导数运算法则的应用试题及答案

导数运算法则的应用试题及答案
导数运算法则的应用试题
1.若函数()f x 在R 上可导，且满足'()()f x xf x < ，则( ) A.2(1)(2)f f < B.2(1)(2)f f > C.2(1)(2)f f = D.(1)(2)f f =
2.已知函数()f x 的导函数为 '()f x ，满足 ln '()2()x xf x f x x +=，且1
()2f e e
=，则()f x 的单调性情况为（ ）
A ．先增后减
B 单调递增
C ．单调递减
D 先减后增
3.定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足
'
()
()
f x x f x >，则下列不等式成立的是（ ） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f <
4.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式
()3x x e f x e >+（其中e
为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()0,+∞ B ．()(),03,-∞+∞
C ．()(),00,-∞+∞
D ．()3,+∞
5.)0)()((),(≠x g x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，
()()()()f x g x f x g x ''<，且0)
()
(,0)3(<=-x g x f f
的解集为（ ） A ．（－∞，－3）∪（3，+∞） B ．（－3，0）∪（0，3） C ．（－3，0）∪（3，+∞） D ．（－∞，－3）∪（0，3）
6.若定义在R 上的函数f(x)的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则(2011)f 与2(2009)f e 的大小关系为（ ）.
A 、(2011)f <2(2009)f e
B 、(2011)f =2(2009)f e
C 、(2011)f >2(2009)f e
D 、不能确定
7.定义在(0,)2
π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<⋅成立，则（ ） A
ππ
()2()4
3
f B ．(1)
2()sin1
6
π
f f C ππ()(
)64f D ππ()()6
3
f
8.定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足
x x f x f >')
()
(，则下列不等式成立的是（ ） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f <
9.函数f(x)的定义域是R ，f(0)＝2，对任意x ∈R ，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e x ·f(x)>e x ＋1的解集为( ) A ．{x|x>0} B ．{x|x<0}
C ．{x|x<－1或x>1}
D ．{x|x<－1或0<x<1}
10.设函数在R 上存在导数，对任意的R ，有，且
(0，+)时，．若，则实数a 的取值范围为
( )
(A)[1，+∞) (B)(-∞，1] (C)(-∞，2] (D)[2，+∞)
()f x '()f x x ∈2
()()f x f x x -+=x ∈∞'()f x x >(2)()22f a f a a --≥-
11.设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()f x f x '<-，对于任意的正数a ，下面不等式恒成立的是（ ）
A.()()0a f a e f <
B.()()0a f a e f >
C.()()0a f f a e <
D.()()
0a
f f a e
>
12.已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意x R ∈，有()3f x '>，且()13f -=，则f （x ）＜3x ＋6的解集为( ) A.（－1, 1） B.（－1，+∞） C.（－∞，－1） D.（－∞，＋∞）
13.已知()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，()()f x f x '>对于x R ∈恒成立，且e 为自然对数的底数，则（ ） A ．20132014(2014)(2013)e f e f ⋅<⋅ B ．20132014(2014)(2013)e f e f ⋅=⋅ C ．20132014(2014)(2013)e f e f ⋅>⋅
D ．2013(2014)e f ⋅与2014(2013)e f ⋅的大小不能确定
14.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(=f ,当0>x 时，有2
()()
0xf x f x x '-<恒
成立，则不等式2()0x f x >的解集是（ ） A. (-2,0) ∪(2,+∞) B. (-2,0) ∪(0,2) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D . (-∞,-2)∪(0,2)
15．已知定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数)(x f '在R 上恒有21)(<
'x f ，则不等式2
1
2)(+<x x f 的解集为（ ) A. ),1(+∞ B. )1,(-∞ C. )1,1(- D. )1,(-∞),1(+∞
16.已知函数()y f x =是定义在数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，
