第3章-方程求根

ln 2
x * xk 则有
此时，xk 就是满足精度要求的近似值。
§3.2 二分法
x2 0 的根，且误差 例：用二分法求方程的根 f ( x) sin x 4 不超过10-2
分析：除原点外，两条曲线只有一个交点，且 f (1.5) 0 f (2) ，故方程在[1.5,2]内只有一个实根。
所以342牛顿迭代法的收敛性例345用牛顿法于方程导出求的迭代公式并讨论其收敛性所以序列单调递减有界故使得迭代序列收敛于342牛顿迭代法的收敛性显示迭代失败的信息并终止计算输出终止计算输入执行计算342牛顿迭代法的收敛性由定理341知若是方程的单根时牛顿迭代法至少具有平方收敛速度
第三章 方程求根
3.1
f ( x) a n x a n1 x
n
n
n 1
.... a1 x a0
an 0
则称相应的方程为 次代数方程。 如果 f (x)中含有三角函数，对数函数等其他超越函数， (an 0) 则称相应的方程为超越方程。
n
§3.1 引言
方程的根可能是实数，也可能是复数，分别称为方程的 实根和复根。本章主要介绍方程实根的求法。 * x ，有 f ( x* ) 0 ，但 f ' ( x* ) 0 ，则称 x* 是方 若对于 程 f ( x) 0 的单根。 若有 f ( x * 则称 x 是方程
§3.1.2 根的分布
定理1（代数方程的上下界定理） n n 1 1 设 f ( x) an x an 1 x , , , a1 x a0 , (an 0)
且M max an 1 , an 2 ,..., a0
M 则方程f(x)=0的实根（若存在）的绝对值均小于 1 an
第三章 方程求根
3.1
3.2 3.3 3.4 3.5
引言
二分法 迭代法 牛顿迭代法 弦截法
§3.2 二分法
设函数 f (x) 在区间 a, b 上单调连续，且 f a f b 0 根据连续函数的性质知方程 f ( x) 0在a, b内一定有唯一实 根。 为确定起见，不妨设 a, b为隔根区间，即方程 f ( x) 0 在 a, b 内有唯一的实根。 用二分法求方程 f ( x) 0 的实根 x * 的近似值，其主要思 想是：将含有根 x * 的隔根区间二分，通过判断二分点与边界 点函数值的符号，逐步对半缩小隔根区间，直到缩小到满足 精度要求，然后取最后二分区间的中点为根 x * 的近似值。其 具体步骤如下：
若ak (k 1)是其第一个负系数(不可能没有负系数，否则方程无 正根)，M是全部负系数ห้องสมุดไป่ตู้对值的最大值，则方程的正根上界是
1 nk
M an
例：求 f ( x) x 5 2 x 4 5x 3 8 x 2 7 x 3的正根上界 a5=1>0，a3=-5是其第一个负系数，故得方程正根上界是
3.2 3.3 3.4 3.5
引言
二分法 迭代法 牛顿迭代法 弦截法
§3.1 引言
3.1.1 3.1.2 3.1.3
根的存在性 根的分布 根的精确化
§3.1 引言
科学计算中，常常需要求解高次代数方程或超越方程的 解 f ( x) 0 。方程 f ( x) 0的解通常称为方程的根，或称为 函数 f (x) 的零点。 如果 f (x) 是 次多项式
5 4 3 2
§3.1.2 根的分布
求出了方程的有根区间，然后就可以用下列两种方法， 在有根区间内进行根的隔离。 1、图解法 画出 y f (x) 的粗略图形，从而确定曲线 y f (x) 与 轴交点的粗略位置，从而确定隔根区间。
x
§3.1.2 根的分布
2、试验法 求出 f (x) 在若干点上的函数值，观查函数值符号的变 化情况，从而确定隔离根区间。通常采用“搜索法”，具 体做法是在有根区间 a, b 的左端点 x0 a 开始，按一定的 步长 h (如 h b a ) 。逐步向右“搜索”，即检查节点
1 b a k 1 2 1 k 1 2 1.5 10 2 2 2 k 1 10 2 k 5
§3.2 二分法
例 用二分法求 x3 4 x 2 10 0 在(1,2)内的根，要求 绝对误差不超过 0.5 102 解： f(1)=-5<0 有根区间 中点 x n x0 1.5 f(2)=14>0 (1,2) x1 1.25 f(1.5)>0 (1,1.5) x2 1.375 f(1.25)<0 (1.25,1.5) x3 1.313 f(1.375)>0 (1.25,1.375) x4 1.344 f(1.313)<0 (1.313,1.375) x5 1.360 f(1.344)<0 (1.344,1.375) x6 1.368 f(1.360)<0 (1.360,1.375) x7 1.364 f(1.368)>0 (1.360,1.368)
§3.2 二分法
a
x0
a1 a2
x1
b
b1
b2
§3.2 二分法
在新的有根区间a1 ,b1 上重复上述二分过程，则又得下面 的有根区间序列。 a, b a1 , b1 a2 , b2 ak , bk
其中每个区间均为前一个区间的一半，经过 k 次二分后， 可得有根区间ak , bk ，其长度为： 1 （3.2.1） bk ak k b a 2 如果用上述步骤无限地二分区间 a, b k ，则有根区 * 间必定收缩为一点 x 。显然，该点就是方程根。 在实际计算中，没有必要也不可能进行无限次的二分区 间 a, b ，只要求得满足预定精度的近似值即可。如果取有根 ak , bk 的中点 xk 1 ak bk 为 x * 的近似值 则在上述二分 区间 2 过程中，可得以 x *为极限的根的近似值序列：
1
输入
