2018年河南省南阳市南召县中考模拟卷(2)

南召县2018年中招模拟考试(二)
数 学 试 题
一、选择题（每小题3分；共30分）
1．32-的绝对值是 A ．23- B ．32- C ．32 D ．2
3 2．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒 338600000 亿次，数字 338600000 用科学记数法可表示为
A ．3.386×108
B ．0.3386×109
C ．33.86×107
D ．3.386×109
3．由几个大小相同的小正方体组成的几何体（如图），它的俯视图是
A ．
B ．
C ．
D ．
4．若关于 x 的一元二次方程 kx 2+2x −1=0 有实数根，则 k 的取值范围是
A ．k >−1
B ．k ≥−1
C ．k >−1 且 k ≠0
D ．k ≥−1 且 k ≠0
5．不等式组 {2x >−3,x ≤3
的最小整数解是 A ．－1 B ．－2 C ．0 D ．3
6．二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示，下列结论正确的是
A ．a <0
B ．b 2−4ac <0
C ．当 −1<x <3 时，y >0
D ．a
b 2-
＝1 7．如图直线 AB 、CD 、EF 被直线a 、b 所截，
若 ∠1=100∘，∠2=100∘，∠3=125∘，∠4 =55∘
下列结论错误的是
A ．EF ∥CD ∥AB
B ．DF BD CE A
C = C ． DF AC C
D AB = D ．
BF BD AE AC = 8．下列说法正确的是
A ．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6 点朝上是必然事件
B ．甲、 乙两人在相同条件下各射击 10 次，他们的成绩平均数相同，方差分别是：S 甲2=0.4，S 乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定
C ．“明天降雨的概率为2
1”，表示明天有半天都在降雨 D ．了解一批电视机的使用寿命，适合用的调查方式是全面调查
9．如图，在圆心角为 90∘ 的扇形 OAB 中，半径 OA =4cm ，C 为弧 AB
的中点，D ，E 分别是 OA ，OB 的中点，则图中阴影部分的面积
（单位cm 2）为
A ．2π+2√2−2
B ．222+π
C ．2222+-π
D ．222-π
10．如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 的一边 BC 与直角边分别是 2
和 4 的 Rt △GEF 的一边 GF 重合．正方形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的
速度沿 GE 向右匀速运动，当点 A 和点 E 重合时正方形停止运动．设正方
形的运动时间为 t 秒，正方形 ABCD 与 Rt △GEF 重叠部分面积为S ，则S
关于 t 的函数图象为
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．计算=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-16210
． 12．一元二次方程 2x 2+ax +2=0 的一个根是 x =2，则它的另一个根是 ．
13．甲盒中装有3个乒乓球，分别标号为1、2、3；乙盒中装有2个乒乓球，分别标号为1、2．现分别从每个盒中随机取出1个乒乓球，则取出的两个乒乓球的标号之和为4的概率是 ． 14．已知抛物线 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与 x 轴交于 A ，B 两点，若点 A 的坐标为 (−2,0)，线段 AB 的长为8，则抛物线的对称轴为直线 ．
15．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=3，BC=4，点M 、N 是边AD 、
BC 上的点，现将这张矩形纸片沿MN 折叠，使点B 落在点E 处，折痕与
对角线BD 的交点为点F ，若△FDE 是等腰三角形，则FB= ．
三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+11=75分）
16．先化简，再求值：a−3a−2÷(a +2−5a−2)，其中 a =√2−3．
17．某中学九年级的同学参加了一项“节能环保”的社会调查活动，为了了解家庭用电的情况，他们随机调查了某城区 50 个家庭一年中生活用电的电费支出情况，并绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图（费用取整数，单位：元）．
= ，= ，
（2）补全频数分布直方图；
（3）这 50 个家庭电费支出的中位数落在 组内；
（4）若该城区有 3 万个家庭，请你估计该城区有多少个一年电费支出低于 1400 元的家庭?
18．如图，甲、乙两人在道路的两边相向而行，当甲、乙两
人分别行至点A 、C 时，测得乙在甲的北偏东60°方向上．乙留
分组/元
频数 频率 1000≤x ＜1200
3 0.060 1200≤x ＜1400
12 0.240 1400≤x ＜1600
18 0.360 1600≤x ＜1800 a 0.200
在原地休息，甲继续向前走了40米到B 处，此时测得乙在其北偏东30°方向上．求道路的宽（参考数据：732.13≈）
19．如图，⊙O 的半径为5，弦AB ⊥CD 于E ，AB=CD=8．
（1）求证：AC=BD ；
（2）若OF ⊥CD 于F ，OG ⊥AB 于G ，试说明四边形OFEG 是正
方形；
20．如图，直线2-=kx y 与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点，与双曲线x
m y =
在第一象限内交于点P ，过点P 作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，已知B （0，4）且S △DBP =27. （1）直接写出直线的解析式 ，双曲线的解析式 ；
（2）设点Q 是直线2-=kx y 上的一点，且满足△DOQ 的面积
是△COD 面积的2倍，请求出点Q 的坐标；
21．某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知 5 件甲种玩具的进价与 3 件乙种玩具的进价的和为 231 元，2 件甲种玩具的进价与 3 件乙种玩具的进价的和为 141 元．
（1）求甲、乙两种玩具每件的进价分别是多少元?
（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过 20 件，超出部分可以享受 7 折优惠，若购进 x （x >0）件甲种玩具需要花费 y 元，请你求出 y 与 x 的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过 20 件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．
22．阅读下列材料：
已知：如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P 为AC 边上的一个动点，以PB 、PA 为边构造平行四边形APBQ ，求对角线PQ 的最小值及此时AC
AP 的值． 在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ 的最小值为3．参考小明的做法，解决以下问题：
（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ 的长度最小时，求AC
AP 的值； （2）如图3，延长PA 到点E ，使AE=n PA （n 为大于0的常数），以PE 、PB 为边作平行四边形PBQE ，求对角线PQ 的最小值及此时AC
AP 的值； （3）如图4，如果P 为AB 边上的一个动点，延长PA 到点E ，使AE=n PA （n 为大于0的常数），以PE 、PC 为边作平行四边形PCQE ，直接写出对角线PQ 的最小值为 ，此时AC
AP = ．
23．如图，已知抛物线22
1412+--=x x y 与 x 轴交于A 、B 两点，与 y 轴交于点C ．
（1）直接写出A点坐标，B点坐标，C点坐标；
（2）若点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM 是等腰三角形?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
南召县2018年中招模拟考试(二)
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分；共30分）
1~5 C A B D A 6~10 D C B A B
二、填空题（每小题3分；共15分）
11．－3 12．21 13．31 14．x =2或x=-6 15．20510,11
25,25 三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+11=75分）
16. 原式=a−3a−2÷a 2−9a−2=a−3a−2⋅a−2
a 2−9
=
a−3a 2−9=a−3a+3a−3=1a+3.。

