高中数学对数与对数运算教案(一)新课标 人教版 必修1(B)

对数与对数运算（一）
三维目标
一、知识与技能
1.理解对数的概念.
2.理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.
3.了解自然对数和常用对数的概念以及对数恒等式.
二、过程与方法
1.通过探究对数的概念以及对数式和指数式之间的关系，明确数学概念的严谨性和科学性，感受化归的数学思想，使学生能用相互转化的观点辩证地看问题.
2.通过计算器或计算机的演示，使学生加深对“N ＞0”的理解，培养学生数学地分析问题的意识.
3.通过探究、思考、反思、完善，培养学生理性思维能力.
三、情感态度与价值观
1.通过具体实例引出对数的概念，使学生感受到数学源于实际生活，激发学生的学习兴趣.
2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对数概念理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.
3.通过指导学生阅读“对数的发展史”不断了解数学、走进数学，增强学生的数学素养.
教学重点
1.对数式和指数式之间的关系.
2.对数的概念以及对数式和指数式的相互转化.
教学难点
对数概念的理解以及对数符号的理解.
教具准备
多媒体课件、投影仪、计算器或计算机、打印好的作业.
教学过程
一、创设情景，引入新课
（多媒体投影我国人口增长情况分析图，并显示如下材料）
截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）
师：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则y =13×1.01x .我们能从这个关系式中算出任意一个年头x 的人口总数.反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿……”该如何解决？
（生思考，师组织学生讨论得出）
由y =1.01x 的图象可求出当y =
1318、1320、1330时，相应的x 的值，实际上就是从1.01x =1318，1.01x =1320，1.01x =13
30……中分别求出x . 师：根据指数的有关知识，在关系式1.01x =
1318中，要我们求解的量在什么位置？ 生：在等式左边的指数位置上.
师：那么，要求x 的值，也就是让我们求指数式中的哪一个量？
生：求指数x .
师：这样，就出现了与前面学习指数时不同的一类问题——已知指数式的底数和幂值，求指数式的指数，这就是我们本节课所要研究的对数问题.
（引入新课，书写课题——对数）
二、讲解新课
（一）介绍对数的概念
合作探究：若1.01x =1318，则x 称作是以1.01为底的13
18的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？ （生合作探究，师适时归纳总结，引出对数的定义并板书）
一般地，如果a x =N （a ＞0，且a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
合作探究：根据对数的概念写出几个对数式，同桌之间互相检查写法是否正确.
师：你如何理解“log ”和log a N ？
（生探讨，得出如下结论）
知识拓展：符号“log ”与“+，”等符号一样表示一种运算，log a N 是一个整体，表示以a 为底N 的对数，不表示log 、a 、N 三者的乘积.读作以a 为底N 的对数，注意a 应写在右下方.
（二）概念理解
合作探究：对数和指数幂之间有何关系？
（生交流探讨得出如下结论）
说明：括号内属填空、选择的题目.
合作探究：是不是所有的实数都有对数呢？在对数式log a N =b 中，真数N 可以取哪些值？为什么？ （生讨论，结合指数式加以解释）
∵在指数式中幂N =a b ＞0，∴在对数式中，真数N ＞0.
（师借助计算器或计算机进行示范）可以发现真数为负数时，计算器会提示出错信息.
师：条件N ＞0说明了什么？
生：负数与零没有对数.
合作探究：根据对数的定义以及对数式和指数式的关系，试求log a 1和log a a （a ＞0，且a ≠1）的值. （生根据对数式和指数式之间的关系，得出如下结论）
∵对任意a ＞0且a ≠1，都有a 0=1，
∴log a 1=0.
同样，∵对任意a ＞0且a ≠1，都有a 1=a ，∴log a a =1.
合作探究：a N a log =N 、log a a b =b 是否成立？
（师生共同讨论，给出如下解释）
（1）设a N a log =x ，则log a N =log a x ，所以x =N ，即a N
a log =N .
（2）∵a b =a b ，∴log a a b =b （对数恒等式）.
师：对数运算在研究科学和了解自然中起了巨大的作用，其中有两类对数贡献最大，它们就是自然对数和常用对数.
（师指导学生阅读课本第57页常用对数和自然对数的概念和记法，然后板书）
（三）常用对数
通常将以10为底的对数称为常用对数，如log 102、log 1012等，并把对数log 10N 简记为lg N ，如lg2、lg12等.
（四）自然对数
在科学技术中，常常使用以e （e=2.71828…是一个无理数）为底的对数，这种对数称为自然对数.正数N 的自然对数log e N 一般简记为ln N ，如ln2、ln15等.
（五）例题讲解
师：我们已经对对数的概念有了一定的理解，你能快速地完成下面练习吗？
（投影显示如下例题）
【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）54=625；（2）2－6=641；（3）（31）m =5.73；（4）log 2
116=－4；（5）lg0.01=－2； （6）ln10=2.303.
方法引导：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色.
（生口答，师板书）
解：（1）log 5625=4；（2）log 2641=－6；（3）log 3
15.73=m ；（4）（21）－4=16；（5）10－2=0.01；（6）e 2.303=10. 【例2】 求下列各式中的x 的值：
（1）log 64x =－3
2；（2）log x 8=6；（3）lg100=x ；（4）－lne 2=x . （师生共同讨论，师板书）
解：（1）因为log 64x =－3
2，所以x =6432-=（43）32-=4－2=161； （2）因为log x 8=6，所以x 6=8，x =861
=（23）61=22
1=2； （3）因为lg100=x ，所以10x =100，10x =102，于是x =2；
（4）因为－lne 2=x ，所以lne 2=－x ，e 2=e －
x ，于是x =－2.
方法小结：在解决对数式求值问题时，若不能一下子看出结果，根据指数式与对数式的关系，首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质求出结果.
（六）目标检测
课本P 74练习第1，2，3，4题.
（生完成，师组织学生进行课堂评价） 解答：1.（1）log 28=3；（2）log 232=5；（3）log 221=－1；（4）log 2731
=－3
1. 2.（1）32=9；（2）53=125；（3）2－2=4
1；（4）3－4=811. 3.（1）设x =log 525，则5x =25=52，所以x =2；
（2）设x =log 2
161，则2x =16
1=2－4，所以x =－4； （3）设x =lg1000，则10x =1000=103，所以x =3； （4）设x =lg0.001，则10x =0.001=10－3，所以x =－3.
4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）
5.
三、课堂小结
师：请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得哪些知识你已经掌握？哪些东西你还没有掌握？ （生总结，并互相交流讨论，师投影显示本课重点知识）
1.对数的定义及其记法；
2.对数式和指数式的关系；
3.自然对数和常用对数的概念.
四、布置作业
板书设计
2.2.1 对数与对数运算（1）
1.对数的定义
2.对数式和指数式的关系
3.自然对数和常用对数的概念
一、例题解析及学生练习
例1
例2
二、课堂小结与布置作业。