专接本(成人大专)线性代数试卷

专接本（成人大专）
《线性代数（经管类）》试卷（期终试卷）
班级： 姓名： 学号： 成绩：
一、单项选择题：（20×2分=20分）
1．设行列式11
12
13
21222331
32
33
1a a a a a a a a a =，则11
1112
13
2121222331
3132
33
332332332a a a a a a a a a a a a ------=（ ）.
A. 6
B. -6
C. 18
D. -18 2. 设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ ）. A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
3. 设A 、B 均为n 阶方阵，则必有 （ ）.
A. A B A B +=+
B. AB BA =
C. AB BA =
D. T T AB A B =
4. 已知向量组123410000,1,0,20010αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
, 下列选项为该向量组的一
个极大无关组的是 （ ）.
A. 12,αα
B. 23,αα
C. 123,,ααα
D. 1234,,,αααα 5. 设A 是n m ⨯矩阵，齐次线性方程组Ax =0有非零解的充要条件是 （ ）. A. ()r A n = B. ()r A n < C. 0A = D. m n > 6. 设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ）. A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
7. 设3阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=λ2=0，λ3=2，则秩（A ）=（ ）. A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
8. 设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误的是（ ）. A. ||||A B = B.秩（A ）=秩（B ）
C. 存在可逆阵P ，使1
P AP B -= D. E A E B λλ-=- 9. 下列向量中与(1,1,1)α=-正交的向量是（ ）.
A. 1(1,1,1)α=
B. 2(1,1,1)α=-
C. 3(1,1,1)α=-
D. 4(0,1,1)α=- 10. 二次型正定的充要条件是为实对称阵)(A Ax x T =f ( ).
A. A 可逆
B.|A |>0
C. A 的特征值之和大于0
D. A 的特征值全部大于0 二、填空题（20×2分=20分）
11.设(1234)A =，12
34B ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则AB =_________________.
12. 矩阵A =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--1111的伴随矩阵A *
=______________. 13. 已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----→1)1(002120132
1a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为____________.
14.
设向量(T
b α=为单位向量，则数b =______________. 15. 设A 为5阶方阵，且r (A )=3，则由A 的列向量张成的线性空间的维数是______________.
16. ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=300041003A ，则 =--1)2(E A .
17. 若A 、B 为5阶方阵，且Ax =0只有零解，且r (B )=3，则r (AB )=_________________.
18. 二次型31212
32221321332),,(x x x x x x x x x x f -+-+=对应的对称矩阵是
____________________.
19. 已知1(1,0,1)T X =-, 2(3,4,5)T X =是3元非齐次线性方程组Ax =b 的两
个解向量，则对应齐次线性方程组Ax =0有一个非零解向量
ξ=__________________.
20. 已知A 有一个特征值-2,则2
2B A E =+必有一个特征值____________.
三、计算题（6×9分=54分）
21. 计算文字行列式ab
ac ae bd
cd de bf cf
ef
---.
22. 设100110111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111111B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，求矩阵X 使得AX B =.
23. 求非齐次线性方程组
123412341
234245373642748171121
x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪
-++=⎨⎪-++=⎩的通解.
24. 向量组123451122102151
,,,,2031311041ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.求:
(1) 该向量组的秩.
(2) 该向量组的一个极大无关组.
25. 求矩阵200021012A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
的所有特征值和最小的特征值对应的所有特征向量.
26. 求矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛------=080221
20111601152033B 的秩.
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27. 任给向量1234,,,αααα,证明12233441,,,αααααααα++++线性相关.
专接本（成人大专）
《线性代数（经管类）》试卷（期终试卷参考答案）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1-5 ADBCB 6-10 ABDDD 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
11. 30 12. 1111⎛⎫
⎪
--⎝⎭
13. 0 14. 0 15. 3 16. 1001/21/20001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 17. 3 18. 1
1/23/21/2203/203-⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪--⎝⎭
19. (2,4,6)T
或(2,4,6)T
--- （此题答案不唯一，是此向量的非零倍均可） 20. 8
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21. 111
1
114111
ab
ac ae b c e bd
cd
de adf b c e abcdef abcdef bf
cf
ef b c e ----=-=-=---
22. 1
X A B -=, (2分)
100111001111011010001111100100⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, (8分) 110000X ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
. (9分)
23. 245371211036427~245
37481711211213914----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
1分
12110~00
75700141014---⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
3分 2120175~001
170000
0-⎛
⎫- ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
6分 方程的解为：12243422/7110105/70010x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
9分 24. 1
122111221112
210215102151021
512031302151000001
1
0410022200222⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪---
⎪ ⎪ ⎪
→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪
⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1122102151002220
00
00⎛⎫
⎪- ⎪
→ ⎪
-- ⎪⎝⎭
, (6分)
该向量组的秩为3, (7分) 极大无关组为123,,ααα(或124,,ααα或125,,ααα). (9分)
25. 2000
2101
2A E λλλλ-⎛⎫
⎪-=- ⎪ ⎪-⎝
⎭
, (1)(2)(3)A E λλλλ-=----, (3 分)
特征值为1231,2,3λλλ===. (5 分) 最小特征值为1,
100100011011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, （7分） 123330
x x x x x ==-= 特征向量为01,0.1k k ⎛⎫
⎪
-≠ ⎪ ⎪⎝⎭
(9分)
26. 3
30251
102111
0211
10611
106100
042110213
302500
0422
20802
20
8000042B ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
--
⎪ ⎪ ⎪
=→
→
⎪ ⎪ ⎪
------ ⎪ ⎪
⎪
--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11021000420000000
00--⎛⎫
⎪ ⎪
→
⎪
⎪⎝⎭
(7分)
初等变换成行阶梯型后 有两行非零行，所以秩R(B)=2. （9分）
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27. 设112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=, (3分)
令12341,1,1,1k k k k ==-==-，则上式一定成立. (3分) 所以12233441,,,αααααααα++++线性相关.。