数学人教A版选修2-3教学设计：1.2.2组合 Word版含解析

教学设计
1．2.2组合
整体设计
教材分析
排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序．教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通．
学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列．在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题．排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述．也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程．据笔者观察，有些同学之所以在学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法)．要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题．久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高．
课时分配
3课时
第一课时
教学目标
知识与技能
理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合．明确组合与排列的联系与区别，能
判断一个问题是排列问题还是组合问题．
过程与方法
通过具体实例，体会组合数的意义，总结排列数A m n与组合数C m n之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．
情感、态度与价值观
能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．
重点难点
教学重点：组合的概念和组合数公式．
教学难点：组合的概念和组合数公式．
教学过程
引入新课
提出问题1：回顾分类加法计数原理和分步乘法计数原理，排列的概念和排列数公式．活动设计：教师提问．
活动成果：
1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．
3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．
5．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)．
6．阶乘：n！表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘．规定0！＝1.
7．排列数的另一个计算公式：A m n＝n！
(n－m)！
.
设计意图：检查学生的掌握情况，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：分析下列两个问题是不是排列问题，为什么？
问题(1)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题(2)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
活动设计：学生自己分析，教师提问．
活动成果：问题(1)中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而问题(2)只要求选出2名同学，是与顺序无关的，不是排列．我们把这样的问题称为组合问题．设计意图：引导学生通过具体实例找出排列与组合问题的不同，引出组合的概念．
探索新知
提出问题1：结合上述问题(2)，试总结组合和组合数的概念．
活动设计：学生小组讨论，总结概念．
活动成果：
1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号C m n表示．
设计意图：培养学生的类比和概括能力．
理解新知
提出问题1：判断下列问题是组合问题还是排列问题？
(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？
(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)10个人互相通信一次，共写了多少封信？
(5)10个人互通电话一次，共打了多少个电话？
活动设计：小组交流，共同分析．
活动成果：(1)(3)(4)是排列；(2)(5)是组合．
设计意图：通过具体实例比较排列和组合，加深对组合的理解．
提出问题2：试找出排列和组合的区别和联系．
活动设计：小组交流，教师提问，学生补充．
活动成果：
1．区别：(1)排列有顺序，组合无顺序．(2)相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．
2．联系：(1)都是从n 个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；
(2)排列可以看成先组合再全排列．
设计意图：加深对排列组合的理解，为推导组合数公式奠定基础．
提出问题2：你能类比排列数的推导过程和排列与组合的联系推导出从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数C 34是多少吗？
活动设计：小组交流，共同推导．
活动成果：
由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数A 34可以求得，
故我们可以考察一下C 34和A 34的关系，如下：
组合 排列
abc→abc ，bac ，cab ，acb ，bca ，cba
abd→abd ，bad ，dab ，adb ，bda ，dba
acd→acd ，cad ，dac ，adc ，cda ，dca
bcd→bcd ，cbd ，dbc ，bdc ，cdb ，dcb
由此可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A 34，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共
有C 34个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A 33种方法．由分步乘法计数原
理得：A 34＝C 34·A 33，所以，C 34＝A 34A 33
. 设计意图：从具体实例出发，探索组合数的求法．
提出问题3：你能想出求C m n 的方法吗？
活动设计：小组交流，共同推导．
活动成果：
一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数C m n ，可以分如下两步：
①先求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数A m n ；
②求每一个组合中m 个元素的全排列数A m m ，根据分步乘法计数原理得：A m n ＝C m n ·A m m
. 得到组合数的公式：
C m n ＝A m n A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！
或C m n ＝n ！m ！(n －m)！
(n ，m ∈N ，且m≤n)． 规定：C 0n ＝1.
设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出组合数公式．
运用新知
类型一：组合数公式的应用
1计算：(1)C 47； (2)C 710.
