随机变量的函数及其分布
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应的概率相加， 随即 机可 变Y得 量 gX的分布. 律
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第二章 随机变量及其分布
§5 随机变量的函数的分布
例 1设离散型随机X变 的量 分布律为
X -2
0
3
P1
1
1
6
3
2
随机Y 变 X 量 1，试 Y的 求分布律．
解： 随机变 YX 量 1的取值 3,为 1,2.
这些取值两两互不相同 ．由此得随机变量 YX1
例 3（续）
Y=(X-1)2 同理,
X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7,
P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2,
所以，Y=(X-1)2 的分布律为：
Y0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2
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第六章 随机变量的函数及其分布
FY(y)P{Yy}P{X2 y}
y
P{ yX y} y fX(x)dx.
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第六章 随机变量的函数及其分布
例 7（续）
y
FY(y) y fX(x)dx.
(2)利用 FY(y)fY(y)及变限定积分 得求 ：
fY(y) 21y[fX( y)fX( y), y0,
2x, 0x1, fX(X)0, 其它 .
试求 Y=X-4 的概率密度.
解：(1) 先求 Y =X-4 的分布函数 FY(y)：
F Y(y)P {Yy} P { X 4 y } P { X y 4 }
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第二章 随机变量及其分布
§5
例4 设离散型随机X变的量分布律为
X 1 2 …n …
P1
1
…1
…
2
22
2n
Y gX11
若X为奇数 若X为偶数
试求随机变Y的 量分布律． 解：
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第六章 随机变量的函数及其分布
例 4（续）
P Y1 P XnPX 2k1
n为奇数
k0
k 0
0 y8 4, 2
0,
其它.
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第六章 随机变量的函数及其分布
例 6（续）
整理得 Y=2X+8 的概率密度为：
fY(y)y328, 8 y16,
0,
其它.
本例用到变限的定积分的求导公式
如果 F(x)(x)f(t)d,t (x)
则F(x)f[(x) ](x)f[(x) ](x).
0,
y0.
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第六章 随机变量的函数及其分布
例8
设 随机 X的 变密 量度 fXx函 ， Y数 X， 为 试 求随Y 机 的变 密量 f度 Yy． 函数
解：
设随机 X的 变 分 量 布 FX函 y， 数 随 为 机变 Y的分布 FY函 y 数为
F YyP Yy PXy
1 2 2k 1
2 3
PY1PXnPX 2k
n为偶数
k0
k0
1 22k
1 3
Y
-1 1
所以，随机Y变 的量 分布律为
P
21 33
第六章 随机变量的函数及其分布
二.连续型随机变量函数的分布
设 X是一连续型 其随 密机 度变 fX 函 x量 ， 数， 为 再Y设 gX是 X的函 ，数 我Y 们 也假 是定 连 随机我 变们 量． 要 YgX 求 的 的 密 是 fY 度 y． 函
要求随机 Y的变 分量 布．
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第六章 随机变量的函数及其分布
一、离散型随机变量的函数
设X是离散型随机变量，其分布律为
P X x n p n n 1 ,2 ,
X x1 x2 ， xn
或
P p1 p2 ， pn
Y是 X的函数 Yg： X，则 Y也是离散型随
解题思路
⑴． Y 先 gX求 的分布函数
F YyPYyPgXy fX(x)dx
g(x)y
⑵．利 Y用 gX的分布函数与 之密 间度 的函 关系Y求 gX的密度函 fY数 yFYy
第二章 随机变量及其分布
§5 随机变量的函数的分布
例 5 设随机变量 X 具有概率密度：
例3
设随机变量 X 具有以下的分布律，试求
Y = (X-1)2
的分布律.
X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
解: Y 有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1,
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第六章 随机变量的函数及其分布
可知随机变 Y的量分布律为
P Y y n p n n 1 ,2 ,
或
Y y1 y2 ， yn
P p1 p2 ， pn
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第六章 随机变量的函数及其分布
第二种情形
如果 y1， y2， ， yn， 有相同的项，
则把这些相同的 （项 看合 作并 是一项） 相，并
⑴．y若 0，则
F YyP Yy PXyP 0
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第六章 随机变量的函数及其分布
例 8（续）
⑵．y若 0，则
F Y y P Y y PXy
P y X y F X y F X y
综上所述，得随机Y的 变分 量布函数为
9 ， 5 ， 3 ， 1 ， 9 ， 1， 5 返回主目录
第六章 随机变量的函数及其分布
例 2（续）
这些取值两两互不相同 ． 由此得随机变量
的分布律为
Y2X3
Y -9 -5 -3 1 9 15
P1
5
15 35 70 126
252 252 252 252 252 252
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第六章 随机变量的函数及其分布
其它.
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第六章 随机变量的函数及其分布
例6
设随机变量 X 具有概率密度：
f
X
(X)
x 8
,
0,
0 x 4, 其它.
试求 Y=2X+8 的概率密度.
