2014年高三一模数学（文）北京市海淀区试题Word版带答案.doc

海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 （文科） 2014.4
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.
52i
=- A.2i - B.2i + C.12i + D. 12i -
解析：5
5(2)22(2)(2)
i i i i i +==+--+
2. 已知集合{}{}
1,0,1,sin π,,A B y y x x A A B =-==∈=则
A.
1 B.0 C. 1 D.
解析：{0}B =，所以{0}A B ⋂=
3. 抛物线28y x =上到其焦点F 距离为5的点有 A.0个
B.1个
C. 2个
D. 4个
解析：根据抛物线的定义抛物线上的任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，有两个点。

4. 平面向量,a b 满足||2=a ，||1=b ，且,a b 的夹角为60︒，则()⋅+a a b = A.1
B. 3
C.5
D. 7
解析：()a a b a a a b +=•+•=4+1=5 5. 函数()2sin f x x x =+的部分图象可能是
A B C D
解析：由题得函数为奇函数，关于原点对称，x=1时，函数值为正，答案为A 。

6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1S ，22S a +，3S 成等差数列，则数列{}n a 的公比为
A ．1
B ．2
C ．
1
2
D ．3 解析：根据题意有2213
2()S a S S +=+，
2111112()a a q a a q a q +=++解得q=3.
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
7. 已知()
x f x a 和()x g x b 是指数函数，则“(2)(2)f g ”是“a
b ”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：根据题意函数式指数函数，a ，b>0,所以22a b >，a b >，反之也成立，所以为充分必要条件。

8. 已知(1,0)A ，点B 在曲线:G ln y x =上，若线段AB 与曲线:M 1
y x
=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
解析：A(1,0),设
0,0(ln )B x x 则AB 的中点坐标001ln (,)
22
x x +，因为中点在1
y x =上，所以
00(1)ln 4x x +=，利用数形结合，满足条件的点个数1个。

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.双曲线22
1 3
x y m -=的离心率为2，则m =__________.
解析：
32
c m e a m
+===，m=1
10. 李强用流程图把早上上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是
_______
方案一： 方案二： 方案三：
解析：方案一用时54分，方案二用时30分，方案三用时22分，所以时间最少的是方案三。

11. 在ABC ∆中，3a
，5b
，120C ，则
sin ______,_______.sin A c B
解析：根据正弦定理有sin 3sin 5A
a B
b ==，再利用余弦定理222cos 2a b
c C ab
+-=，c=7. 12. 某商场2013年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模
型：
①()x f x p q =⋅，(0,1)q q >≠；②()log (0,1)x
p f x q p p =+>≠；③2()f x x px q =++. 能较准确反映商场月销售额()f x 与月份x 关系的函数模型为
_________（填写相应函数的序号），若所选函数满足
(1)10,(3)2f f ==，则()f x =_____________.
解析：根据题意函数不是一致单调，所以①②不满足题意，答案为③，在根据(1)10,(3)2f f ==，带入函数求解解析式
2()817f x x x =-+。

13．一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为 __________.
解析：该三视图是一直三棱柱
1
585868642152
2
S =⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯= 14. 设不等式组20,
20
x y x ay ++≥⎧⎨
++≤⎩表示的区域为1Ω，不等式221x y +≤表示的平面区域为
2Ω.
(1) 若1Ω与2Ω有且只有一个公共点，则a ＝ ;
(2) 记()S a 为1Ω与2Ω公共部分的面积，则函数()S a 的取值范围是 . 解析：1Ω与2Ω有且只有一个公共点时，x+y+2=0与圆无交点，所以要满足x+ay+2=0与圆相切，在利用点到直线的距离公式求得
a=利用数形结合，均满足题意。

当1Ω与
2Ω有且只有一个公共点时面积为0，利用数形结合当x+ay+2=0恒过（-2,0）当直线旋转与
x 轴重合时面积最大，所以()S a 的取值范围是
π[0,)2。