解：(1)C 47＝7×6×5×44！
＝35； (2)解法1：C 710＝10×9×8×7×6×5×47！＝120. 解法2：C 710＝10！7！3！＝10×9×83！＝120. 【巩固练习】
求证：C m n ＝m ＋1n －m ·C m ＋1n
. 证明：∵C m n ＝n ！m ！(n －m)！
， m ＋1n －m ·C m ＋1n ＝m ＋1n －m ·n ！(m ＋1)！(n －m －1)！＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m)(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m)！
， ∴C m n ＝m ＋1n －m ·C m ＋1n
. 【变练演编】
设x ∈N *，求C x －12x －3＋C 2x －
3x ＋1的值． 解：由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧
2x －3≥x －1，x ＋1≥2x －3，解得2≤x≤4， ∵x ∈N *，∴x ＝2或x ＝3或x ＝4.
当x ＝2时原式的值为4；当x ＝3时原式的值为7；当x ＝4时原式的值为11.
∴所求的值为4或7或11.
类型二：简单的组合问题
例2一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
思路分析：对于(1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于(2)，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．
解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C 1117＝12 376.
(2)教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C 1117种选法；
第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C 111种选法．
所以教练员做这件事情的方式种数为
C 1117×C 111
＝136 136. 【巩固练习】
(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
解：(1)以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段条数为
C 210＝10×91×2
＝45. (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为
A 210＝10×
9＝90. 【变练演编】
(1)凸五边形有多少条对角线？
(2)凸n(n>3)边形有多少条对角线？
解答：(1)凸五边形的五个顶点中，任意两个顶点的连线是凸五边形的一条对角线或是一条边，所以，凸五边形的对角线条数为C 25－5＝5.
(2)凸n 边形的n 个顶点中，任意两个顶点的连线是凸n 边形的一条对角线或是一条边，
所以，凸n 边形的对角线条数为C 2n －n ＝n(n －3)2
. 【达标检测】
1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：
(1)从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？
(2)从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？
2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为()
A．42B．21C．7D．6
3．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有() A．15对B．25对C．30对D．20对
答案：1.(1)是组合问题(2)是排列问题 2.B 3.A
课堂小结
1．知识收获：组合概念、组合数公式．
2．方法收获：化归．
3．思维收获：分类讨论、化归思想．
补充练习
【基础练习】
1．A，B，C，D，E 5个足球队进行单循环比赛，(1)共需比赛多少场？(2)若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？
2．空间有10个点，其中任何4点不共面，
(1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？
(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？
3．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？
4．写出从a，b，c，d，e这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合．
答案：1.(1)10(2)20 2.(1)C310＝120(2)C410＝210 3.C14＋C24＋C34＋C44＝24－1＝15.
4．a，b，c，d a，b，c，e a，b，d，e a，c，d，e b，c，d，e.
【拓展练习】
5．第19届世界杯足球赛于2010年夏季在南非举办，共32支球队有幸参加，他们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？
解：可分为如下几类比赛：
(1)小组循环赛：每组有C24＝6场，8个小组共有48场；
(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；
(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；
(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；
(5)决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场．
综上，共有8C24＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．
设计说明
本节课是组合的第一课时，主要目标是学习组合的概念，探究组合数公式，并利用组合数公式解决简单的计数问题．主要特点是：类比排列数公式的推导方法，抓住排列和组合的区别和联系，利用排列数公式推导出组合数公式．本节课的设计充分体现教师所提问题的主导作用和学生根据问题自主探究的主体地位，学生在与教师和与同学的思维碰撞中自主学习、自主探究．
备课资料
在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合．
有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？
误解：因为是8个小球的全排列，所以共有A88种方法．
错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法．
正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题．这样共有：C38＝56种排法．
(设计者：殷贺)
第二课时
教学目标
知识与技能
了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为
组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题．
过程与方法
通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程．
情感、态度与价值观
能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．
重点难点
教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题．
教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题．
教学过程
引入新课
提出问题1：判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系．
(1)从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；
(2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．
活动设计：教师提问．
活动成果：(1)是组合问题，(2)是排列问题．
1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合与排列的区别和联系：
(1)区别：①排列有顺序，组合无顺序．②相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．
(2)联系：①都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；②排列可以看成先组合再全排列．
设计意图：复习组合的概念，检查学生的掌握情况．
提出问题2：利用上节课所学组合数公式，完成下列两个练习：
练习1：求证：C m n＝n
m C
m－1
n－1
.(本式也可变形为：mC m n＝nC m－1
n－1
)
练习2：计算：①C310和C710；②C37－C26与C36；③C411＋C511. 活动设计：学生板演．
活动成果：练习2答案：①120,120②20,20③792.
