高考数学一轮复习 课后限时集训36 数列求和 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题

课后限时集训36
数列求和 建议用时：45分钟
一、选择题
1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＝6，a 11＝8，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ＋3a n ＋4的前n 项和S n ＝( ) A.
n ＋1
n ＋2
B ．
n
n ＋1
C.
n
n ＋2
D.
2n n ＋1
B [设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3＋a 5＋a 7＝6，a 11＝8，得a 5＝2，d ＝1，所以a n ＝
n －3.则a n ＋3＝n ，a n ＋4＝n ＋1，所以
1
a n ＋3a n ＋4＝
1n
n ＋1＝1n －1n ＋1.所以S n ＝1－1n ＋1＝n
n ＋1
.故选B.]
2．数列{(－1)n
(2n －1)}的前2 020项和S 2 020等于( ) A ．－2 018 B ．2 018 C ．－2 020
D ．2 020
D [S 2 020＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2 019－1)＋(2×2 020－1)＝2×1 010＝2 020.故选D.]
3．在数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2
n ＝( ) A ．(2n －1)2
B.
2n －1
2
3
C ．4n
－1
D.4n
－13
D [由题意得，当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1
－1，则a n ＝2
n
－1－(2n －1
－1)＝2
n －1
(n ≥2)，n ＝1时也成立，所以a n ＝2
n －1
，则a 2
n ＝
2
2n －2
，所以数列{a 2
n }的首项为1，公比为4的等比数列，所以a 21
＋a 22
＋…＋a 2
n ＝
1×
1－4n
1－4
＝4n
－13
，故选D.]
4．数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋a n －1＝n
a n －a n －1＋2(n ≥2)，则数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1a n －1
2
前 2 019项和为( )
A.
4 036
2 019 B.
2 019
1 010 C.4 037
2 019
D.
4 039
2 020
B [∵a n ＋a n －1＝
n
a n －a n －1
＋2(n ≥2)，
∴a 2
n －a 2
n －1－2(a n －a n －1)＝n ， 整理，得(a n －1)2
－(a n －1－1)2
＝n ， ∴(a n －1)2
－(a 1－1)2＝n ＋(n －1)＋…＋2， 又a 1＝2， ∴(a n －1)2＝
n n ＋1
2
，
即1a n －1
2＝
2n
n ＋1＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1. 则数列⎩
⎨
⎧
⎭
⎬⎫
1a n －1
2前2 019项和为： 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12 019－12 020＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 020＝2 0191 010.故选B.] 5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋a n ＋1＝2n
(n ∈N ＋)，则S 13＝
( )
A.213
－4
3
B.213
＋23
C.214－43
D.214
＋23
C [∵a 1＝2，
∴n ＝2时，a 2＋a 3＝22
，n ＝4时，a 4＋a 5＝24
，
n ＝6时，a 6＋a 7＝26，n ＝8时，a 8＋a 9＝28， n ＝10时，a 10＋a 11＝210，n ＝12时，a 12＋a 13＝212，
∴S 13＝2＋22
＋24
＋26
＋28
＋210
＋212
＝2＋22
[1－22
6
]1－22
＝214
－4
3
.故选C.]
二、填空题
6．(2019·某某某某期中)已知数列{a n }满足1a n ＝1
a n ＋1
－1，且a 1＝1，则a n ＝________，
数列{b n }满足b n ＝2
n
a n
，则数列{b n }的前n 项和S n ＝________.
1
n
(n －1)·2
n ＋1
＋2 [由1a n ＝1a n ＋1－1可得1a n ＋1－1
a n
＝1，
所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 为等差数列，公差、首项都为1，
由等差数列的通项公式可得 1
a n
＝n ，a n ＝1n ，2n
a n
＝n ×2n
，
S n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ，
2S n ＝1×22
＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2
n ＋1
， 相减得S n ＝－(2＋22
＋…＋2n )＋n ×2
n ＋1
＝－
21－2n
1－2
＋n ×2
n ＋1
＝(n －1)×2
n ＋1
＋2.]
7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n
(n ∈N ＋)，则S 2 018＝________. 3·2
1 009
－3 [∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n
，①
∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1
，②
由①÷②得
a n ＋1
a n －1
＝2， ∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 018＝1－21 009
1－2＋
21－2
1 009
1－2
＝3·2
1 009
－3.]