()()xf x f x '<-成立，若)3(3f a =,)3(lg )3(lg f b =,)41
(log )41(log 22f c =,则
,,a b c 的大小关系是（ ）
A. c a b >>
B. c b a >>
C. a b c >>
D. a c b >>
17.设函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈都有'()()f x f x >成立，则（ ） A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B. 3(ln 2)2(ln3)f f =
C. 3(ln 2)2(ln3)f f <
D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定
导数运算法则的应用试题参考答案
1.【答案】Ａ试题分析：设x x f x g )()(=，则2)
()()(x
x f x f x x g -'='， ∵'()()f x xf x <，∴0)(>'x g ，
即g （x ）在（0，+∞）上单调递增，
∴),2()1(g g <即)2()1(22)
2(1)1(f f f f <⇒<，故选：A ．
2.【答案】C
试题分析：由
ln '()2()x
xf x f x x
+=
知，
22()2()(())ln x f x xf x x f x x ''+==，故
2()
x f x =ln x x x c -+，所以
()f x =
2ln 1x c x x x -+，因为1()2f e e =，所以c=2e ，所以()f x =2ln 12x e
x x x
-+，所
以()f x ' =2231ln 1x e x x x -+-=3
2ln x x x e
x --，设()h x =2ln x x x e --，所以()h x '=1ln x -，
当0＜x ＜e 时，()h x '＞0，当x ＞e 时，()h x '＜0，则()h x 在（0，e ）是增函数，在（e ，+∞）上是减函数，所以当x e =时，()h x 取最大值()h e =0，所以当x ＞0时，()h x ≤0，即()f x '≤0，所以()f x 单调递减，故选C ． 3.【答案】A 试题分析：∵()f x 为(0,)上的单调递减函数，∴0f
x ，又
∵
'()
()
f x x f x ，
∴＞0⇔＜0⇔[]′＜0，
设h （x ）=，则h （x ）=为（0，+∞）上的单调递减函数，
∵＞x ＞0，f′（x ）＜0，∴f （x ）＜0．
∵h （x ）=为(0,)上的单调递减函数，
∴＞⇔＞0⇔2f （3）﹣3f （2）＞0⇔2f （3）＞
3f （2），故A 正确；由2f （3）＞3f （2）＞3f （4），可排除C ；同理可判断3f （4）＞4f （3），排除B ；1•f（2）＞2f （1），排除D ；故选A ． 4.【答案】A 试题分析：令()()3--=x x e x f e x g ，由于()()03100=--=f g ，
()()()x x x e x f e x f e x g -'+='
()()()01>-'+=x f x f e x 所用()x g 在R 上是增函数，()()0,0>∴>∴x g x g
5.【答案】C ．试题分析：由题意()
()
f x
g x 是奇函数，当0x <时，()()()()f x g x f x g x ''<时，
2
()()()()()0()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦
，则()
()f x g x 在(),0-∞上为减函数，在()0,+∞上也为减函数，又有(3)0f -=，则有
(3)(3)0,0(3)(3)f f g g -==-，可知()
0()
f x
g x <的解集为()3,0(3,)-⋃+∞.
6.【答案】C 试题分析：构造函数x e x f x g )()(=，则x e x f x f x g )()()(''
-=，因为
()()f x f x '>，所以0)('>x g ；即函数)(x g 在R 上为增函数，则
2009
2011)2009()2011(e
f e f >，即2
)2009()2011(e f f >. 7.【答案】D 【解析】
()()tan f x f x x '<⋅0cos sin )(cos )(0cos sin )()('
<'-⇔<⋅
-⇔x
x
x f x x f x x x f x f ，又因为0cos ),2,0(>∴∈x x π，从而有：0sin )(cos )(<'-x x f x x f ；构造函数,sin )
()(x
x f x F =
则)2,0(,0sin cos )(sin )()(2
π∈>-'=
'x x
x x f x x f x F ，从而有)(x F 在(0,)2π
上是增函数，所以有)3()6(ππF F <即：)3()6(33
sin )
3(6sin )6(ππππ
ππf f f f <⇒<
，故选Ｄ．
8.【答案】A 试题分析：∵f(x)在(0,)+∞上单调递减，∴'()0f x <,又∵x x f x f >')
()
(，∴f(x)<'()xf x ,令0)
()(')('g ,)()(g 2>-=∴=
x x f x xf x x x f x ，∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，∴g(2)>g(1),即2
)
2(f 3)3(f >
，即3f(2)<2f(3),A 正确． 9.【答案】A 【解析】构造函数g(x)＝e x ·f(x)－e x ，
因为g′(x)＝e x ·f(x)＋e x ·f′(x)－e x ＝e x [f(x)＋f′(x)]－e x >e x －e x ＝0， 所以g(x)＝e x ·f(x)－e x 为R 上的增函数． 又因为g(0)＝e 0·f(0)－e 0＝1， 所以原不等式转化为g(x)>g(0)， 解得x>0.故选A.