1．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C m n 表示．
2．组合数的公式：
C m n ＝A m n A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！
或C m n ＝n ！m ！(n －m)！
(n ，m ∈N ，且m≤n)． 设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础．
探索新知
提出问题1：由问题2练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？
活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充．
活动成果：
1．性质：(1)C m n ＝C n －m n ；(2)C m n ＋1＝C m n ＋C m －
1n . 2．证明：(1)∵C n －m n ＝n ！(n －m)！[n －(n －m)]！＝n ！m ！(n －m)！
， 又C m n ＝n ！m ！(n －m)！，∴C m n ＝C n －m n . (2)C m n ＋C m －1n ＝n ！m ！(n －m)！＋n ！(m －1)！[n －(m －1)]！＝n ！(n －m ＋1)＋n ！m m ！(n －m ＋1)！
＝(n －m ＋1＋m)n ！m ！(n －m ＋1)！＝(n ＋1)！m ！(n －m ＋1)！
＝C m n ＋1， ∴C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n
. 设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质．
运用新知
类型一：组合数的性质
1(1)计算：C 37＋C 47＋C 58＋C 69；
(2)求证：C n m ＋2＝C n m ＋2C n －1m ＋C n －
2m .
(1)解：原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210；
(2)证明：右边＝(C n m ＋C n －1m )＋(C n －1m ＋C n －2m )＝C n m ＋1＋C n －1m ＋1＝C n m ＋2＝左边． 【巩固练习】
求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n ＝n2
n －1. 证明：左边＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n ＝C 11C 1n ＋C 12C 2n ＋C 13C 3n ＋…＋C 1n C n n
， 其中C 1i C i n 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选一个的组合数．设某班有n
个同学，选出若干人(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长．把这种选法按取到的人数i 分类(i ＝1,2，…，n)，则选法总数即为原式左边．现换一种选法，先选组长，有n 种选法，再决定剩下的n －1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n
－1种，所以选法总数为n2n －1种．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．
【变练演编】
求证：C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C n n ＝n(n ＋1)2
n －
2. 证明：由于i 2C i n ＝C 1i C 1i C i n 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选两个(可重复)的组合数，所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上，再指定一人为副组长(可兼职)的组合数．对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况．若组长和副组长是同一个人，则有n2n
－1种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有n(n －1)2n －2种选法．∴共有n2n －1＋n(n －1)2n －2＝n(n ＋1)2n
－2种选法．显然，两种选法是一致的，故左
边＝右边，等式成立．
类型二：有约束条件的组合问题 2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．
(1)有多少种不同的抽法？
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有
C 3100＝100×99×981×2×3
＝161 700种． (2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C 12种，
从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C 298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有
C 12×C 298＝9 506种．
(3)解法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C 12×C 298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有
C 12×C 298＋C 22×C 198
＝9 604种． 解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即
C 3100－C 398
＝161 700－152 096＝9 604种．
点评：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解．
【巩固练习】
1．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C34，C24×C16，C14×C26种方法，
所以，一共有C34＋C24×C16＋C14×C26＝100种方法．
解法二：(间接法)C310－C36＝100.
2．按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
(1)甲、乙、丙三人必须当选；
(2)甲、乙、丙三人不能当选；
(3)甲必须当选，乙、丙不能当选；
(4)甲、乙、丙三人只有一人当选；
(5)甲、乙、丙三人至多2人当选；
(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；
解：(1)C33C29＝36；(2)C03C59＝126；(3)C11C49＝126；(4)C13C49＝378；
(5)方法一：(直接法)C03C59＋C13C49＋C23C39＝756，
方法二：(间接法)C512－C33C29＝756；
(6)方法一：(直接法)C13C49＋C23C39＋C33C29＝666，
方法二：(间接法)C512－C03C59＝666.
【变练演编】
有翻译人员11名，其中5名精通英语、4名精通法语，还有2名英、法语皆通．现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？
解：分三类：
第一类：2名英、法语皆通的均不选，有C45C44＝5种；
第二类：2名英、法语皆通的选一名，有C12C35C44＋C12C45C34＝60种；
第三类：2名英、法语皆通的均选，有A22C35C34＋C25C44＋C45C24＝120种．
根据分类加法计数原理，共有5＋60＋120＝185种不同的名单．
【达标检测】
1．计算：(1)C399＋C299；(2)2C38－C39＋C28.
