苏教版必修5高考题单元试卷：第1章 解三角形1

苏教版必修5高考题单元试卷：第1章解三角形1
一、选择题（本大题共7小题，共35.0分）
1.在△ABC中，a=15，b=10，sin A=√3
2
，则sin B=()
A. √5
5B. √5
3
C. √3
5
D. √3
3
2.在△ABC中，若，且，则△ABC是()
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰直角三角形
3.在△ABC中，若b=2asinB，则角A的值是()
A. 30°
B. 60°
C. 30°或120°
D. 30°或150°
4.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsin2A+√3asinB=0，b=√3c，则c
a
的值为()
A. 1
B. √3
3C. √5
5
D. √7
7
5.在△ABC中，sin2A−sin2C=(sinA−sinB)sinB，则角C等于()
A. π
6B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
6.在△ABC中，∠A，B，C的对边分别为a=3，b=4，c=√13，则∠C为()
A. 90∘
B. 60∘
C. 45∘
D. 30∘
7.如图，有一建筑物OP，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40米的基线AB，在点A处测
得点P的仰角为30∘，在点B处测得点P的仰角为45∘，若，则建筑物OP的高度ℎ=()
A. 20米
B. 20√2米
C. 20√3米
D. 40米
二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
8.在△ABC中，a=2，b=√2，B=π
6
，则A=_______．
9.在△ABC中，若∠A=30°,∠B=105°,BC=√2，则AB=______．
10.在ΔABC中，a=3,b=√6,A=2π
3
,则B=________．
11.在△ABC中，A=45°，C=105°，a=√2，则b的长度______ ．
12.在△ABC中，BC=1，B=60°，当△ABC的面积等于√3时，AC=______ ．
13.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB=−1
4
，a=6，△ABC的面积为3√15，则sin A的值等于______．
14.如图，在山底测得山顶仰角∠CAB=45°，沿倾斜角为30°的斜坡走
1000m至S点，又测得山顶仰角∠DSB=75°，则山高BC为_______m。

15.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若cosC
cosB =2a−c
b
，则B=______．
三、解答题（本大题共15小题，共180.0分）
16.在△ABC中，cos(A−C)+cosB=1，a=2c，求C．
17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足sinA−sinC
b =sinA−sinB
a+c
．
(Ⅰ)求C；
(Ⅱ)若cosA=1
7
，求cos(2A−C)的值．
18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a−c．
(Ⅰ)求B；
(Ⅱ)若b=√3，求2a+c的最大值．
19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2，acosB=(2c−b)cosA．
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC的周长的最大值．
20.△ABC中，内角A、B.C所对边分别为a、b、c，己知A=π
，c=√3，b=1．
6
(1)求a的长及B的大小；
(2)若0<x<B，求函数f(x)=2sinxcosx+2√3cos2x−√3的值域．
21.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，2sin Acos B=sin C，判断△ABC的形
状．
22.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2tanB=b2tanA，判断△ABC的形状。

23.已知a,b,c是ΔABC中A,B,C的对边，a=4√3,b=6,cosA=−1
3.⑴求c；⑴求cos(2B−π
4
)的值．
24.在△ABC中，C=2A，a+c=5，cos A=3
4
，求b．
25.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且C=2A，tanA=√7
3
，a+c=5．(Ⅰ)求sin A，cos A；
(Ⅱ)求b．
26.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，B=π
3,cosA=4
5
,b=√3．
(1)求sinC的值；
(2)求a的值．
27.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足bc=5，cos A
2=3√10
10
．
