谐振子-相图_153601860

r = ωd Ae
−(δ / ωd )ϕ
这是一个对数螺旋方程，无论从哪里出发，最后都趋向中心。称中心点 O 为吸 引子（attractor） ，它把相空间里的点都吸引到自己上边。中心点 O 同时又是一 个不动点，它是最简单的一类吸引子，即不动点吸引子。 在相平面中，代表点的矢径值的连续减少，总是表示振子的阻尼运动。
以 y 表示，方程（*6）可写作状态变量的一阶微分方程组 同理，将 x
=y x = − f ( x, y ) y 初始条件改为
（*7）
= t 0= : x(0) x0= , y (0) y0 方程组（*7）的解 x(t ) 和 y (t ) 完全确定系统的运动过程。 将方程组（*7）中两式相除，消去时间微分 dt 后,即得到确定相轨迹族的一 阶微分方程 dy f ( x, y ) = − dx y （*8）
⇒ T0 = ∫
dx 2[ E − U ( x)]
（*5a）
一般情况下， 周期 T0 随初始条件的不同而变化， 只有线性保守系统的周期与初始 条件无关。 例如，对谐振子
T0 = ∫
A
dx kA2 − kx 2
0
例 欠阻尼振子运动的相图 从欠阻尼振子的基本方程出发
x Ae −δ t sin(ωd t + θ ) = −δ t −δ t x = A −δ e sin(ωd t + θ ) + e ωd cos(ωd t + θ ) 做变量代换：
=x ( x) 的一阶微分方程，其解正好是（♣2）式。 这是 x
2 = −ω0 xdx xdx
1 2 2 1 2 = −ω0 ⇒ d x d x 2 2
⇒
1 2 2 1 2 = x x +C −ω0 2 2 2 x
x2 ⇒ 2+ = 1 ω0 2Cω02 对于 S.O.来说，通过解二阶方程来求运动的通解是没有困难的，然而对于比
= 0 ，因此在奇点处相点的移动速度为零。 （2）由于奇点处 x = y
（3）若相点沿通往奇点的相轨迹运动，则必须经过无限长时间之后才可能 到达奇点。
= 0 表明：系统的速度和加速度均等于零，因此奇点的物理意义 （4） x = y
即系统的平衡状态， 也可将奇点称作相平面内的平衡点。奇点可以是稳定的也可 以是不稳定的，奇点的稳定性也就是系统平衡的稳定性。 【李雅普诺夫关于稳定性的定义，若对于任意的 ε > 0 ，能够找到确定的
2 振子的总能量 E 为 kA2 / 2 ，由于 ω0 = k / m ，上式可以
（♣1）
写成 2 x2 x 1 + = 2E / k 2E / m 所以每个相轨道对应于振子一定的总能量。这个结果是意料中的，因为系统是保 守的（亦即 E=常数） 。 振子的任何两个相轨道都不可能相交，假如能够相交，那就意味着对于给定
=x ( x) 有时会容易得多。 较复杂的情形来说， 不求解 x(t ) 而直接寻找相轨道方程 x
2．一维保守系统的相轨迹 一维保守系统的动力学方程为
（*1） x + f ( x) = 0
这类不显含时间变量的系统称作自治系统。
以新的变量 y 表示， 将速度 x
y=x
（*1a）
方程（*1）可写成一阶微分方程组 =y x = − f ( x) y 初始条件为 = t 0= : x(0) x0= , y (0) y0 方程（*2）的解 x(t ) 和 y (t ) 完全确定系统的运动过程。 系统的运动状态由位置 x 及速度 y 所刻画，x 和 y 称为系统的状态变量。 以 x 和 y 为直角坐标建立 ( x, y ) 平面，称作系统的相平面。伟大的数学家庞加莱发明的。在相图中失去