2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为________．
3．从7人中选出3人参加活动，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有______种．答案：1.(1)161 700(2)56 2.9 3.30
课堂小结
1．知识收获：组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题．
2．方法收获：化归的思想方法．
3．思维收获：化归的思想方法．
补充练习
【基础练习】
1．求证：(1)C m n＋1＝C m－1
n ＋C m n－1＋C m－1
n－1
；(2)C m＋1
n
＋C m－1
n
＋2C m n＝C m＋1
n＋2
.
2．某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有______．3．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．
(1)都不是次品的取法有多少种？
(2)至少有1件次品的取法有多少种？
(3)不都是次品的取法有多少种？
4．从编号为1,2,3，…，10,11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？
答案或解答：2.C38＝56；
3．解：(1)C490＝2 555 190；
(2)C4100－C490＝C110C390＋C210C290＋C310C190＋C410＝1 366 035；
(3)C4100－C410＝C190C310＋C290C210＋C390C110＋C490＝3 921 015.
4．解：分为三类：1奇4偶有C16C45；3奇2偶有C36C25；5奇有C56，所以一共有C16C45＋C36C25＋C56＝236种不同的取法．
【拓展练习】
现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
解：我们可以分为三类：
①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C24C23；
②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C34C13；
③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C34C23.
所以一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42种方法．
设计说明
本节课是组合的第二课时，本节课的主要目标有两个，一个是学生在教师的问题驱动下自主探究组合数的性质，并在老师的带领下，体会组合数公式的应用；另一个是体会把具体计数问题化归为组合问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．
备课资料
相同元素分组分配问题
解决方法：档板法．
(1)参加联赛的10个名额要分配到高三年级的8个班级中，则每个班级至少一个名额的分配方法有______种；
(2)10个相同的小球全部放入编号为1、2、3的盒子中，则使每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数的方法有______种．
解析：利用档板法．
(1)相当于在排成一排的10个“1”所形成的9个空隙中，选出7个插入7块档板的方法，每一种插板方法对应一种名额分配方法，有C79种方法；
(2)可以首先在2、3号盒子中先分别放入1、2个球，然后在剩余的7个球排成一排形成的6个空隙中选出2个空隙各插入一块板，有C26种方法．
注：档板法的使用比较灵活，且对数学思想方法要求较高，现利用档板法证明一个不定方程的自然数解的组数的结论：方程x1＋x2＋…＋x m＝n(m，n∈N，m，n≥2)的自然数解有组．
C m－1
n＋m－1
简证：转化为正整数解的组数，利用档板模型有：作代换y i＝x i＋1(i＝1,2，…，m)，则方程x1＋x2＋…＋x m＝n的自然数解的组数，即y1＋y2＋…＋y m＝n＋m的正整数解的组数，相当于把n＋m个球分成m份，每份至少1个的方法数，即在n＋m－1个球的间隙中放置m－1个档板的方法种数，即C m－1
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n＋m－1
(设计者：殷贺)
第三课时
教学目标
知识与技能
理解排列组合的区别和联系，综合运用排列组合解决计数问题．
过程与方法
通过具体实例，经历把具体事例抽象为排列组合问题，利用排列、组合数公式求解的过程．
情感、态度与价值观
能运用排列组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．
重点难点
教学重点：综合运用排列组合解决计数问题．
教学难点：综合运用排列组合解决计数问题．
教学过程
复习回顾
提出问题1：判断下列问题是组合问题还是排列问题？并求出下列问题的解．
(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？
(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)10个人互相通信一次，共写了多少封信？
(5)10个人互通电话一次，共打了多少个电话？
活动设计：学生自主完成，教师提问．
活动成果：(1)(3)(4)是排列；(2)(5)是组合．
(1)A23＝6；(2)C211＝55；(3)A323＝10 626；(4)A210＝90；(5)C210＝45.
1．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)．
A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！
(n－m)！＝
A n n
A n－m
n－m
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3．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．。