5分
当 a =√2−3 时，
原式=√2−3+3=√2=√2
2.。

8分
17. （1） 10；0.100； 。

2分
（2）如图所示：。

4分
（3） 1400≤x <1600；。

6分
（4） 每年电费支出低于 1400 元的家庭数为 (0.060+0.240)×30000=9000（个）． 答：估计该地区有 9000 个一年电费支出低于 1400 元的家庭．。

9分
18．过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD 的长即为道路的宽.
由题意得∠CAD=30°，∠CBD=60°.。

2分
设CD=x 米.
在Rt △BCD 中，∠CBD=60°，
∴BD=3
360tan x CD =︒（米）.。

4分 在Rt △CAD 中，∠CAD=30°，
∴AD=x CD 330tan =︒
（米）.。

6分 ∵AB=AD －BD=40米， ∴403
33=-x x ， 解得64.34320≈=x ，
∴道路的宽约为34.64米.。

9分
19.（1）证明：∵AB=CD ，∴
=，
∴-＝-，即＝， ∴AC=BD.。

4分
（2）四边形OFEG 是正方形.。

5分
理由如下：
如图，连接OA 、OD.
∵AB ⊥CD ，OF ⊥CD ，OG ⊥AB ，
∴四边形OFEG 是矩形，AB AG CD DF 21,21==. ∵AB=CD ，
∴DF=AG.
∵OD=OA ，
∴OD=OA ，
∴△OFD ≌△OGA ，
∴OF=OG.
∴矩形OFEG 是正方形.。

