人教版高中总复习一轮数学精品课件 第1章 等式的性质与不等式的性质、基本不等式

c
b
c
3.不等式的基本性质
性质
性质 1
性质 2
性质 3
别名
对称性
传递性
可加性
性质 4
可乘性
性质 5
同向可加性
性质 6
性质 7
同向同正可
乘性
乘方法则
性质内容
注意
a>b⇔b<a
可逆
a>b,b>c⇒a>c
同向
a>b⇔a+c>b+c
可逆
a > b,
⇒ac>bc
c>0
c 的符号
a > b,
⇒ac<bc
c<0
2
故 D 错误.
(2)下列说法正确的是( C )
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若ac>bc,则a>b


C.若 2 < 2,则 a<b


D.若a>b,c>d,则a-c>b-d
取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c<0时,ac>bc⇒a<b,故B错误;

因为 2 < 2 ,且c≠0,所以c2>0,即a<b,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误.
(1)若x∈R,y∈R,则( A )
A.x2+y2>2xy-1
B.x2+y2=2xy-1
C.x2+y2<2xy-1
D.x2+y2≤2xy-1
因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,
所以x2+y2>2xy-1,故选A.
(2)已知a>0,b>0,试比较aabb与abba的大小.
能力形成点3
利用基本不等式证明不等式

例 3 (1)设 a,b,c 都是正数,求证: + + ≥a+b+c.
1 1
1
(2)已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: + + ≥8.


证明 (1)∵a,b,c 都是正数,∴ , , 都是正数.
A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<a<c
(方法一)由题意可知 a,b,c 都是正数.

由

由
3ln4
= 4ln3=log8164<1,可知 a>b;
5ln4
= 4ln5=log6251 024>1,可知 b>c.故
ln
1-ln
(方法二)令 f(x)= ,可得 f'(x)= 2 .


∴ + ≥2c,当且仅当 a=b 时,等号成立, + ≥2a,

当且仅当 b=c 时,等号成立, + ≥2b,
当且仅当 a=c 时,等号成立.

三式相加,得 2( + + )≥2(a+b+c),

即 + + ≥a+b+c,当且仅当 a=b=c 时,等号成立.
而a<-a2<0,所以a<-a2<0<a2<-a.故选D.
(2)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( D )

A. >

C. >

B. <

D. <
(方法一)由c<d<0,得cd>0.


1
又 c<d<0,所以 < <0,故
-
-

又 a>b>0,所以 > , < .
A.9
B.18
C.36
由2(x+y)=36,得x+y=18,所以 ≤
D.81
+
=9 ,当且仅当x=y=9时,等号成立.
2
5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总
存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值
30
是
.
一年的总运费与总存储费用之和为
a > b,
⇒a+c>b+d
同向
c>d
同向、
a > b > 0,
⇒ac>bd
c>d>0
正项
a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) 同正
问题思考
1 1
若a>b,且a与b都不为0,则 与 的大小关系确定吗?
1
不确定.若 a>b,ab>0,则
1
< ,即若 a 与 b 同号,
1
1
则分子相同,分母大的反而小;若 a>0>b,则 > ,即正数大于负数.
第一章
1.3
等式的性质与不等式的性质、基本不等式
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.两个实数比较大小的法则
关系
法则
作差法则
a>b
a-b>0
a=b
a<b
a-b=0
a-b<0
作商法则
a
a
>1(b>0)或
<1(b<0)
b
b
a
b
a
b
=1(b≠0)
上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来
转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的
代换法等.
对点训练 3
1
1
已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+)· 1 + ≥9.
1
+

证明 (方法一)∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+ =1+
解 因为 a>0,b>0,所以 aabb 与 abba 均为正.

-



a-b b-a
因为 =a b =
.当 a>b 时, >1,a-b>0,




-
0

所以
>
=1,所以 >1.



又因为 abba>0,所以 aabb>abba.
当 a=b 时,
600
900
4x+ ×6=4 + ≥4×2 900=240,
900
当且仅当 x= ,即 x=30 时,等号成立.