(t ) 变化的时间信息，得到的是有关动力学系统运动的全局概念，给 的是 θ (t )和θ 出其轨线形态类型及其拓扑结构的稳定性问题。 相图的描述方法是非线性动力学 里最基本的方法， 其重要意义是怎么也不会被估计得过分的。在科学中往往有这 种情况，一个问题久久不能解决，但是换一个提法，从另一条思路去考虑，便会 豁然开朗。18、19 世纪大批数学家们集中精力，解出大量很难解的微分方程， 对于线性微分方程还形成了一套系统的求解方法。 可是远非所有微分方程的解可 用初等函数表示出来，即使用未积出的积分式来表达也未必能行。然而，为什么 非要用传统的方式解微分方程不可呢?庞加莱另辟蹊径，把微分方程的解看作是 由微分方程本身所定义的积分曲线族，在不求出解的情况下，通过直接考查微分 方程的系数及其本身的结构去研究它的解的性质。 上述相图中的轨线就是动力学 方程的积分曲线族。庞加莱所开拓的这一新领域，被称为微分方程的定性理论， 至今有着深远的影响。 〗 3．一维线性系统的相轨迹 以前已对单自由度线性系统的自由振动进行了定量研究，现在用相平面法对 它作定性研究。 单自由度系统的动力学方程的一般形式为
u = ωd x w δx+x =
于是，有更易辨认的形式
u ωd Ae −δ t sin(ωd t + θ ) = −δ t = w ωd Ae cos(ωd t + θ )
代表一个半径不断减少的“圆”——螺旋 或者，用极坐标表示 u 和 w ，有
= r
所以
u 2 + w 2 ， ϕ = ωd t
相图 （Phase portrait，Phase diagram）
( t ) 两个量（初始条 对一维谐振子，其运动状态的完全确定需要给定 x ( t ) 和 x ( t ) 看成是一个二维空间 (t ) 件） 。 若把 x ( t ) 和 x （相空间） 内的一点的坐标 【即把 x ) 在相平 看成是一独立变量——创新】 。当时间变化时，描述振动状态的点 P ( x, x
ydy = − f ( x)dx
设初始条件为 = t 0= : x(0) x0= , y (0) y0 ，得到相轨迹方程 1 2 （*4） y + U ( x) = E 2 其 中 U ( x) = ∫ f ( x)dx 为 保 守 系 统 的 势 能 ， 积 分 常 数
0 x
= E
1 2 相轨迹方程实际上就 y0 + U ( x0 ) 为系统的总机械能。 2 是保守系统的能量积分，也可写作
（4）在势能取极小值的 x = S1 处，设 E > U ( S1 ) ，则在 x = S1 的某个小领域内 都有 E ≥ V ( x) 。 利用 （*5） 判断， 在相平面上可得到一围绕奇点 S1 的封闭相轨迹。 当 E 减小时，封闭轨迹逐渐收缩，而当 E = U ( S1 ) 时，缩为奇点 S1 。当 E < U ( S1 ) 时，相平面上不存在对应的相轨迹。这种类型的奇点是稳定的，称作中心。它对 应于系统的稳定平衡状态。 该性质从几何观点出发，证明了关于保守系统平衡稳定性的拉格朗日定理。 拉格朗日定理：若保守系统的势能在平衡状态处有孤立极小值，则平衡状态 稳定。 （5）在势能取极大值的点 x = S 2 处，设 E < U ( S2 ) ，则在区间(C2，C3)内没有 对应的相轨迹，而在 x < C2 及 x > C3 处得到相轨迹的两个分支，当 E 增大时这两 支曲线逐渐靠近，当 E = U ( S 2 ) 时它们在奇点 S 2 处相接触。当 E > U ( S 2 ) 时，则演 变为分布在 x 轴的上方和下方的两支曲线。这种类型的奇点是不稳定的，称作鞍 点。它对应于系统的不稳定平衡状态。通过鞍点的相轨迹称为分隔线，因为它将 相平面分隔成具有不同类型相轨迹的若干区域。 （6）在势能曲线的拐点 x = S3 处，相轨迹在 x < S3 的左半边具有中心性质， 在 x > S3 的右半边具有鞍点性质，相轨迹不封闭。这种奇点为退化的鞍点，也对 应于不稳定的平衡状态。 计算周期运动的周期。将式（*5）代人式（*1a） ，分离变量后沿封闭相轨迹 积分，得到 2 [ E − U ( x) ] = x