a,b, 1 , 2 N
,
y n
y1 f (a), y2 f b y1 y2 0
对于
n
计算
k 1,2, N
x
y n
ab , y f ( x) 2 y 1
n n
输出失败信息， 停止计算
y1 * y 0 y nb x a x
计算 k , x, y
n
xk a kh 上函数值 f ( xk )的符号, 若 f xk 1 f xk 0
则所求根 x * 必在 x k 1 与 x k 之间，从而确定一个缩小的隔 根区间x k 1 , x k 。
§3.1.3 根的精确化
当求出方程 f ( x) 0 的一个隔根区间后，可以取根的隔 离区间内的任一值做为方程的近似值，然后设法将根的近 似值进一步精确化，直到满足精度要求为止。 对于根的存在性和根的分布，前面讨论的主要是代数 方程的情况。这是因为在实际应用中，代数方程出现的较 多，而且求根理论比超越方程完善。 本章后续几节将要介绍的几种根的精确化方法如二分 法、迭代法、牛顿法等对代数方程和超越方程都是适用的。
例：求 f ( x) x 2 x 5x 8 x 7 x 3 的有根区间。 得有根区间为[-9,9]
5 4 3 2
§3.1.2 根的分布
定理2（方程的正根上界定理） f ( x) an x n an 1 x n 1 ... a1 x1 a0 , (an 0) 设
) f ( x ) f ( x ) ... f ( x ) 0 f ( x) 0 的k重根。此时函数可表示为 * * k * f ( x) ( x x ) g ( x) , g ( x ) 0 ，当k是奇数时f(x)在 x
* ' * '' * *
( k 1)
f ( k ) ( x* ) 0
处变
号，当k是偶数时，f(x)在点 x 处不变号。
*
§3.1.1 根的存在性
根的存在性要解决的问题： 方程有没有根？ 如果有根，有几个根？ 对于代数方程，则由代数学基本定理知其根(实 根和复根)的个数与其次数相同。
§3.1.2 根的分布
先求出有根区间，然后把有根区间分成若干个子 区间，每个子区间或者没有根，或者只有一个根。有 根子区间称为根的隔离区间,简称隔根区间。隔根区间 内的任一点都可看成是该根的一个近似值。 在进行根的隔离时，一般先求出根的上下界，对 于n次代数方程，可用下面的方法求出实根的上下界。
§3.2 二分法
ab 首先把区间 a, b 二等分，取其中点 x0 2 * 1 计算函数值 f x0 ，如果 f x0 0 ，则求得实根 x a b
2
否则， f x0 或者与 f a 异号，或者与 f b 异号。 若 f a f x0 0 ，说明根在区间 a, x0 内，这时取 ab a1 a, b1 2 若 f x0 f b 0 ， 说明根在区间 x0 , b 内，这时取 ab a1 , b1 b 2 不论是哪种情况，新的有根区间a1 ,b1 的长度仅为原有 根区间a, b 的一半。
§3.2 二分法
x0 , x1 , x2 , , xk ,
1 1 由于 x xk bk ak k 1 b a 2 2
*
对于预先给定的精度 0，只要
即当 k
1 b a k 1 2 ln b a ln 2
§3.2 二分法
二分法的优点是：方法简单，编程容易，且对函数 f (x) 的性质要求不高，只要求 f (x) 在隔根区间连续，且在两端 点处的函数值异号。其收缩速度与公比为 1 2 的等比级数的 收缩速度相同。 二分法的缺点是：只能求实函数的实根。且不能求方程 的复根及偶数重根。 下面给出二分法的算法：算法中a、b分别表示各有根区 N 间的左、右端点， 用于记录二分次数， 为最大二分次数。 k 1 , 2 为允许误差，当 f ( x) 或 b a 2时计算终止。
7 1 1
2
§3.1.2 根的分布
定理3（方程的正根上界定理） 设 f ( x) an x n an1 x n1 ... a1 x1 a0 , (an 0)
若当x c时，f ( x), f ' ( x),..., f n ( x)都取正值，则c即正根上界
例：求 f ( x) x 2 x 5x 8 x 7 x 3 的正根上界 求方程的直至5阶导数，将x=2代入，可验证即为正根上界。
§3.2 二分法
例：求x 3 x 1 0 在[1,2]的近似值，准确到10-3，需多少次二分 解：f(1)=-1, f(2)=5, f’(x)=3x2-1>0单调递增，故函数在 [1,2]区间有唯一根。
ba x xn n 1 10 3 n 9 2
*
例：求1 x sin x 0 在[0,1]的根，准确到0.5*10-4 解：f(0)=1, f(1)=-sin1, f’(x)=-1-cosx<0单调递减，故 函数在[0,1]区间有唯一根。 ba x* xn n 1 0.5 10 4 n 14 2
y2 y
y1 y
输出
y n
b a 2
n
k , x, y
输出 并停止计算
第三章 方程求根
3.1
3.2 3.3 3.4 3.5
引言
二分法 迭代法 牛顿迭代法 弦截法
§3.3 迭代法
3.3.1 不动点迭代 3.3.2 迭代法的收敛性
3.3.3 迭代法的改善
§3.3.1 不动点迭代
3 例：求方程的实根 f ( x) x x 1 0
分析可得，方程在[1,2]内连续单调，有唯一根 3 将方程 f ( x) x x 1 0 转换为两种等价形式：
x 3 x 1 1 ( x) x x 1 2 ( x)
3
xk 1 xk k 0,1,2
取初值x0=1.5，代入 xk 1 xk 可得一系列的近似值，该法 即为迭代法。两种迭代形式，其结果是不一样的。