(Ⅰ)求△ABC的面积；
(Ⅱ)若sinB=5sinC，求a，b，c的值．
28.△ABC中D是BC上的点，AD平分BAC，BD=2DC．(I)求；
(II)若∠BAC=60∘，求∠B．
29. 在△ABC 中，cosA =35，B =π
4．
(1)求sinC 的值；
(2)若AB =7，D 为BC 的中点，求AD 的长．
30. 如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，
．
(1)求的值；
(2)若BD =5，求△ABD 的面积．
-------- 答案与解析 --------1.答案：D
解析：
【分析】
本题考查了正弦定理，是一道基础题．
根据正弦定理，由a=15，b=10，sin A=√3
2
，即可求出sin B的值．【解答】
解：根据正弦定理得：a
sinA =b
sinB
，即√3
2
=10
sinB，
解得sinB=√3
3
．
故选D．
2.答案：D
解析：
【分析】
本题主要考查的是正弦定理及其应用，考查两角和的正弦函数公式，属于基础题．
结合正弦定理和两角和的正弦函数公式对条件进行转化，即可得到A=B，，即可得出结论．【解答】
解：由，及正弦定理得，
即tanA=tanB，
又A，B为三角形的内角，则A=B，
又，
由正弦定理得，
即，
即，
又sinC≠0，
所以sinC=1，
由C为三角形内角，得，
所以△ABC是等腰直角三角形，
故选D．
3.答案：D
解析：解：在△ABC中，若b=2asinB，则由正弦定理可得sinB=2sinAsinB，
解得sinA=1
2
，
∴A=30°或150°．
故选D．
4.答案：D
解析：
【分析】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，属中等题．
由正弦定理，以及二倍角公式得2sinBsinAcosA+√3sinAsinB=0，可得cosA=−√3
2
，再利用余弦定
理，可得a2=7c2，即可得c
a
．
【解答】解：由正弦定理及bsin2A+√3asinB=0，
可得sinBsin2A+√3sinAsinB=0，
即2sinBsinAcosA+√3sinAsinB=0，
因为sinBsinA≠0，所以cosA=−√3
2
.又b=√3c，
由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA
=3c2+c2+3c2=7c2，即a2=7c2，
所以c
a =√7
7
．
故选D．
5.答案：B
解析：
解：∵sin2A−sin2C=(sinA−sinB)sinB，由正弦定理可得，a2−c2=ab−b2，
由余弦定理可得，cosC=a2+b2−c2 
2ab =1
2
，
∴C=
π
3
故选B
【分析】
先利用正弦定理把已知条件化简可得，a2−c2=ab−b2，利用余弦定理可得，cosC=a2+b2−c2 
2ab
可
求C．
本题主要考查了正弦定理sinA=a
2R ,sinB=b
2R
, sinC= c
2R
及余弦定理的变形形式cosC=a2+b2−c2 
2ab
的综合应用，属于基础试题．
6.答案：B
解析：
【分析】
本题考查余弦定理，属于基础题．
直接使用余弦定理，求得cos C，然后求解．
【解答】
解：在△ABC中，
∵a=3，b=4，c=，
∴cosC===，
又∵C为三角形内角，
∴0°<C<180°，
∴C=60°．
故选B．
7.答案：D
解析：
【分析】
本题考查解三角形的实际应用，余弦定理，属于基础题．
把OA，OB用OP表示出来，在三角形OAB中用余弦定理列式求解即可．【解答】
解：设建筑物的高OP为h，
由题意可得，OA=OP
tan30°
=√3ℎ，
依题∠PBO=45°，则OB=OP=ℎ，
由余弦定理可得AB2=OA2+OB2−2OA×OBcos∠AOB，
即402=3ℎ2+ℎ2−2×√3ℎ2×√3
2
=ℎ2，
所以ℎ=40m．
故选D．
8.答案：π
4或3π
4
解析：
【分析】
本题考查正弦定理，属于基础题目．
由已知结合正弦定理，可得sinA=√2
2
，进而得到答案，属于基础题目．【解答】
解：在△ABC中，因为a=2，b=√2，B=π
6
，
所以由正弦定理可得：sinA=a⋅sinB
b =√2
2
，
所以A=π
4或3π
4
．
故答案为π
4或3π
4
．
9.答案：2
解析：解：∵∠A=30°,∠B=105°,BC=√2，∴∠C=180°−∠A−∠B=45°，
∴由正弦定理BC
sin∠A =AB
sin∠C
，可得：AB=BC⋅sin∠C
sin∠A
=√2×
√2
2
1
2
=2．
故答案为：2．
由已知利用三角形内角和定理可求∠C，根据正弦定理即可解得AB的值．
本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.答案：π
4
解析：
【分析】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题，由正弦定理可得sin B，再由三角形的边角关系，即可得到角B．
【解答】
解：∵在△ABC中，a=3，b=√6，A=2π
3
，
∴由a
sinA =b
sinB
，可得：sinB=bsinA
a
=√6×
√3
2
3
=√2
2
，
∵a>b，
∴0<B<2π
3
，
∴A=π
4
，
故答案为π
4
．
11.答案：1
