高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第11节 导数在研究函数中的应用(第1课时)课件 理

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【重要结论】 1．若函数 f(x)的图象连续不断，则 f(x)在[a，b]内一定有最值． 2．若函数 f(x)在[a，b]内是单调函数，则 f(x)一定在区间端点处取得 最值． 3．若函数 f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定 是函数的最值．
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【教材导读】 1．若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)>0 吗？f′(x)>0 是否是 f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 提示：函数 f(x)在(a，b)内单调递增，则 f′(x)≥0，f′(x)>0 是 f(x)在(a， b)内单调递增的充分不必要条件．
5．给出下列命题： ①f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充要条件． ②函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的． ③函数的极大值不一定比极小值大． ④对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0 点为极值点的充要条件． ⑤函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
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2．函数 f(x)＝3x2＋ln x－2x 的极值点的个数是( )
(A)0
(B)1
(C)2
(D)无数个
A 解析：f′(x)＝6x＋1x－2＝6x2－x2x＋1，由 f′(x)＝0 得 6x2－2x＋1＝0，
方程无解，因此函数无极值点．
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3．(2017 全国卷)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1 的极值点，则
f(x)的极小值为( )
(A)－1
(B)－2e－3
(C)5e－3
(D)1
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A 解析：因为 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以 f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－ 1)ex－1 的极值点，所以－2 是 x2＋(a＋2)x＋a－1＝0 的根，所在 a＝－1，f′(x) ＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令 f′(x)＞0，解得 x＜－2 或 x＞1，令 f′(x) ＜0，解得－2＜x＜1，所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单 调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当 x＝1 时，f(x)取得极小值，且 f(x) 极小值＝f(1)＝－1，选择 A.
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解：(1)依题意得 g(x)＝ln x＋ax2＋bx， 则 g′(x)＝1x＋2ax＋b. 由函数 g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于 x 轴得：g′(1)＝1＋ 2a＋b＝0，∴b＝－2a－1. (2)由(1)得 g′(x)＝2ax2－（2ax＋1）x＋1＝（2ax－1）x （x－1）. ∵函数 g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴当 a＝0 时，g′(x)＝－x－x 1. 由 g′(x)＞0 得 0＜x＜1，由 g′(x)＜0 得 x＞1，即函数 g(x)在(0,1)上 单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
第二篇 函数、导数及其应用
(必修(bìxiū)1、选修2-2)
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第 11 节 导数在研究函数中的应用
最新考纲
1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求
函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极 大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、 最小值(其中多项式函数不超过三次)． 3.会用导数解决实际问题.
(1)确定 a 的值； (2)若 g(x)＝f(x)ex，讨论 g(x)的单调性．
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解析：(1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x. 因为 f(x)在 x＝－43处取得极值， 所以 f′－43＝3a×196＋2×－43＝163a－83＝0， 解得 a＝12.经检验满足题意．
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(2)由(1)知 g(x)＝12x3＋x2ex， 所以 g′(x)＝32x2＋2xex＋12x3＋x2ex ＝12x3＋52x2＋2xex ＝12x(x＋1)(x＋4)ex. 令 g′(x)＝0，解得 x＝0，x＝－1 或 x＝－4. 当 x＜－4 时，g′(x)＜0，故 g(x)为减函数；
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2．f′(x0)＝0 是可导函数 f(x)在 x＝x0 处取极值的什么条件？ 提示：必要不充分条件，因为当 f′(x0)＝0 且 x0 左右两端的导数符号变 化时，才能说 f(x)在 x＝x0 处取得极值．反过来，如果可导函数 f(x)在 x＝ x0 处取极值，第二十七页，共四十九页。
当－4＜x＜－1 时，g′(x)＞0，故 g(x)为增函数； 当－1＜x＜0 时，g′(x)＜0，故 g(x)为减函数； 当 x＞0 时，g′(x)＞0，故 g(x)为增函数； 综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0， ＋∞)内为增函数．
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第一课时(kèshí) 利用导数研究函数的单调性
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考点一 判断或证明函数的单调性
已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中 g(x)的 函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于 x 轴．
(1)确定 a 与 b 的关系； (2)若 a≥0，试讨论函数 g(x)的单调性．
