，都有范德华力或杂化轨道改变等分子或原子间能量的变化，化学反应则更有旧键破坏和新键形成这些能量变化的热效应过程；而渗透则纯粹是系统中溶剂分子扩散性移动，不存在象相变或化学反应那样能量变化的热效应过程。

不顾它们的差异，把适用于相变或化学反应的“平衡时化学势相等”这一判据，机械地套用到渗透上来作为推导渗透压公式的逻辑前提，就难免有失偏颇。

这里须指出的是对范氏渗透压公式的理论推导者并非范特霍夫本人，而是相信范氏渗透压公式正确的其随从者。

范特霍夫是在1886年发现稀溶液的渗透压可与用气体状态方程完全相似的方程式来计算， 此即范氏渗透压公式。

只是由于后人牵强的理论证明，所以有了所谓“半经验半理论”公式的说法。

可见范氏渗透压公式实际上只是一个纯经验的公式，而缺乏理论支持的纯经验公式就难免会有其局限性。

3.3 新的渗透压公式
与相变平衡或化学反应平衡的热力学机制机理相比，渗透平衡的机制机理主要更体现在流体力学和膜分离学的原理之中。

据此，我们运用以渗透力为核心概念的渗透定律，就可以清晰地推导出的一个与理想溶液全吻合的渗透压公式。

我们先从最简单的一种情况来分析和认识。

渗透平衡时，如果膜一侧的纯溶剂与膜面同高，那么溶液侧高出纯溶剂面的液静压，就是渗透压。

.根据渗透力平衡公式，这时有
大气压·纯溶剂渗透有效膜面积=（大气压+渗透压）·溶液渗透有效膜面积
以上是在溶剂温度等于其熔点温度的理想标准状态(对于溶剂水来说是T 0=273.16K )下，从渗透力大
小相等来说明渗透平衡的。

但在溶剂温度高于其熔点温度的实际状态下，由于溶剂流动性的提高，势必对溶液侧的渗透压有一定的增益效应，其数值决定于实际状态下的热力学温度T 与该溶剂的热力学熔点
温度/T 的比值/T
T ，这样，在渗透力平衡公式推导的基础上，可得到一个新的渗透压公式，即 渗透压∙-∙=)(大气压溶液渗透有效面积纯溶剂渗透有效膜面积大气压/T
T 设π、p 、b a S S //、、[Ci ]分别是渗透压、大气压、纯溶剂侧渗透有效膜面积、溶液侧渗透有效膜面积和溶液摩尔量浓度；k 如前，仍是渗透无效膜面积常数。

亦即渗透无效膜面积=k [Ci ]
溶液渗透有效膜面积b S / =1k -[Ci]
据上渗透压公式则为 π)pS (/a /p S b -=/T T ])([///b b a S S S p -=/T T ][1])][1(1[Ci k Ci k p ---=·/T T ][1][Ci k Ci pk -=·/
T T 即π][1][Ci k Ci pk -=·/T
T （1） 3.4 不同条件下的新渗透压公式的不同表达式
在新渗透压公式（1）的基础上，我们可有如下进一步的推导
若渗透平衡时，纯溶剂侧有高于膜面的液静压f ，那么根据渗透力平衡公式，这时有
（大气压+液静压）·纯溶剂渗透有效膜面积=（大气压+渗透压+同对侧的液静压）·溶液渗透有效膜面积
则可推导出溶液的渗透压公式为： π][1][)(Ci k Ci k f p -+=·/T
T
（2） 若平衡时，溶液对侧的不是纯溶剂，而是液面与膜面同高、相对稀的浓度为[ci ]的稀溶液，那么根据渗透力平衡公式，这时有
大气压·稀溶液渗透有效膜面积=（大气压+渗透压）·溶液渗透有效膜面积
则可推导出溶液的渗透压公式为： π][1])[]([Ci k ci Ci pk --=·/T
T
（3） 若平衡时，溶液对侧是相对稀的浓度为[ci ]的稀溶液，并有高于半透膜面的液静压f ，那么根据渗透力平衡公式，这时有：
（大气压+液静压）·稀溶液渗透有效膜面积=（大气压+渗透压+同对侧的液静压）·溶液渗透有效膜面积
则可推导出溶液的渗透压公式为： π][1])[]([)(Ci k ci Ci k f p --+=·/T
T
（4） 上述新渗透压公式（1）—（3），都可统一于新渗透压公式（4），都是渗透压公式（4）在或同时为零，、
[ci]f 或[ci ]为零，为零，或f 各种情况依次的简略表达式。

在上面公式推导中，有两个忽略不计：一个是大气压p 也会受温度影响，即温度为T 时的大气压值变化对的但通过计算可知，有限T dx nmge p RT mgx T ,0⎰∞-=T p 影响极小，可忽略不计；再一个是，平衡时半透膜两侧不同高度液面所受的大气压不同，但也因相差极小，也可忽略不计（均可详见笔者在2001年第四期《高等数学研究》拙文“例说数学在发现物理定律中的作用”，此略）。