解析：解：∵A=45°，C=105°，∴由三角形内角和定理可知，
B=180°−A−B=30°
又由正弦定理得，
√2 sin45°=b
sin30°
解得，b=1．
故答案为：1
由三角形内角和定理求出B=30°然后利用正弦定理求解即可．
本题主要考查三角形内角和定理和正弦定理的应用．属于基础题．
12.答案：√13
解析：解：在△ABC中，由题意可得△ABC的面积S=1
2
×BC×AB×sinB=√3，
代入数据可得1
2×1×AB×√3
2
=√3，解得AB=4，
由余弦定理可得AC=√42+12−2×4×1×1
2
=√13，
故答案为：√13．
由题意和三角形的面积公式解方程可得AB，再由余弦定理计算可得．
本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题．
13.答案：3√15
16
解析：
【分析】
由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin B的值，由△ABC的面积公式求得c的值，再利用余弦定理求得b的值，从而利用正弦定理求得sin A的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
【解答】
解：△ABC中，∵cosB=−1
4
，
∴sinB=√1−cos2B=√15
4
，
又∵a=6，△ABC的面积为3√15，
∴由面积公式得：3√15=1
2×6×c×√15
4
，
∴c=4，
∴由b2=a2+c2−2accosB，可得：b2=36+16−2×6×4×(−1
4
)，∴解得：b=8，
∴由正弦定理可得：sinA=a⋅sinB
b =6×
√15
4
8
=3√15
16
．
故答案为：3√15
16
．
14.答案：1000
解析：
【分析】
本题考查正弦定理的应用，关键是将实际问题转化为数学问题中的解三角形的问题解答，属于中档题．
【解答】
解：由题图知∠BAS=450−300=150，∠ABS=450−(900−∠DSB)=300，
∴∠ASB=1350，
ΔABS中，由正弦定理可得1000
sin300=AB
sin1350
，
∴AB=1000√2，∴BC=
√2
=1000．故答案为1000．
15.答案：π
3
解析：解：∵cosC
cosB =2a−c
b
，
∴由正弦定理可得：cosC
cosB =2sinA−sinC
sinB
，
可得：sinBcosC+sinCcosB=sinA=2sinAcosB，∵A∈(0,π)，sinA≠0，
∴2cosB=1，解得：cosB=1
2
，
∴由B∈(0,π)，可得：B=π
3
．
故答案为：π
3．
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA =2sinAcosB ，结合sinA ≠0，可求cosB =1
2
，由于B ∈(0,π)，可得B 的值．
本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
16.答案：解：由B =π−(A +C)可得cosB =−cos(A +C)，
∴cos(A −C)+cosB =cos(A −C)−cos(A +C)=2sinAsinC =1， ∴sinAsinC =1
2
①，
由a =2c 及正弦定理可得sinA =2sinC②， ①②联立可得，sin 2C =1
4， ∵0<C <π， ∴sinC =1
2，
a =2c 即a >c ， C =π
6
．
解析：本题主要考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用，属于基础试题
由cos(A −C)+cosB =cos(A −C)−cos(A +C)=1，可得sinAsinC =1
2，由a =2c 及正弦定理可得sinA =2sinC ，联立可求C ．
17.答案：解：(Ⅰ)∵sinA−sinC
b
=
sinA−sinB
a+c ，
在△ABC 中，由正弦定理得：a−c
b
=a−b
a+c ，
即a 2−c 2=ab −b 2， 由余弦定理得：cosC =
a 2+
b 2−
c 2
2ab
=1
2，
又∵角C 是三角形ABC 的内角， ∴C =π
3
；
(Ⅱ)由cosA =1
7及sin 2A +cos 2A =1 得 sinA =√1−cos 2A =√1−(1
7)2=4√3
7
， cos2A =2cos 2A −1=−47
49， ∴sin2A =2sinAcosA =2×
4√37×1
7=
8√3
49
， ∴cos(2A −C)=cos(2A −π
3
)
=cos2Acos π3+sin2Asin π
3
=−47
49×1
2
+8√3
49
×√3
2
=−23
98
．
解析：本题考查的知识点是正弦定理，两角和与差的余弦公式，诱导公式，属于中档题．(Ⅰ)利用正弦定理得到a2−c2=ab−b2，再结合余弦定理和特殊角的三角函数求得C的值；(Ⅱ)由同角三角函数关系，二倍角公式进行转化并求值．
18.答案：解：(I)由已知以及正弦定理可得2sinBcosC=2sinA−sinC=2sin(B+C)−sinC= 2sinBcosC+2cosBsinC−sinC，
所以：2cosBsinC−sinC=0，
由于：0<C<π，
cosB=1
2
，
解得：B=π
3
．
(II)∵b=√3，B=π
3，A+C=π−B=2π
3
，则0<C<2π