8．已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26，b n ＝1
a 2
n －1
(n ∈N ＋)，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．
25
101
[因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以公差d ＝2， 所以a n ＝a 3＋2(n －3)＝2n ＋1. 所以b n ＝
1a 2
n －1
＝12n ＋1
2
－1＝14n
n ＋1＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1.所以S 100＝b 1＋b 2＋…＋b 100 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－1
3＋…＋1100－1101＝25101.]
三、解答题
9．已知等差数列{a n }满足a 6＝6＋a 3，且a 3－1是a 2－1，a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝
1
a n a n ＋1(n ∈N ＋)，数列{
b n }的前项和为T n ，求使T n ＜1
7
成立的最大正整数n 的值 [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 6－a 3＝3d ＝6，即d ＝2，
∴a 3－1＝a 1＋3，a 2－1＝a 1＋1，a 4＝a 1＋6， ∵a 3－1是a 2－1，a 4的等比中项， ∴(a 3－1)2
＝(a 2－1)·a 4，即
(a 1＋3)2
＝(a 1＋1)(a 1＋6)，解得a 1＝3. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由(1)得
b n ＝1a n a n ＋1＝1
2n ＋1
2n ＋3＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2n ＋1－12n ＋3.
∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－1
7＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3－12n ＋3＝n
32n ＋3
，
由
n 32n ＋3＜1
7
，得n ＜9.
∴使T n ＜1
7
成立的最大正整数n 的值为8.
10．(2019·某某高考)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0，已知a 1＝b 1
＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{}满足＝
求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N ＋)．
[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .依题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧ 3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
d ＝3，
q ＝3，
故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1
＝3n
.
所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，
{b n }的通项公式为b n ＝3n
. (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n
＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n ) ＝⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤n ×3＋
n n －1
2
×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n )
＝3n 2
＋6(1×31
＋2×32＋…＋n ×3n
)． 记T n ＝1×31
＋2×32
＋…＋n ×3n
，① 则3T n ＝1×32
＋2×33
＋…＋n ×3n ＋1
，②
②－①得，
2T n ＝－3－32
－33－…－3n ＋n ×3
n ＋1
＝－
31－3
n
1－3
＋n ×3
n ＋1
＝
2n －1
3
n ＋1＋32.
所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2
＋6T n ＝3n 2
＋3×
2n －1
3
n ＋1
＋32
＝
2n －1
3n ＋2
＋6n 2
＋9
2
(n ∈N ＋)．
1．定义在[0，＋∞)上的函数f (x )满足：当0≤x ＜2时，f (x )＝2x －x 2
；当x ≥2时，
f (x )＝3f (x －2)．记函数f (x )的极大值点从小到大依次记为a 1，a 2，…，a n ，…，并记相应
的极大值为b 1，b 2，…，b n ，…，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a 20b 20的值为( )
A ．19×320
＋1 B ．19×319
＋1 C ．20×319＋1
D ．20×320
＋1
A [由题意当0≤x ＜2时，
f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1极大值点为1，极大值为1，当x ≥2时，f (x )＝3f (x －2)．则
极大值点形成首项为1，公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1，公比为3的等比数列，故a n ＝2n －1，b n ＝3
n －1
， 故a n b n ＝(2n －1)3
n －1
，
设S ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a 20b 20
＝1×1＋3×31
＋5×32
＋…＋39×319
， 3S ＝1×31
＋3×32
＋…＋39×320
，
两式相减得
－2S ＝1＋2(31
＋32
＋…＋319
)－39×320
＝1＋2×
3
1－3191－3
－39×320
，
∴S ＝19×320
＋1，故选A.]
2．(2019·金山中学模拟)数列{a n }且a n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
1n 2
＋2n ，n 为奇数，
sin n π
4，n 为偶数，
若S n 是数列{a n }
的前n 项和，则S 2 018＝________.
3 028
2 019 [数列{a n }且a n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
1
n 2
＋2n ，n 为奇数，sin n π
4，n 为偶数，
①当n 为奇数时，a n ＝
1n 2＋2n ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋2，
②当n 为偶数时，a n ＝sin
n π
4
，
所以S 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)， ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－1
5＋…＋12 017－12 019＋(1＋0－1＋…＋0)，
＝1 0092 019＋1＝3 0282 019
.]