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3．函数的最值与导数 求函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤： (1)求 y＝f(x)在(a，b)内的__极__值_(_jí_zh；í) (2)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中 __最__大___的一个为最大值，___最__小____的一个为最小值．
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当 a＞0 时，令 g′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝21a，若21a＜1，即 a＞12，由 g′(x) ＞0 得 x＞1 或 0＜x＜21a，由 g′(x)＜0 得21a＜x＜1，即函数 g(x)在0，21a， (1，＋∞)上单调递增，在21a，1上单调递减；
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2．函数的极值与导数 (1)函数极小值的概念 ①函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的 函数值都小；
②f′(a)＝0；
③在点 x＝a 附近的左侧__f_′(_x_)<_0___，右侧__f_′(_x_)>__0__； 则点 a 叫做函数 y＝f(x)的__极__小__值__点____，f(a)叫做函数 y＝f(x)的
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4．利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写 出相应的函数关系式 y＝f(x)并确定定义域； (2)求导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； (3)判断使 f′(x)＝0 的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．
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___极_小__值_____．
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(2)函数极大值的概念 ①函数 y＝f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的 函数值都大；
②f′(b)＝0； ③在点 x＝b 附近的左侧__f′_(_x)_>_0___，右侧___f′_(_x)_<_0___； 则点 b 叫做函数 y＝f(x)的_极__大__值__点____，f(b)叫做函数 y＝f(x)的 __极__大__值___；极小值点与极大值点统称为__极__值__(_jí_zh_í)_点，极小值与极大值统 称为___极__点__(jí_di_ǎn．)
若21a＞1，即 0＜a＜12，由 g′(x)＞0 得 x＞21a或 0＜x＜1，由 g′(x)＜0 得 1＜x＜21a，即函数 g(x)在(0,1)，21a，＋∞上单调递增，在1，21a上 单调递减；
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若21a＝1，即 a＝12，在(0，＋∞)上恒有 g′(x)≥0，即函数 g(x)在(0， ＋∞)上单调递增．综上可得：当 a＝0 时，函数 g(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减；
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④错误．对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 只是 x0 点为极值点的必要条件， 如 y＝x3 在 x＝0 时 f′(0)＝0，而函数在 R 上为增函数，所以 0 不是极值点．
⑤正确．当函数仅在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值． 答案：③⑤
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1．函数的单调性与导数 (1)函数 y＝f(x)在某个区间内可导 ①若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内__单__调_(_dā_n_di_ào_)递_；增 ②若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内_单__调__(d_ā_nd_ià_o)_递_；减 ③如果在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)为常函数． (2)单调性的应用 若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则 f′(x)≥0，f′(x)≤0(f′(x)不恒等于 0) 在(a，b)上恒成立．
【反思归纳】 导数法证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)求 f′(x)； (2)确定 f′(x)在(a，b)内的符号； (3)作出结论：f′(x)>0 时为增函数；f′(x)<0 时为减函数．
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【即时训练】 (2015 高考重庆卷)已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在 x ＝－43处取得极值．
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4．已知 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则 a 的最大值是________． 解析：f′(x)＝3x2－a≥0 在[1，＋∞)上恒成立， 即 a≤3x2 在[1，＋∞)上恒成立，所以 a≤3. 答案：3
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解析：①错误．f′(x)>0 能推出 f(x)为增函数，反之不一定．如函数 f(x) ＝x3 在(－∞，＋∞)上单调递增，
但 f′(x)≥0. 所以 f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件． ②错误．一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个． ③正确．一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极大值可 能比极小值大，也可能比极小值小，还可能与极小值相等．
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1．函数 f(x)＝3＋xln x 的单调递减区间是( )
(A)1e，e
(B)0，1e
(C)－∞，1e
(D)1e，＋∞
B 解析：f′(x)＝ln x＋x·1x＝ln x＋1，令 f′(x)＝ln x＋1<0 得 0<x<1e.
所以函数 f(x)的单调递减区间为 0，1e.
当 0＜a＜12时，函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在1，21a上单调递减， 在21a，＋∞上单调递增；
当 a＝12时，函数 g(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a＞12时，函数 g(x)在0，21a上单调递增，在21a，1上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增．
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