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数π
()sin sin()3
f x x x =--.
俯视图
主视图
侧视图
（Ⅰ）求π
()6
f ;
（Ⅱ）求()f x 在ππ
[,]22
-上的取值范围.
16．（本小题满分13分）
某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查.调查问卷共10道题，答题情况如下表：
(Ⅰ)如果出租车司机答对题目数大于等于，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；
(Ⅱ)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出两人做进一步的调查，求选出的两人中至少有一名女出租车司机的概率.
17. （本小题满分14分）
如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°
，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （Ⅰ）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ； （Ⅱ）求证：BD ⊥1A F ；
（Ⅲ）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A
B 与直线CD 能否垂直？并说明理由.
18. （本小题满分13分）
已知函数()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间；
(Ⅱ) 当1k ≤时，求证：()1f x kx ≥-恒成立.
1图 图 2
19. （本小题满分14分）
已知1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22:24C x y +=上两点，点M 的坐标为(1,0). （Ⅰ）当,A B 关于点(1,0)M 对称时，求证：121x x ==；
（Ⅱ）当直线AB 经过点(0,3) 时，求证：MAB ∆不可能为等边三角形.
20. （本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）()A n ：123,,,,n A A A A 与()B n ：123,,,,n B B B B ，其中3n ≥，若同时满足：
①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =-，
则称()A n 与()B n 互为正交点列.
（Ⅰ）试判断(3)A ：123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与(3)B ：123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 是否互为正交点列，并说明理由； （Ⅱ）求证：(4)A ：12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列(4)B ； （Ⅲ）是否存在无正交点列(5)B 的有序整数点列(5)A ？并证明你的结论.
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数 学 （文科） 2014.4
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.B
2.B
3.C
4.C
5.A
6.D
7. C
8.B
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 1 10. 方案三 11.
35
,7 12. ③,2
()817f x x x =-+ 13. 152
14. π[0,)2
{说明：两空的第一空3分，第二空2分；14题的第二空若写成π(0,)2
不扣分}
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.解：
（Ⅰ）ππππ
()sin sin()6663
f =-- ---------------------------------1分
ππ
sin sin()66=-- ---------------------------------2分
ππ
sin sin 66=+ ---------------------------------3分
π
2sin 16== ---------------------------------4分
（Ⅱ）1()sin sin 2f x x x x =- ---------------------------------6分
1sin 2x x =+sin()3x π=+ --------------------------------8分
因为ππ
22x -
≤≤ 所以ππ5π
636x -≤+≤
--------------------------------10分 所以1π
sin()123
x -≤+≤ --------------------------------12分
所以()f x 的取值范围是1
[,1]2
- --------------------------------13分
16.解：
(Ⅰ)答对题目数小于9道的人数为55人，记“答对题目数大于等于9道”为事件A
55
()10.45100
P A =-
= --------------------------------5分 (Ⅱ)设答对题目数少于8道的司机为 A 、B 、C 、D 、E ，其中A 、B 为女司机 ，选出两人包含AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE 共10种情况，至少有1名女驾驶员的事件为AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 共7种.
记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M ，则
7
()0.710
P M =
= --------------------------------13分 17.解：
（Ⅰ）因为D ,M 分别为,AC BD 中点，所以DM //EF ---------------------2分
又1EF A EF ⊂平面，1DM A EF ⊄平面
所以1//DM A EF 平面. -----------------------4分 （Ⅱ）因为1A E BD ⊥，EF BD ⊥且1A E
EF E =
所以1BD A EF ⊥平面 -------------7分 又11A F A EF ⊂平面
所以1BD A F ⊥ ------------------------9分
（Ⅲ）直线1A B 与直线CD 不能垂直 ---------------------------------------10分
因为1A BD BCD ⊥平面平面,1A
BD BCD BD =平面平面,EF BD ⊥,
EF CBD ⊂平面，
所以 1EF A BD ⊥平面. ---------------------------------------12分 因为11A B A BD ⊂平面，所以1A B EF ⊥， 又因为//EF DM ，所以1A B DM ⊥. 假设1A B CD ⊥， 因为1A B DM ⊥，CD
DM D =，
所以1A B BCD ⊥平面， ------------------------------------------13分 所以1A B BD ⊥，
这与1A BD ∠为锐角矛盾