第二环节
关键能力形成
能力形成点1
比较两个数(式)的大小
例1 (1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是
( B )
A.M<N
a
<1(b>0)或b >1(b<0)
2.等式的基本性质
性质
性质 1
性质 2
性质 3
性质 4
性质 5
别名
对称性
传递性
加减性
乘法法则
除法法则
性质内容
如果 a=b,那么 b=a
如果 a=b,b=c,那么 a=c
如果 a=b,那么 a±c=b±c
如果 a=b,那么 ac=bc
a
如果 a=b,c≠0,那么 =
(2)∵a+b=1,∴
1 1
1
1 1
+ + =2 +

.
∵a+b=1,a>0,b>0,
1 1
+

+ +

∴
=
+
=2+ + ≥2+2=4



1
(当且仅当 a=b=2时,等号成立).
1 1
1
1
∴ + + ≥8(当且仅当 a=b=2时,等号成立).
解题心得利用基本不等式证明不等式是证明不等式的一种情况,要从整体
对于 A,由于-1<b<1,即 0≤bபைடு நூலகம்<1.
1
因为 a>1,所以 a>b ,故 A 正确;对于 B,若 a=2,b=2,此时满足
1
1
1
a>1>b>-1,但 < ,故 B 错误;对于 C,若 a=2,b=- ,此时满足 a>1>b>-1,


2
1
1
9
3
但 > ,故 C 错误;对于 D,若 a=8,b=4,此时满足 a>1>b>-1,但 a2<2b,
小
可以多次取特殊值,根据特殊值比较
大小,从而得出结论
常用配方、因式分解、
有理化等变形
适用于分式、指数式、
对数式
将要比较的两个数作为
一个函数的两个函数值
适用于选择题或填空题
提示:当两个代数式正负不确定且为多项式形式时,常用作差法比较大小;
当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时,常用作商法比较大小.
对点训练1


温馨提示1.不等式还有以下几条常用性质
(1)移项法则:a+b>c⇔a>c-b.即不等式的任何一项移到不等号的另一边时
一定要改变符号.
n
(2)可开方性:a>b>0⇒ >

(n∈N*,n≥2).
2.两个重要不等式
+ -
若 a>b>0,m>0,则(1) <
; >
(b-m>0);
+
(4)两个不等式 a +b ≥2ab 与 2 ≥ 成立的条件是相同的.( × )

(5)x>0,且 y>0 是 + ≥2 的充要条件.( × )
4
π
(6)函数 f(x)=cos x+
,x∈ 0, 的最小值为 4.( × )
cos
2
2
2
2.已知a,b∈R,下列说法正确的是( D )
(5)
≤
+
+
≤
≤
2
2
2 +
(a>0,b>0).
2
【知识巩固】
1.下列说法正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.(
)
(2)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数,不等号方向不变.( × )
(3)一个非零实数越大,其倒数就越小.( × )
不等式的性质及应用
例2 (1)如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是( D )
A.a2>a>-a2>-a
B.a2>-a>a>-a2
C.-a>a2>a>-a2
D.-a>a2>-a2>a
由a2+a<0,即a(a+1)<0,解得-1<a<0.
由不等式的性质,可知-a>a2>0,
同为正数;二定:a+b或ab为定值;三相等:当且仅当a=b时,不等式取得等号.
(2)基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
数.
5.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,则
(1)如果 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值 2 (简记:积定和
最小).
2

-

0
=1
=1,所以
=1.



又因为 abba>0,所以 aabb=abba.
当 a<b

-
时,0< <1,a-b<0,所以


>

0

=1,所以 >1.


又因为 abba>0,所以 aabb>abba.综上,aabb≥abba.
能力形成点2
A.若a>b,则|a|>|b|
1 1
B.若a>b,则 <

C.若|a|>b,则a2>b2
D.若a>|b|,则a2>b2
当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a>|b|≥0,则a2>b2.
故选D.
3.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是( D )
A.a2+b2>2ab
c<b<a.
当 x>e 时,f'(x)<0,即 f(x)单调递减.
∵e<3<4<5,∴f(3)>f(4)>f(5),即 c<b<a.
解题心得比较两个数(式)大小的常用方法
作差法
作商法
构造函
数法
赋值法
步骤:作差⇒变形⇒判断差与0的大小
⇒得出结论
步骤:作商⇒变形⇒判断商与1的大小
⇒得出结论
构造函数,利用函数的单调性比较大
B.M>N
C.M=N
D.不确定
M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).
∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.
∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.
ln3
ln4
ln5
(2)若 a= 3 ,b= 4 ,c= 5 ,则( B )
=2+ .



1

同理,1+ =2+ .


1
1



的代数式是正数、负数还是0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,两边同时
平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,两
边同时取倒数后不等号方向不变等.
对点训练2
(1)若a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是( A )
2
A.a>b
1 1
C. <
1 1
B. >
D.a2>2b
1 1
2
C. + >


B.a+b≥2

D. + ≥2

对于A,∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab,
故A错误.