解：(1) 先求 Y =2X+8 的分布函数 FY(y)：
FY(y)P{Yy} P{2X8y}P{Xy8} 2
量，它的取值为
y1， y2， ， yn，
其 y n g 中 x n n 1 ， 2 ，
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第六章 随机变量的函数及其分布
第一种情形
如果
y1， y2， ， yn，
两两不相同，则由
P Y y n P X x n n 1 ， 2 ，
F Yy F Xy 0F Xy
y0 y0
对上式求导Y，X可 的得 密度函数为
fYy fXy0fXy
y0 y0
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第六章 小 结
1 引进了随机变量的概念，要求会用随机变量表 示随机事件。 2 给出了分布函数的定义及性质，要会利用分布 函数示事件的概率。 3 给出了离散型随机变量及其分布率的定义、性 质，要会求离散型随机变量的分布率及分布函 数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分 布、二项分布、泊松分布。 4 给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性 质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其 运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀 分布、指数分布和正态分布。 5 会求随机变量的简单函数的分布。
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第六章 随机变量的函数及其分布
例 6（续）
y8
FY(y)
2
fX(x)d.x
(2) 利F 用 Y(y)fY(y)可以求得：
fY
(y)
fX
(
y 8)( 2
y 8) 2
fX (X) 8x, 0x4, 0, 其它.
81(
y 8) 1 , 22
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的分布律为 Y -3 -1 2
P
1
1
1
6
3
2
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第六章 随机变量的函数及其分布
例2 设离散型随机X变的量分布律为
X -3 -1 0 2 6 9
P1
5
15 35 70 126
252 252 252 252 252 252
随机Y变 2X 量 3，试 Y的 求分布律．
解：
随机变 Y2量 X3的取值为
例 5（续）
y4
FY(y) fX(x)d.x
随机变量的函数的分布
(2) 利F 用 Y (y)fY(y)可以求得：
f Y (y ) fX (y 4 ) (y 4 )
2x, 0x1, fX(X)0, 其它 .
2(y4)1,
0y41,
0 ,
第六章 随机变量的函数及其分布
• 离散型 • 连续型
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第六章 随机变量的函数及其分布
随机变量的函数
设X是一随机变Y量 是， X的函数Y，gX , 则 Y
也是一个随机变量．
当 X 取 x 时 值 Y 取 ， y g 值 x
本节的任务就是：
已知随机 X的 变分 量布，Y 并 g且 X， 已知
第六章 随机变量的函数及其分布
例7 设随机变量 X 具有概率密度 fX(x),x , 求 Y = X 2 的概率密度.
解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
1 0由 Y X 2 于 0 ,故 y 0 时 当 F Y ( y ) 0 . 20 当y0时,
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第二章 随机变量及其分布
§5 随机变量的函数的分布
例 1设离散型随机X变 的量 分布律为
X -2
0
3
P1
1
1
6
3
2
随机Y 变 X 量 1，试 Y的 求分布律．
解： 随机变 YX 量 1的取值 3,为 1,2.
这些取值两两互不相同 ．由此得随机变量 YX1
例 3（续）
Y=(X-1)2 同理,
X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7,
P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2,
所以，Y=(X-1)2 的分布律为：
Y0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2
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第六章 随机变量的函数及其分布
FY(y)P{Yy}P{X2 y}
y
P{ yX y} y fX(x)dx.
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第六章 随机变量的函数及其分布
例 7（续）
y
FY(y) y fX(x)dx.
(2)利用 FY(y)fY(y)及变限定积分 得求 ：
fY(y) 21y[fX( y)fX( y), y0,
2x, 0x1, fX(X)0, 其它 .
试求 Y=X-4 的概率密度.
解：(1) 先求 Y =X-4 的分布函数 FY(y)：
F Y(y)P {Yy} P { X 4 y } P { X y 4 }
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第二章 随机变量及其分布
§5
例4 设离散型随机X变的量分布律为
X 1 2 …n …
P1
1
…1
…
2
22
2n
Y gX11
若X为奇数 若X为偶数
试求随机变Y的 量分布律． 解：
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第六章 随机变量的函数及其分布
例 4（续）
P Y1 P XnPX 2k1
n为奇数
k0
k 0
0 y8 4, 2
0,
其它.
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第六章 随机变量的函数及其分布
例 6（续）
整理得 Y=2X+8 的概率密度为：
fY(y)y328, 8 y16,
0,
其它.
本例用到变限的定积分的求导公式
如果 F(x)(x)f(t)d,t (x)
则F(x)f[(x) ](x)f[(x) ](x).
0,
y0.