10.【答案】B 【解析】
()22
1
)(x x f x g -=,()()0>-'='x x f x g ,()()()()02=--+=-+x x f x f x g x g ,所
以
()
x g 既是增函数又是奇函数，
()()()()()()2222
1,22212221
22a a f a g a a a f a a f a g -=-+--=--
-=-,由已知,
得()()⇔≥-a g a g 21222≤⇒≥⇒≥-a a a a ,故选B.
11.【答案】C 【解析】
试题分析：构造函数()()x g x e f x =，则''()()()x x g x e f x e f x =+0<，∴()g x 在R 内单调递减，所以(a)g(0)g <，即：()(0)a e f a f <，∴()()
0a
f f a e
<
. 12.【答案】C 试题分析：构造函数()()36g x f x x =--，则()()30g x f x ''=->，所以函数()g x 是增函数，又()()1130g f -=--=，所以()0g x <的解集是
(),1-∞-，即()36f x x <+的解集是(),1-∞-.
13.【答案】A 试题分析：函数()f x 为定义在(,)-∞+∞上的可导函数，满足
()()f x f x '>，则函数为指数函数，可设函数()
()x
f x
g x e
=
，则导函数'''
22()()(()())()x x x x x
f x e f x e f x f x e
g x e e --==，因为()()f x f x '>，所以'
()0g x <，()g x 在(,)-∞+∞上为减函数，(2013)(2014)g g >，即
20132014
(2013)(2014)
f f e e
>，从而得20132014(2014)(2013)e f e f ⋅<⋅．
(2)()22f a f a a --≥-
14.【答案】D 试题分析：根据
2()()0xf x f x x '-<和构造的函数()
()f x g x x
=
在（0，+∞）上单调递减，又)(x f 是定义在R 上的奇函数，故)(x f 是定义在R 上单调递减. 因为f （2）=0，所以在（0，2）内恒有f （x ）＞0；在（2，+∞）
内恒有f （x ）＜0．又因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以在（-∞，-2）内恒有f （x ）＞0；在（-2，0）内恒有f （x ）＜0．又不等式x 2f （x ）＞0的解集，即不等式f （x ）＞0的解集．所以答案为（-∞，-2）∪（0，2）．
15．【答案】A 试题分析：212)(+<x x f 可化为02
1
2)(<--x x f ，令
212)()(--=x x f x g ，则21
)()(-'='x f x g ，
因为2
1
)(<'x f ，所以0)(<'x g 0，所以)(x g 在R 上单调递减，
当1>x 时，02
1
21)1()1()(=--=<f g x g ，即212)(+<x x f ．
所以不等式21
2)(+<x x f 的解集为),1(+∞．故选A ．
16.【答案】1
2试题分析：因为(,0)x ∈-∞时，()()xf x f x '<-，所以当(,0)
x ∈-∞时，()()0xf x f x '--<，又因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当
(,0)x ∈-∞时，
()()0xf x f x '+<，构造函数
()()g x xf x =，则
()()()0,(,0)g x xf x f x x ''=+<∈-∞，所以()g x 在(,0)-∞上是减函数，又()()g x g x -=，所以()g x 是R 上的偶函数，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，因
2lg 30>>>，所以(2)(lg 3)g g g >>，而21
(2)(2)(log )4
g g g =->，所以
有c a b >>，选A.
17.【答案】C 试题分析：令()()x f x g x e
=，则'''
2()()()()()x x x x
f x e f x e f x f x
g x e e --==，因为对任意x R ∈都有'()()0f x f x ->，所以'()0g x >，即()g x 在R 上单调递增，又ln 2ln3<，所以(ln 2)(ln3)g g <，即ln 2ln3
(ln 2)(ln 3)f f e e <，所以(ln 2)(ln 3)23
f f <，即3(ln 2)2(ln3)f f <，故选C ．。