与范特荷甫渗透压公式在直观上有可比性的是公式（1）；公式（1）又是我们推导出的系列公式中最基本的公式，所以在不作专门说明的情况下，笔者主张的新渗透压公式皆指公式（1）。

3.5 新渗透压公式与范氏渗透压公式的区别
新渗透压公式与范氏渗透压公式比较可知，新渗透压公式除了多了分母中的（1k -[Ci ]）外，其它部分的表达形式与范氏渗透压公式不同，而数值却是一样的。

这就是说，由于新公式多了除以小于1的溶液渗透有效膜面积（1k -[Ci ]）这一步，所以用范氏渗透压公式计算出的渗透压要比新渗透压公式计算出的有所减小。

这一误差的出现，是因为范氏渗透压公式是在忽视了功能性界膜存在的情况下推导出来的，而功能性界膜对溶剂侧来说是全透性的，但对溶液侧来说却是半透性的，对溶液侧的渗透量（或渗透速率，下同）会有阻遏作用。

为了达到两侧渗透量的平衡，只有在原“化学势相等”的基础上再增加压力，方能“对消”功能性界膜对溶液侧渗透量的阻遏作用，使膜两侧各向对侧的渗透量达到平衡。

新渗透压公式由于比范氏渗透压公式多了除以（1k -[Ci]）这一步，这就纠正了范氏渗透压公式计算中的误差。

通过两个公式的对比，我们不难看出，浓度[Ci ]越大范氏渗透压公式的误差会越大，新渗透压公式的纠正幅度亦相应越大。

这在一定程度上也可说明推导新渗透压公式逻辑和结论的正确性。

从新渗透压公式还可以看出，渗透压π随浓度[Ci ]并非象范氏渗透压公式那样呈直线增大的态势。

对此，我们可以借溶液侧大气压所起的渗透力作用被弱化来进行理解：在膜两侧浓度差很小时，大气压对两侧渗透力作用之差不明显（正因如此，直线方程的范氏透压公式只有对浓度差很小的理想稀溶液时才有一定的近似性）；但在膜两侧浓度差逐渐增大而溶液侧的渗透有效膜面积减少时，不仅原液压在渗透有效膜面积上的比例会减少，需要补充渗透力保持平衡，原大气压压在渗透有效膜面积上的比例也会减少，使溶液侧大气压所起的渗透力作用被弱化（此为膜两侧大气的“同压异效”性，即相同的大气压，却对膜两侧产生了大小不同的渗透效果），也需要补充才能保持平衡，而对这 “也需要补充”的部分，必须有渗透压来承担。

关于这一点，我们只要试看如下渗透力平衡公式就一目了然了：
大气压·纯溶剂渗透有效膜面积=（大气压+渗透压）·溶液渗透有效膜面积
从上式可以看出，当溶液浓度增大而“溶液渗透有效膜面积”减小时，为了保持渗透平衡，（大气压+渗透压）整个一项要按比例增大，不仅“渗透压”要按比例增大，“大气压”也要按比例增大，可是“大气压”是个定值，没法增大，于是这部分增大的重任就有“渗透压”额外地担当了。

特别是随着浓度的不断提高，有效面膜积的不断减少，其相对于剩余有效面膜积的减少率（即减少的单位有效面膜积与剩余有效面膜积的比值）会越来越大而呈现加速性，这种减少的加速只有靠渗透力同步的加速增大来使之保持渗透平衡，这是造成渗透压的增速随浓度[Ci ]增大而加快的直接原因。

3.6 新渗透压公式特点的数学证明
新渗透压公式特点可从数学角度可得到进一步证明。

求新渗透压公式，即函数π][1][Ci k Ci pk -=·/T
T 的一阶导数π/和二阶导数π// π/∙----==2])[1()]([])[1(][Ci k k Ci pk Ci k pk Ci d d π/T T /2/2])[1(])[1(])[][1(T T Ci k pk T T Ci k Ci k Ci k pk ∙-=∙-+-= π//
∙---∙-==4])[1()])([1(2)][(][Ci k k Ci k pk Ci d d Ci d d π/T T /32])[1(2T T Ci k pk ∙-= 因/T T k p 、、、是正数，所以在函数定义域 [0、)1k
内π/>0；π//>0。

由此不仅可以判断原函数，即渗透压公式（1）π][1][Ci k Ci pk -=·/T
T 的单向递增性和图象曲线弧的向上弯曲性(见下图)，二阶导数π//>0
还证明了一阶导数π/的单向递增性，即随浓度][S 的增大，渗透压增速的加快性。

同理，对公式（2）、（3）、（4）进行一阶和二阶求导，也可得出相同的上述结论。

3.7 从图象曲线来全面认识新渗透压公式的特点
我们对新渗透压公式公式π][1][Ci k Ci pk -=·/T
T 在/T T k p 、、、是定值时的图象再进行讨论，以更清楚地说明随浓度[Ci ]的增大，渗透压增速加快的特点。