3
，
∴由正弦定理可得：a=2sinA，c=2sinC=2sin(2π
3
−A)，
∴2a+c=4sinA+2sin(2π
3−A)=5sinA+√3cosA=2√7sin(A+φ)≤2√7，其中tanφ=√3
5
，
则2a+c的最大值为2√7．
解析：(Ⅰ)直接由已知条件和正弦定理求出B的值；
(Ⅱ)由已知可得2a+c=2√7sin(A+φ)，其中tanφ=√3
5
，由正弦函数的性质即可求得2a+c的最大值．
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
19.答案：解：(1)由已知，得acosB+bcosA=2ccosA．
由正弦定理，得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，
即sin(A+B)=2sinCcosA，
因为sin(A+B)=sinC，
所以sinC=2sinCcosA．
因为sinC≠0，
所以cosA=1
2
．
因为0<A<π，
所以A=π
3
；
(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，
得bc+4=b2+c2，
即(b+c)2=3bc+4．
因为bc≤(b+c
2
)2，
所以(b+c)2≤3
4
(b+c)2+4．
即b+c≤4(当且仅当b=c=2时等号成立)．
所以a+b+c≤6．
所以△ABC周长的最大值为6．
解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
(1)由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式得sinC=2sinCcosA，结合sinC≠0，可求cosA=1
2
.由范围0<A<π，可求A的值．
(2)由余弦定理，基本不等式可求b+c≤4，即可得解．
20.答案：解：(1)∵△ABC中，A=π
6
，c=√3，b=1，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=1+3−3=1，即a=1，
则A=B=π
6
；
(2)f(x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π
3
)，
由0<x<π
6，得到π
3
<2x+π
3
<2π
3
，即√3
2
<sin(2x+π
3
)≤1，
则函数的值域为(√3,2]．
解析：(1)利用余弦定理列出关系式，把b，c，cos A的值代入求出a的值，利用等边对等角确定出B 的度数即可；
(2)f(x)解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出f(x)的值域即可．
此题考查了余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．21.答案：解：∵2sinAcosB=sinC=sin(A+B)，
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinAcosB−cosAsinB=0，
∴sin(A−B)=0，
又A，B为△ABC的内角，
∴A=B，
∴△ABC 为等腰三角形．
解析：本题主要考查正弦定理.根据已知条件可得2sinAcosB =sinC =sin (A +B )，即2sinAcosB =sinAcosB +cosAsinB ，得出sin (A −B )=0，由此即可求出结果．
22.答案：解：由已知得sin 2AtanB =sin 2BtanA ，
化简得sin2A =sin2B ，
所以2A =2B 或者2A +2B =π， 所以A =B 或者A +B =π
2
所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
解析：主要考查了正弦定理及二倍角公式．
23.答案：⑴c =2；⑴4−√26
解析：⑴在ΔABC 中，由余弦定理得，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，48=36+c 2−2×c ×6×(−1
3)，即c 2+4c −12=0，(c +6)(c −2)=0，解得c =2. ⑴由cosA =−1
3<0得A 为钝角，所以sinA =2√2
3
，在ΔABC 中，由正弦定理，得a
sinA =b
sinB ，则sinB =bsinA a
=6×
2√23
4√3
=
√63
，由于B 为锐角，则cosB =
√3
3
， cos2B =1−2sin 2B =1−2×2
3=−1
3， sin2B =2sinBcosB =2×√63
×√33
=2√23
，所以
cos(2B −π
4)=
√2
2
(cos2B +sin2B)=
4−√26
.
24.答案：解：由正弦定理，得
，
∴c
a =3
2
．
又a +c =5， ∴a =2，c =3.
由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccos A ，得2b 2−9b +10=0， ∴b =2，或b =5
2. 当b =2时， ∵a =2， ∴A =B ．
又C =2A ，且A +B +C =π， ∴A =π
4，与已知
矛盾，不合题意，舍去．
当b =5
2时，满足题意．
∴b =52
.
