高中数学必修1复习题指数函数对数函数强化训练题及详细答案

高中数学必修1复习题：
指数函数与对数函数强化训练题及答案
一、选择题
1．已知x，y为正实数，则()
A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg y
C．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y
解析取特殊值即可．如取x＝10，y＝1,2lg x＋lg y＝2,2lg(xy)＝2,2lg x ＋2lg y＝3,2lg(x＋y)＝2lg11,2lg x·lg y＝1.
答案 D
2．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a>0，a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝()
B．2x－2
C．log1
x D．log2x
2
解析由题意知f(x)＝log a x，∵f(2)＝1，∴log a2＝1，
∴a＝2，∴f(x)＝log2x.
答案 D
3．已知f(x)＝log3x，则函数y＝f(x＋1)在区间[2,8]上的最大值与最小值分别为()
A．2与1 B．3与1
C．9与3 D．8与3
解析由f(x)＝log3x，知f(x＋1)＝log3(x＋1)，
又2≤x≤8，∴3≤x＋1≤9.
故1≤log 3(x ＋1)≤2. 答案 A
4．下列说法正确的是( ) A ．>
B ．>
C ．<⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12 D
．解析 ∵＝,＝，又y ＝3x 在(－
∞，＋∞)上单调递增，∴>.
答案 B
5．设函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)．若f (x 1x 2…x 2014)＝8，则f (x 21)
＋f (x 22)＋…＋f (x 2
2014)的值等于( )
A ．4
B ．8
C ．16
D ．2log a 8
解析 f (x 21)＋f (x 2
2)＋…＋f (x 22014) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22014
＝log a (x 1x 2…x 2014)2
＝2log a (x 1x 2…x 2014)＝2×8＝16. 答案 C
6．(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)等于( )
D ．以上都不对
解析 (log 43＋log 83)(log 32＋log 98) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23⎝
⎛⎭⎪⎫log 3
2＋32log 32
＝2512. 答案 B
7．若f (x )＝log 2x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域为( ) B ．[1,2]
解析 由－1≤log 2x ≤1，得1
2≤x ≤2. 答案 C
8．函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )
A ．e x ＋1
B ．e x －1
C ．e －x ＋1
D ．e －x －1
解析 与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x
的图像向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图像，即f (x )＝e －(x
＋1)＝e －x －1.
答案 D
9．若f (x )＝2x ＋2－x lg a 是奇函数，则实数a ＝( )
解析 ∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，∴20＋20·lg a ＝0， ∴lg a ＝－1，∴a ＝1
10. 答案 D
10．某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为万公顷， 万公顷和万公顷，则沙漠增加数y 公顷关于年数x 的函数关系较为近似的是( )
A ．y ＝
B ．y ＝110(x 2
＋2x ) C ．y ＝2x
10 D ．y ＝＋log 16x
解析 逐个检验． 答案 C 二、填空题
11．函数y ＝a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图像必经过点________． 答案 (2,2)
12．函数y ＝lg (4－x )
x －3的定义域是________．
解析
由⎩⎨
⎧
4－x >0，x －3≠0，
得⎩⎨
⎧
x <4，x ≠3，
∴定义域为{x |x <3或3<x <4}． 答案 {x |x <3或3<x <4}
13．函数f (x )＝⎩⎨
⎧
x 2＋12 (x <0)，
e x －
1 (x ≥0)，
若f (1)＋f (a )＝2，则a ＝
________.
答案 1或－2
2
14．y ＝(x 2－2x )的单调减区间为________． 解析 写单调区间注意函数的定义域．
答案 (2，＋∞)
15．若函数f (x )＝⎩⎨⎧
a x ，(x >1)，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4－a 2x ＋2，(x ≤1)为R 上的增函数，则实数a 的取值范围是________．
解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a >1，4－a 2
>0，
a ≥4－a 2＋2，
得4≤a <8.
答案 [4,8) 三、解答题
16．(12分)计算下列各式 (1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫279＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫21027 1
3
－2π0；
(3)(lg5)2
＋lg2lg5＋lg20－4
(－4)2
·6125＋2⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋ 12
log 25.