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第六章 随机变量的函数及其分布
例8
设 随机 X的 变密 量度 fXx函 ， Y数 X， 为 试 求随Y 机 的变 密量 f度 Yy． 函数
解：
设随机 X的 变 分 量 布 FX函 y， 数 随 为 机变 Y的分布 FY函 y 数为
F YyP Yy PXy
1 2 2k 1
2 3
PY1PXnPX 2k
n为偶数
k0
k0
1 22k
1 3
Y
-1 1
所以，随机Y变 的量 分布律为
P
21 33
第六章 随机变量的函数及其分布
二.连续型随机变量函数的分布
设 X是一连续型 其随 密机 度变 fX 函 x量 ， 数， 为 再Y设 gX是 X的函 ，数 我Y 们 也假 是定 连 随机我 变们 量． 要 YgX 求 的 的 密 是 fY 度 y． 函
要求随机 Y的变 分量 布．
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第六章 随机变量的函数及其分布
一、离散型随机变量的函数
设X是离散型随机变量，其分布律为
P X x n p n n 1 ,2 ,
X x1 x2 ， xn
或
P p1 p2 ， pn
Y是 X的函数 Yg： X，则 Y也是离散型随
解题思路
⑴． Y 先 gX求 的分布函数
F YyPYyPgXy fX(x)dx
g(x)y
⑵．利 Y用 gX的分布函数与 之密 间度 的函 关系Y求 gX的密度函 fY数 yFYy
第二章 随机变量及其分布
§5 随机变量的函数的分布
例 5 设随机变量 X 具有概率密度：
例3
设随机变量 X 具有以下的分布律，试求
Y = (X-1)2
的分布律.
X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
解: Y 有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1,
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第六章 随机变量的函数及其分布
可知随机变 Y的量分布律为
P Y y n p n n 1 ,2 ,
或
Y y1 y2 ， yn
P p1 p2 ， pn
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第六章 随机变量的函数及其分布
第二种情形
如果 y1， y2， ， yn， 有相同的项，
则把这些相同的 （项 看合 作并 是一项） 相，并
⑴．y若 0，则
F YyP Yy PXyP 0
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第六章 随机变量的函数及其分布
例 8（续）
⑵．y若 0，则
F Y y P Y y PXy
P y X y F X y F X y
综上所述，得随机Y的 变分 量布函数为
9 ， 5 ， 3 ， 1 ， 9 ， 1， 5 返回主目录
第六章 随机变量的函数及其分布
例 2（续）
这些取值两两互不相同 ． 由此得随机变量
的分布律为
Y2X3
Y -9 -5 -3 1 9 15
P1
5
15 35 70 126
252 252 252 252 252 252
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第六章 随机变量的函数及其分布
其它.
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第六章 随机变量的函数及其分布
例6
设随机变量 X 具有概率密度：
f
X
(X)
x 8
,
0,
0 x 4, 其它.
试求 Y=2X+8 的概率密度.
解：(1) 先求 Y =2X+8 的分布函数 FY(y)：
FY(y)P{Yy} P{2X8y}P{Xy8} 2
量，它的取值为
y1， y2， ， yn，
其 y n g 中 x n n 1 ， 2 ，
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第六章 随机变量的函数及其分布
第一种情形
如果
y1， y2， ， yn，
两两不相同，则由
P Y y n P X x n n 1 ， 2 ，
F Yy F Xy 0F Xy
y0 y0
对上式求导Y，X可 的得 密度函数为
fYy fXy0fXy
y0 y0
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第六章 小 结
1 引进了随机变量的概念，要求会用随机变量表 示随机事件。 2 给出了分布函数的定义及性质，要会利用分布 函数示事件的概率。 3 给出了离散型随机变量及其分布率的定义、性 质，要会求离散型随机变量的分布率及分布函 数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分 布、二项分布、泊松分布。 4 给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性 质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其 运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀 分布、指数分布和正态分布。 5 会求随机变量的简单函数的分布。
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第六章 随机变量的函数及其分布
例 6（续）
y8
FY(y)
2
fX(x)d.x
(2) 利F 用 Y(y)fY(y)可以求得：
fY
(y)
fX
(
y 8)( 2
y 8) 2
fX (X) 8x, 0x4, 0, 其它.
81(
y 8) 1 , 22
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的分布律为 Y -3 -1 2
P
1
1
1
6
3
2
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第六章 随机变量的函数及其分布
例2 设离散型随机X变的量分布律为
X -3 -1 0 2 6 9
P1
5
15 35 70 126
252 252 252 252 252 252
随机Y变 2X 量 3，试 Y的 求分布律．
解：
随机变 Y2量 X3的取值为
例 5（续）
y4
FY(y) fX(x)d.x
随机变量的函数的分布
(2) 利F 用 Y (y)fY(y)可以求得：
f Y (y ) fX (y 4 ) (y 4 )
2x, 0x1, fX(X)0, 其它 .
2(y4)1,
0y41,
0 ,
第六章 随机变量的函数及其分布
• 离散型 • 连续型
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第六章 随机变量的函数及其分布
随机变量的函数
设X是一随机变Y量 是， X的函数Y，gX , 则 Y
也是一个随机变量．
当 X 取 x 时 值 Y 取 ， y g 值 x
本节的任务就是：
已知随机 X的 变分 量布，Y 并 g且 X， 已知
第六章 随机变量的函数及其分布
例7 设随机变量 X 具有概率密度 fX(x),x , 求 Y = X 2 的概率密度.
解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函数 FY(y)：
1 0由 Y X 2 于 0 ,故 y 0 时 当 F Y ( y ) 0 . 20 当y0时,