解析：本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，此题注意分类讨论的思想的应用，属中档题． 先由正弦定理得到a 与c 的关系，再由已知条件，便可求出a ，c 的值，然后利用余弦定理，便可求得b 的值，但是，一定要检验，进行取舍，得到最后结果．
25.答案：解：(Ⅰ)∵tanA =√7
3
， ∴sinA =
√7
4
，cosA =3
4
， (Ⅱ)a
c =sinA
sinC =sinA
sin2A =2
3， 又a +c =5， ∴a =2，c =3，
由a 2=b 2+c 2−2bccosA ，解得b =2或5
2，
当b =2时，b =a ，A =B =C
2，A =45°与题意不符， ∴b =5
2
．
解析：(Ⅰ)根据tan A ，利用同角三角函数关系分别求得sin A ，cos A ．
(Ⅱ)利用正弦定理确定a 和c 的关系，进而根据已知可求得a 和c ，利用余弦定理求得b ． 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题中注意对求得的解进行检验．
26.答案：解：(1)在△ABC 中，因为
．
(2)根据正弦定理 ，即a 35
=
√3
√32
.解得：a =6
5
解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，正弦定理，属于基础题 (1)由条件利用同角三角函数的基本关系和两角和的正弦公式求得sin C 的值； (2)由正弦定理求解．
27.答案：解：(I)∵cosA =2cos 2A 2−1=45，∴sinA =√1−cos 2A =3
5．
∴S △ABC =1
2bcsinA =1
2×5×3
5=3
2． (II)∵sinB =5sinC ，∴b =5c ．
解方程组{bc =5
b =5c
得b =5，c =1．
由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =25+1−2×5×1×4
5=18． ∴a =3√2．
解析：(I)利用二倍角公式计算cos A ，得出sin A ，代入面积公式计算面积； (II)由正弦定理得出b =5c ，解方程组得出b ，c ，再利用余弦定理求出a ． 本题考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式，属于中档题．
28.答案：解：(Ⅰ)如图，
由正弦定理得：
∵AD 平分∠BAC ，∠BAD =∠CAD ，BD =2DC ，
(Ⅱ)∵∠C =180°−(∠BAC +∠B)，∠BAC =60°， ∴sin∠C =sin(∠BAC +∠B )=
，
由(Ⅰ)知2sin∠B =sin∠C ， ∴tan∠B =
√3
3
，∴∠B =30°．
解析：本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用．
(Ⅰ)由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理及正弦定理得答案；
(Ⅱ)由∠C =180°−(∠BAC +∠B)，两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合(Ⅰ)中的结论得答案．
29.答案：解：(1)在△ABC 中，因为cosA =3
5，0<A <π，
所以sinA =√1−cos 2A =√1−
925
=45
. sinC =sin [π−(A +B)]=sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =45
×√22
+35
×√22
=7√210
.
(2)方法一：由(1)可知sinC =
7√210
，
在△ABC 中，由正弦定理得AB
sinC =BC
sinA ， 得7√210
=
BC
45
，所以BC =4√2，故BD =2√2.
在△ABD 中，由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BDcosB ， 得AD 2=49+8−2×7×2√2×√2
2=29，所以AD =√29.
方法二：由(1)可知sinC =7√210
，在△ABC 中，由正弦定理得AB sinC =AC
sinB ，
所以7√2
10
=
√22
，所以AC =5，
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA =7×5×35
=21， 因为AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC
⃗⃗⃗⃗⃗ )， 平方得，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
)==29，
所以AD =√29. 方法三：由(1)可知sinC =
7√210，在△ABC 中，
由正弦定理得AB
sinC =BC
sinA =AC
sinB ， 得7√210
=
BC
4
5
=
√22
，所以BC =4√2，AC =5，故BD =DC =2√2，
因为∠ADB =π−∠ADC ，所以cos∠ADB =cos(π−∠ADC)， 即cos∠ADB =−cos∠ADC ， 所以
AD 2+8−492AD⋅BD
=−
AD 2+8−252AD⋅DC
，AD 2=29，
所以AD =√29.
解析：本题主要考查同角的三角函数的关系、正弦定理、余弦定理等． (1)根据cos A ，求sin A ，再求sin C ；
(2)方法一：利用正弦定理求BC ，再由余弦定理求AD ； 方法二：利用正弦定理求AC ，再求AD ；
方法三：利用正弦定理求BC ，AC ，从而求BD ，由∠ADB =π−∠ADC ，再结合余弦定理求解即可．
30.答案：解：(1)因为cos∠ADB=−√2
10
，
所以sin∠ADB=7√2
10
，
又因为∠CAD=π
4
，
所以∠C=∠ADB−π
4
，
所以sin∠C=sin(∠ADB−π
4)=sin∠ADB⋅cosπ
4
−cos∠ADB⋅sinπ
4
=7√2
10⋅√2
2
+√2
10
⋅√2
2
=4
5
；
(2)在△ACD中，由AD
sin∠C =AC
sin∠ADC
，
得AD=AC⋅sin∠C
sin∠ADC =
7
2
⋅4
5
7√2
10
=2√2，
所以S△ABD=1
2AD⋅BD⋅sin∠ADB=1
2
⋅2√2⋅5⋅7√2
10
=7．
解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理，三角形面积公式等知识的综合应用，考查了数形结合能力和转化思想，考查了计算能力，属于中档题．
(1)由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由∠C=∠ADB−π
4
.利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．
(2)先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式即可得解．。