解 (1)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25 ＝(lg2)2＋lg2(lg2＋2lg5)＋2lg5 ＝2(lg2)2＋2lg2lg5＋2lg5 ＝2lg2(lg2＋lg5)＋2lg5＝2.
(2)原式＝⎝
⎛⎭
⎪⎫259
12
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫6427 1
3 －2
＝53＋4
3－2＝3－2＝1.
(3)原式＝lg5(lg5＋lg2)＋lg20－25＋2 5 ＝lg5＋lg2＋1＝2.
17．(12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中a >0，a ≠1，设h (x )＝f (x )－g (x )．
(1)判断h (x )的奇偶性，并说明理由； (2)若f (3)＝2，求使h (x )>0成立的x 的集合． 解
(1)依题意，得⎩⎨
⎧
1＋x >0，
1－x >0，
解得－1<x <1.
∴函数h (x )的定义域为(－1,1)． ∵对任意的x ∈(－1,1)，－x ∈(－1,1)，
h (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝g (x )－f (x )＝－h (x )，
∴h (x )是奇函数． (2)由f (3)＝2，得a ＝2.
此时h (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， 由h (x )>0，即log 2(1＋x )－log 2(1－x )>0， 得log 2(1＋x )>log 2(1－x )． 则1＋x >1－x >0，解得0<x <1.
故使h (x )>0成立的x 的集合是{x |0<x <1}．
18．(12分)已知0<a <1，函数f (x )＝log a (6ax 2
－2x ＋3)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，2上
单调递增，求a 的取值范围．
解 由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
16a ≥2，
6a ×22－2×2＋3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤112，
a >124，
得124<a ≤1
12，
故a 的取值范围是124<a ≤1
12.
19．(12分)已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 14x x 2
－log 14
x ＋5，A ＝{x |2x 2－6x
＋8≤1}，当x ∈A 时，求f (x )的最值．
解 由2x 2－6x ＋8≤1
由二次函数y ＝x 2－6x ＋8的图像可知2≤x ≤4. 设log 14
x ＝t ，∵2≤x ≤4，
∴－1≤log 14
x ≤－12，即－1≤t ≤－1
2.
∴f (x )＝t 2－t ＋5对称轴为t ＝1
2， ∴f (x )＝t 2－t ＋5在⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤－1，－12单调递减，
故f (x )max ＝1＋1＋5＝7，
f (x )min ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122＋12＋5＝23
4.
综上得f (x )的最小值为23
4，最大值为7.
20．(13分)已知函数f (x )＝a x ＋k (a ＞0，且a ≠1)的图像过(－1,1)
点，其反函数f －1(x )的图像过点(8,2)．
(1)求a ，k 的值；
(2)若将其反函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，就得到函数y ＝g (x )的图像，写出y ＝g (x )的解析式；
(3)若g (x )≥3m －1在[2，＋∞)恒成立，求实数m 的取值范围． 解
(1)由题意得⎩⎨
⎧
a －1＋k ＝1，
a 2＋k ＝8.
解得⎩⎨
⎧
a ＝2，k ＝1.
(2)由(1)知f (x )＝2x ＋1，得
f －1(x )＝lo
g 2x －1，将f －1(x )的图像向左平移2个单位，得到y ＝log 2(x ＋2)－1，再向上平移到1个单位，得到y ＝g (x )＝log 2(x ＋2)．
(3)由g (x )≥3m －1在[2，＋∞)恒成立， 只需g (x )min ≥3m －1即可． 而g (x )min ＝log 2(2＋2)＝2， 即2≥3m －1，得m ≤1.
21．(14分)有时可用函数f (x )＝错误!描述学习某科知识的掌握程度．其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N ＋)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．
(1)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(100,106]，(106,112]，(112,123]，当学习某学科知识4次时，掌握程度为70%，请确定相应的学科；
(2)证明：当x ≥7时，掌握程度的增大量f (x ＋1)－f (x )总是下降．(参考数据＝
解(1)由题意可知＋15ln
a
a－4
＝，整理得
a
a－4
＝，得a＝104∈
(100,106]，由此可知，该学科是甲学科．
(2)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝错误!，
而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增；
且(x－3)(x－4)>0.
故f(x＋1)－f(x)单调递减，
∴当x≥7时，掌握程度的增大量f(x＋1)－f(x)总是下降．。