3．(2019·某某模拟)如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为a 0；点(1,0)处标数字1，记为a 1；点(1，－1)处标数字0，记为a 2；点(0，－1)处标数字－1，记为a 3；点(－1，－1)处标数字－2，记为
a 4；点(－1,0)处标数字－1，记为a 5；点(－1,1)处标数字0，记为a 6；点(0,1)处标数字1，
记为a 7；……；以此类推，格点坐标为(i ，j )的点处所标的数字为i ＋j (i ，j 均为整数)，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2 018＝________.
－249 [设a n 的坐标为(x ，y )，则a n ＝x ＋y .第一圈从点(1,0)到点(1,1)共8个点，由对称性可知a 1＋a 2＋…＋a 8＝0；第二圈从点(2,1)到点(2,2)共16个点，由对称性可知a 9＋
a 10＋…＋a 24＝0，……；以此类推，可得第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和也为0.设a 2 018
在第k 圈，则8＋16＋…＋8k ＝4k (k ＋1)，由此可知前22圈共有2 024个数，故S 2 024＝0，则S 2 018＝S 2 024－(a 2 024＋a 2 023＋…＋a 2 019)，a 2 024所在点的坐标为(22,22)，a 2 024＝22＋22，a 2 023所在点的坐标为(21,22)，a 2 023＝21＋22，以此类推，可得a 2 022＝20＋22，a 2 021＝19＋22，
a 2 020＝18＋22，a 2 019＝17＋22，所以a 2 024＋a 2 023＋…＋a 2 019＝249，故S 2 018＝－249.]
4．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前n 项和，若λT n ≤a n ＋1对一切n ∈N ＋恒成立，某某数λ的最
大值．
[解] (1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由已知得，
⎩
⎪⎨⎪⎧
4a 1＋6d ＝14，a 1＋2d 2
＝a 1a 1＋6d ，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝2，d ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝72，
d ＝0
(舍去)，所以a n ＝n
＋1.
(2)由(1)知
1
a n a n ＋1
＝
1n ＋1－1
n ＋2
， 所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1n ＋1－1n ＋2
＝12－1n ＋2＝n
2n ＋2. 又λT n ≤a n ＋1恒成立， 所以λ≤
2
n ＋22
n
＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫n ＋4n ＋8，
而2⎝
⎛⎭
⎪⎫n ＋4n ＋8≥16，当且仅当n ＝2时等号成立．
所以λ≤16，即实数λ的最大值为16.
1．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20
，接下来的两项是20,21
，再接下来的三项是20,21,22
，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )
A ．440
B ．330
C ．220
D ．110
A [设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为
n 1＋n
2
.
由题意知，N >100， 令
n 1＋n
2
＞100⇒n ≥14且n ∈N ＋，
即N 出现在第13组之后．
第n 组的各项和为1－2n
1－2＝2n
－1，前n 组所有项的和为
21－2n
1－2
－n ＝2
n ＋1
－2－n .
设N 是第n ＋1组的第k 项，若要使前N 项和为2的整数幂，则第n ＋1组的前k 项的和2k
－1应与－2－n 互为相反数，即2k
－1＝2＋n (k ∈N ＋，n ≥14)，k ＝log 2(n ＋3)⇒n 最小为29，此时k ＝5，
则N ＝29×1＋29
2＋5＝440.
故选A.]
2．已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .
[解] (1)设数列{x n }的公比为q ，由已知知q ＞0.
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 1q ＝3，
x 1q 2
－x 1q ＝2.
所以3q 2
－5q －2＝0.
因为q ＞0，所以q ＝2，x 1＝1. 因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2
n －1
.
(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n
－2
n －1
＝2
n －1
，
记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ， 由题意b n ＝
n ＋n ＋1
2
×2
n －1
＝(2n ＋1)×2
n －2
，
所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝3×2－1
＋5×20
＋7×21
＋…＋(2n －1)×2
n －3
＋(2n ＋1)×2
n －2
，① 2T n ＝3×20
＋5×21
＋7×22
＋…＋(2n －1)×2n －2
＋(2n ＋1)×2
n －1
.②
①－②得
－T n ＝3×2－1
＋(2＋22
＋…＋2n －1
)－(2n ＋1)×2
n －1
＝32＋21－2n －1
1－2
－(2n ＋1)×2
n －1
.
所以T n ＝2n －1×2n
＋1
2.。