9分
20. 解 ：（1） 232--=x y ；x
y 36=。

4分 （2）∵直线23
2-=x y 交x 轴于点C ， ∴点C 的坐标是（3，0），OC=3.
过点Q 作QM ⊥y 轴于点M.
分为以下两种情况：
①当点Q 在射线DC 上时，
∵△DOQ 的面积是△COD 面积的2倍，且△DOQ 和△COD 有共同的底边OD ， ∴MQ=2OC=6.
把x=6代入23
2-=x y ，得y=2， 即此时点Q 的坐标是（6，2）. 。

6分
②当点Q 在射线CD 上时，同理可得QM=6，
把x=－6代入23
2-=x y ，得y=－6， 即此时点Q 的坐标是（－6，－6）.。

8分
∴点Q 的坐剽 （6，2）或（－6，－6）. （9分）
21. 解（1）设每件甲种玩具的进价是 x 元，每件乙种玩具的进价是 y 元，由题意得
{5x +3y =231,2x +3y =141,
解得
{x =30,y =27.
答：每件甲种玩具的进价是 30 元，每件乙种玩具的进价是 27 元．。

4分
（2）当 0<x ≤20 时，y =30x ；。

5分
当 x >20 时，y =20×30+(x −20)×30×0.7=21x +180；。

7分
（3）设购进玩具 x 件（x >20），则乙种玩具消费 27x 元；
当 27x =21x +180，则 x =30，所以当购进玩具正好 30 件，选择购其中一种即可； 。

8分
当 27x >21x +180，则 x >30，所以当购进玩具超过 30 件，选择购甲种玩具省钱； 。

9分
当 27x <21x +180，则 x <30，所以当购进玩具少于 30 件，选择购乙种玩具省钱． 。

10分
22. （1）如图1，
∵四边形APBQ 是平行四边形，
∴AP ∥BQ ，AP=BQ.
由PQ 的长度最小可知QP ⊥AC ，
∴∠APQ=∠C=90°，
∴PQ ∥BC.
∵PC ∥BQ ，PQ ∥BC ，∠C=90°，
∴四边形PCBQ 是矩形.
∴QB=PC ，
∴AP=PC ， ∴21 AC AP . 。

3分
（2）如图2，连接PQ ，
由题可知：当QP ⊥AC 时，PQ 最短.
∵QP ⊥AC ，∠ACB=90°，
∴∠APQ=∠C=90°，
∴PQ ∥BC.
∵四边形PBQE 是平行四边形，
∴EP ∥BQ ，EP=BQ.
∴PC ∥BQ ，PQ ∥BC ，∠C=90°，
∴四边形PCBQ 是矩形，
∴BQ=PC ，PQ=BC=3，
∴EP=PC.
∵AE=n PA ，
∴PC=EP=EA+AP=n PA+AP=（n +1）AP ，
∴AC=AP+PC=AP+（n +1）AP=（n +2）AP. ∴21)2(+=+=n AP n AP AC AP .。

8分
（3）512；1054
+n . 。

10分
23. （1） 点 A 坐标 (2,0)，点 B 坐标 (−4,0)，
点 C 坐标 (0,2)． 。

3分
（2） ①由图象可知当 AB 为平行四边形的边，
∵ AB =EF =6，对称轴 x =−1，
∴ 点 E 的横坐标为 −7 或 5，
∴ 点 E 坐标 (−7,−274) 或 (5,−274)，此时点 F (−1,−27
4)，
∴ 以 A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积 =6×27
4=81
2．。

5分
②当 AB 为四边形的对角线时，点 E 在顶点 (−1,94) 处，四边形为菱形，其面积为 12×6×92=272．。

7分
（3） 如图所示，
①当 C 为顶点时，CM 1=CA ，CM 2=CA ，作 M 1N ⊥OC 于 N . 在 Rt △CM 1N 中，
∵ CN =√CM 12−M 1N 2=√7，
∴ 点 M 1 坐标 (−1,2+√7)，点 M 2 坐标 (−1,2−√7)．.。

8分 ②当 M 3 为顶点时，
∵ 直线 AC 解析式为 y =−x +1，
线段 AC 的垂直平分线为 y =x ，
∴ 点 M 3 坐标为 (−1,−1)．。

9分
③当点 A 为顶点的等腰三角形不存在．。

10分 ∴M 点的坐标为 (−1,−1) 或 (−1,2+√7) 或 (−1,2−√7)．。

11分。