渗透压π随溶液浓度[Ci]变化的方程曲线
此图象包含如下三级反应：
（1）一级反应：溶液浓度[Ci]很低，即k [Ci] <<1时，π ≈][Ci pk ，渗透压与溶液浓度几近成正比，渗透压与浓度的关系表现出直线方程的性质（图象O —A 段）。

（2）混合级反应：溶液浓度[Ci]稍高时，渗透压随溶液浓度增加而增速加大，表现出明显上弯的曲线方程性质（图象A —B 段）。

（3）零级反应：溶液浓度[Ci]达到极点饱和时，渗透压达最大值，方程曲线达最高点（图象B 点）。

从上述三级反应图象的讨论，可知为什么范特荷甫渗透压公式只适用于理想稀溶液。

原来渗透压只有在理想稀溶液时，即膜两侧浓度差很小时，才与浓度表现出有似于直线方程的关系，稍浓时便会偏离
直线方程；而范特荷甫渗透压公式π=v
n RT ，是在一定的温度下，以浓度为函数的直线方程，所以它只能近似地用于理想稀溶液。

而新渗透压公式是个曲线方程，在浓度较稀时它显示直线性，而浓度较大时，它显示曲线性，能与渗透的实际全吻合。

所以新渗透压公式有助于我们全面从本质上理解渗透过程中渗透压与溶液浓度关系的规律，有较大的实际意义和理论意义。

3.8决定性的验证实验证明了渗透压公式曲线的正确性
新渗透压公式及其公式方程曲线的上弯性不是从实验的实践中归纳或大量数据的拟合中得到，而是从理论分析的逻辑推导中得到。

对于这样得来的公式，最关键问题是能否与实验相吻合，即实验中溶液浓度渐增的渗透压值是否也会呈上弯的曲线（在科学上有人认为这种实验，是对从理论推导出科学发现是否正确的“决定性”验证实验）。

先试看常见的NaCl 水溶液在三种不同浓度时的渗透压(250C)：
(选自唐受印、戴友之等编著、化学工业出版社2008年10月第一版《水处理工程师手册》，表2·14·7)
从此表不难看出NaCl水溶液的渗透压并不是按水溶液浓度增大的比例而增大，而是越来越超比例地增大，这表明随着NaCl水溶液浓度的增大，其渗透压曲线是一条连续上湾的曲线。

再试看如下“部分常见水溶液的渗透压图”（见夏玉宇主编、化学工业出版社2008年8月第二版的《化学实验室手册》，图7——55 部分常见水溶液的渗透压）：
从图象可以看出CuSO4等6种常见水溶液各自在不同浓度时的渗透压线。

这6条线也都是连续上弯的曲线，与我们得出的新渗透压公式的曲线的连续上弯性是一致的。

此图X、Y上的单位是以指数增长的，这标明根据一般图象的画法，6条曲线的相互平行是很长的，包括到了人们常用到的各种浓度。

此要说明的是由于在实际中，各种实验都达不到理论上所要求的理想状态，所以一般实际测得的数值都对理论公式计算出的数值有所偏离，如物理学上著名的自由落体距离公式的曲线、重力场中微粒按高度规律分布公式的曲线、大气压随高度按指数规律减小公式的曲线等等，实际测量而得出的曲线都会对它们略有偏。

这一现象反映了理论公式对科学现象把握的深刻性和概括性。

因为无论是自由落体距离的实际数、重力场中微粒按高度分布的实际数或大气压随高度按指数规律减小的实际数，都与实际环境中偶然的千变万化的大气密度、流动性及温度（包括大气对流层中气温越往上越低的趋势）等相关，而理论公式相对广泛的适用性都要求它舍弃这些偶然因素，而把固有的本质因素抽象出来，作某种统一的理想状态（如实际中达不到的真空、恒温等）的表达。

同样，渗透压公式也同样是一种理想状态溶液渗透压的表达，而所有实际溶液都会或多或少偏离理想状态，所以所有实际溶液的渗透压曲线也都会或多或少偏离渗透压公式曲线。

与其他理论公式在运用中为了获取实际精确值，可用偏离系数来加以校正一样，在应用渗透压公式时，我们同样可以根据化学上的活度（activity）或活度系数（activity coefficient）这些既有概念来地加以校正而得到实际精确值。

全文结束语一部科学史告诉我们，当人们在初始暂时无法深解某种现象内在的逻辑本质时，往往只能采取经验的方法来处理，一百多年前的范氏渗透压公式便是如此。

但这种经验公式由于缺乏对本质的把握，所以难免有其不足或缺陷（比如范氏渗透压公式只适用于理想稀溶液，而且从上述分析可以准确地说，范氏渗透压公式只适用于无限稀的理想稀溶液，而这种极限状态的溶液在实际中又是不存在的），随着人们对该事物内在逻辑本质的把握，这种有局限性的经验公式，自然就会被相对科学而严密的公式所扬弃。

这正如爱因斯坦所说：对于已有的科学概念，“如果它们同所给的东西之间的对应过于松懈，那么这些概念就会被别的概念所代替”[6]。

经典渗透理论的一些概念（包括有局限性的经验公式），。