面中就是一条轨迹，称之为相轨迹。振子的初始条件不同，描述其状态的相轨迹 就不同。 任一给定的轨道代表振子在某组初始条件下随时间变化的全部理出。所 有可能的相轨道的总和组成振子的相图。 1．一维谐振子的相轨迹 对简谐振子，有： = x(t ) A cos(ω0t + ∆) (t ) = − Aω0 sin(ω0t + ∆) x 从方程中消去 t，得到轨道方程 2 x2 x （♣2） + = 1 A2 A2ω0 2 从这个方程代表一族椭圆，右图给出其中的几个。
> 0 ，随着时间的推移，相点从左到 在上半平面内 y > 0 ，即 x < 0 ，相点从右到左移动。在横 右移动。下半平面内 y < 0 ，即主 x
坐标轴上各点处有 y = 0 ，则 ( dy / dx ) y =0 → ∞ ，相轨迹与横坐标轴 正交。 奇点 方程（*3 ）右边分子分母同时为零的特殊点称为相轨迹的奇点。在奇点处
与系统的运动状态一一对应的相平面上的点称作系统的相点。 系统的运动过程可以用相点在相平面上的移动过程来描述。相点移动的轨迹 称作相轨迹。不同初始条件的相轨迹组成相轨迹族。 如果不需要确切地了解每个指定时刻的相点位置，而只要求定性地了解系统 在不同初始条件下的运动全貌，则了解相轨迹族的几何特征就已足够。 相轨迹族方程 将方程组（*2）中两式相除，得到确定相轨迹族的一阶微分方程 dy f ( x) = − dx y （*3）
(t0 ) ) （亦即这个交点的坐标） 的一组初始条件 ( x (t0 ), x ，运动可以沿两个不同的相
轨道进行，但这是不可能的，因为微分方程的解是唯一的。
) 将恒沿顺时针方向运 如果相平面的坐标轴选取如图所示，则代表点 P( x, x
总是减少；而对 x < 0 ，速度 x 总是增加。 动，因为对 x > 0 ，速度 x
dy / dx 不存在或为不定值。奇点的坐标 ( xs , ys ) 满足方程
= ys 0, = f ( xs ) 0 因此奇点都分布在横坐标轴上。 奇点的物理意义即系统的平衡状态，也可将奇点称作相平面内的平衡点。奇 点可以是稳定的也可以是不稳定的， 奇点的稳定性也就是系统平衡的稳定性。 〖奇 点与稳定性的关系比较复杂，可以看参考书〗 能量积分 方程（*3）可分离变量积分，即
给定系统的作用力 f ( x, y ) ，方程（*7）确定相平面（x,y）内各点的向量场，构 成相轨迹族。
相平面的奇点 奇点的坐标 ( xs , ys ) 满足方程 = ys 0, = f ( xs , ys ) 0 〖结论〗 （1）根据柯西的微分方程解的存在唯一性定理，过 ( x, y ) 平面上除奇点以外 的任何点都通过也只能通过一条积分曲线。奇点处或者无积分曲线通过，或者有 无数条积分曲线通过。
(t ) 的表示式（♣1） 为了得到 x(t ) 和 x ，必须积分一个二阶微分方程
d 2x 2 （♣3） + ω0 x= 0 2 dt
然而，对于相轨道方程，可以由比较简单的步骤得到，因为方程（♣3）可以用 一对方程代替 dx dx 2 ; = x = −ω0 x dt dt 两式相除，得到 dx 2 x = −ω0 dx x
) = （*6） x + f ( x, x 0
的线性函数， − f ( x, x ) 为 x 和 x ) 表示单位质量物体上作用的恢复力和 其中 f ( x, x
阻尼力的合力。该系统是一类特殊的自治系统。 设初始条件为 0 = t 0= : x(0) x= x 0 x (0)
y= ± 2 [ E − U ( x) ]
（*5）
相轨迹的特性 分析（*5） ，可以看出保守系统的相轨迹有以下特点： （1）相轨迹曲线相对横坐标轴对称。 （2） 势能曲线 z = U ( x) 与横坐标轴的平行线 z = E 交点的横坐标 x = C1 , C2 , C3 处，相轨迹与横坐标轴相交。 （3）横坐标轴上与势能曲线 z = U ( x) 的驻点相对应的点 x = S1 , S 2 , S3 为奇点， 因为它们满足奇点的定义： y = 0 ， dU ( x ) = f= ( x) 0 dx