所以直线1A B 与直线CD 不能垂直. ---------------------------------------14分
18.解：
(Ⅰ) 定义域为()0,+∞ ------------------------------------1分
'()ln 1f x x =+ ------------------------------------2分
令'()0f x =，得 1
e
x =
------------------------------------3分
'()f x 与()f x 的情况如下：
--------------------------------5分
所以()f x 的单调减区间为1(0,)e ，单调增区间为1(,)e
+∞--------------------------6分 (Ⅱ) 证明1：
设1
()ln g x x x
=+
，0x > ------------------------------------7分 22111
'()x g x x x x
-=
-= -------------------------------8分 '()g x 与()g x 的情况如下：
所以()(1)1g x g ≥=，即 1
ln 1x x
+
≥在0x >时恒成立， ----------------------10分 所以，当1k ≤时，1
ln x k x
+
≥， 所以ln 1x x kx +≥，即ln 1x x kx ≥-，
所以，当1k ≤时，有()1f x kx ≥-. ------------------------13分 证明2：
令()()(1)ln 1g x f x kx x x kx =--=-+ ----------------------------------7分
'()ln 1g x x k =+- -----------------------------------8分
令'()0g x =，得1e k x -= -----------------------------------9分
'()g x 与()g x 的情况如下：
分
()g x 的最小值为11(e )1e k k g --=- -------------------11分
当1k ≤时，1e 1k -≤，所以11e 0k --≥
故()0g x ≥ -----------------------------12分 即当1k ≤时，()1f x kx ≥-. ------------------------------------13分 19.解：（Ⅰ）证明：
因为,A B 在椭圆上， 所以
22112
2
2
2
24,2 4.
x y x y ②
① -----------------------------------1分
因为,A B 关于点(1,0)M 对称，
所以12122,0x x y y +=+=， --------------------------------2分 将21212
,x x y y =-=-代入②得2211(2)24x y -+= ③，
由①和③消1y 解得11x =， ------------------------------------------4分 所以 1
2
1x x . ------------------------------------------5分
（Ⅱ）当直线AB 不存在斜率时，(0,
2)A B ，
可得22,3AB
MA ，∆ABM 不是等边三角形. -----------------------6分
当直线AB 存在斜率时，显然斜率不为0.
设直线AB ：3y kx =+，AB 中点为00(,)N x y ，
联立2224,3,x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得22
(12)12140k x kx +++=， ------------------7分
2221444(12)143256k k k ∆=-+⋅=-
由0∆>，得到2
7
4
k >
① -----------------------------------8分 又1221212k
x x k -+=
+, 122
1412x x k
⋅=+ 所以0
00
2
2
63
,3
1212k
x y kx k
k ，
所以 22
63
(
,)1212k N k k
-++ -------------------------------------------10分 假设∆ABM 为等边三角形，则有⊥MN AB ， 又因为(1,0)M ，
所以1MN k k ⨯=-， 即2
2
31216112k k k
k +⨯=---+， ---------------------11分 化简 2
2310k k ++=，解得1=-k 或1
2
k =-
---------------12分 这与①式矛盾，所以假设不成立.
因此对于任意k 不能使得⊥MN AB ,故∆ABM 不能为等边三角形. ------------14分 20.解：
（Ⅰ）有序整点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 互为正交点列.
-------------------------1分
理由如下：
由题设可知 1223(3,2),(2,2)=-=A A A A ,1223(2,3)(33)B B B B ==-，，, 因为 12120=A A B B ,23230=A A B B 所以 12122323⊥⊥A A B B A A B B ，.
所以整点列123(0,2),(3,0),(5,2)A A A 与123(0,2),(2,5),(5,2)B B B 互为正交点列. ----------------------------3分 （Ⅱ）证明 ：由题意可得 122334(3,1),(3,1)(3,1)A A A A A A ==-=，， 设点列1234,,,B B B B 是点列1234,,,A A A A 的正交点列，
则可设121232343(1,3),(1,3)(1,3)B B B B B B λλλ=-==-，,123λλλ∈，，Z 因为1144,与与A B A B 相同，所以有
λλλλλλ⎧⎪⎨⎪⎩123123-+-=9①3+3+3=1②
因为λλλ∈123，，Z ，方程②不成立，
所以有序整点列12340,0),3,1),6,0)(((,9,1)(A A A A 不存在正交点列.----------8分 （Ⅲ）存在无正交点列的整点列(5)A . -------------------------------------------9分
当5n =时，设1(,),,,i i i i i i A A a b a b +=∈Z 其中,i i a b 是一对互质整数，1,2,3,4i = 若有序整点列12345,,,,B B B B B 是点列12345,,,,A A A A A 的正交点列, 则1(,),1,2,3,4i i i i i B B b a i λ+=-= ，由
44
1i+1=11+==∑∑i i i i i A A B B 得4
4=1144=11,.i i i i i i i i i i b a a b λλ==⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑∑∑①② 取1,(0,0)A =3,1,2,3,4i a i =,12342,1,1,1b b b b ==-==-
由于12345,,,,B B B B B 是整点列，所以有,1,2,3,4i i λ∈=Z .
等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以存在无正交点列的整点列(5)A . -----------------------------------13分。