隐函数的导数ppt课件

( x 1)( x 2) (3 x)(5 x)
用同样的方法可得与上面相同的结果.
总结一下，什么时候适 合使用“对数求导法”？
1. 幂指函数求导数； 2. 函数为多个因子的乘积。
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求一般幂指函数 y u( x)v( x) (u( x) 0) 的导数时，同样可以用 上述 “对数求导法”．但注意到y e v( x)lnu( x) ，也可以利用复 合函数求导法则求导．如
y
sin y (1 cos y)3
.
下面又应 怎么办？
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您看求隐函数的二阶导 数的步骤可分几步？其 中需要特别注意什么？
1. 方程左右两边对x求导(注意y是x的函数). 2. 解方程，求出y’的表达式. 3. y’的表达式(或求导后方程)左右再对x求导(注意y和y’都 是x的函数).
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例7 求由参数方程
x 2(cos sin ),
y
3(sin
cos
),
所确定的函数 y y的( x微) 商 . dy
dx
解
(a 0,b 0)
dy [3(sin cos )] 3 sin 3 tan . dx [2(cos sin )] 2 cos 2
(t
)
1 dx
(t) dt
d dt
(t)
(t
)
1 (t
)
(t
)
(t)
t
.
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由于
(
(t (t
) )
)
(
t
)
(t) (t [ (t)]2
)
(t
)
,
因此
d 2 y (t ) (t) (t) (t)
dx2
[ (t )]3
,
不必刻 意去记 公式.
在实际计算时，通常利用
曲线在点 M 0 ( x0 , y0 )的切线斜率为：
dy
(6sin t)
6cos t
3
.
dx t 4
(4cos t) t 4
4sin t t 4
2
由直线的点斜式方程，可得所求的切线方程为
y 3 2 3 ( x 2 2), 即
2
3
x y 6 2 0.
2
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例9 根据前面所给的抛射体的运动轨迹方程
( xy 3x2 5 y 10) 0,
即
y x dy 6x 5 dy 0.
dx
dx
解这个关于 dy 的方程，得
dx
dy 6x y , dx 5 x
这一步需要特别 注意什么问题？
你注意到隐函数 导数的表示式的
特点了吗？
由方程 xy 3x2 5 y 10 0 可知，当 x 0 时，y 2 ，因此
1 y
y
1 2
1
x1
1 x2
1 x3
x
1
5
,
于是
y
y 2
1 x1
1 x2
1 x3
1 x 5
1 2
1 x1
x
1
2
x
1
3
1 x
5
( x 1)( x 2) . ( x 3)( x 5)
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当x 1时 y
(1 x)(2 x) (3 x)(5 x)
当2 x 3时 y
y ( x sin x ) (e sin xln x ) e sin xln x (sin x ln x) esin xln x (cos x ln x sin x 1 ) x x sin x (cos x ln x sin x ) x
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二、由参数方程所确定的函数的导数
dy
6x y
2
.
dx x0
5 x x0 y 2
5
求隐函数在某一 点处的导数时应 特别注意什么？
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例2 求方程 e y xy e 0所确定的隐函数 y f ( x) 的导数．
解 方程两边同时对 x求导数，利用复合函数的求导法则 （注意，这里y是x的函数），得
整理得 于是有
x y
(t (t
), ),
t
，
参数方程的一阶导数为 y (t) , (t )
对一阶导数关于x求导, 其变量t应看作中间变量,
而按照复合函数求导法，若 (t), (t) 皆二阶可导，有
y
dy dx
d (t)
dxx
(t
)
d
ddtt
(t ) (t )
dt dx
d dt
(t)
(t)
d2y dx 2
(t
)
(t )
.
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例10
求由摆线的参数方程
x y
a(t sin t),
a(1 所co确s t定) 的函数
y 的y二( x阶) 导数．
解 由于 dy [a(1 cos t)] sint cot t ，
dx [a(t sint)] 1 cos t
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由一阶微分形式的不变性，有
dy (t)dt,
再由 t 1( x)，利用反函数求导法则得
dt 1 dx,
(t)
代入 dy (t)dt 得
dy (t) dx, (t )
于是
dy (t) . dx (t )
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定理1(参数方程求导法则)设参数方程
x (t),
实例：抛射体的运动轨迹
y
x v1t,
v2
v
y
v2t
1 2
gt
2
,
v1 O
x
其中g为重力加速度，t为时间.
某时刻 t 时，炮弹在铅垂平面内所在位置的横坐标 x 与纵 坐标 y，它们都与 t 存在函数关系. 如果把对应于同一个 t 的 x,y 的值看作对应的，这样就得到 x 与 y 之间的函数关系．
第二章 导数与微分
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第五节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、数学建模的实例
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一、隐函数的导数
函数y=f(x)表示变量y与x之间的对应关系，这种对应关 系的表示形式是多种多样的。
例如：从下图中可以看到，对每一个x通过这条曲线都能有唯 一的y与之对应，因此我们则称说方程这条曲线(或者方程x2+y3+siny=2) 确定了一个函数y=f(x)，称在其区间 为由该方程确定的隐函数.
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例8
已知椭圆的参数方程为
x 4cos t,
y
6 sin
t
,
求它在 t 相 应的点处的切线方程．
讨论:
4
求一点处的切线需要知道什么？由
t
我们能知道什么？
4
y M0
O
x
解
椭圆上对应于t 的点 4
x0 4cos 4 2 2,
M
0
(x y0
0,
y0 ) 的坐标分别为：
6sin 3 2, 4
y
x2 y3 sin y 2
等由自变量x的解析式表示的函数称作显函数． y
Ox
x
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把一个隐函数化为显函数，就称隐函数显化.
例如： x 2 y 3 1 0 隐函数显化
y 3 1 x2
由方程 x2 y3 sin y 2 不能解隐出函y来数，x2因 此y3该 sin y 2 隐函数能不化能为显显化函. 数吗？
xf ( x) 3x2 5 f ( x) 10 0,
方程两边同时对 x 求导数，得
f ( x) xf ( x) 6x 5 f ( x) 0,
解方程即可求得
f ( x) 6x f ( x) 6x y .
5 x
5 x
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注意到 y 是 x 的函数这一事实，我们可以不必像上边那 样去作代换，而直接将方程两边同时对 x 求导数，有
讨解论:将这方个程题的目两复边杂取吗对？数原（因假是定什x么？5）如，果得能“积化和差”好
求导吗？怎么能“ln积y 化 ln和差( x”?1)( x 2) ,
( x 3)( x 5)
于是
ln
y
1 [ln(
x
1)
ln(
x
2)
ln(
x
3)
ln( x
5)],
2
上式两边对x求导，注意到y是x的函数 y(x) ，得
例3
求椭圆
x2
y
2
上 点1
43
处(的1, 3切) 线方程．
2
讨论：要求切线方程，关键要找到什么？
解 由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为该方程所确定
的隐函数在点 (1, 3处) 的导数.
2
原方程两边分别对 x 求导，得
x2 (
y2 ) (1) 2x 2 yy 0.
43
43
解得
y 3x . 4y
4. 将y’代入到上面求出的y’’中(注意y’’表达式中即含有x，
也含有 y).
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例5 求 y x x ( x 的0, x导数1).
讨论: 这是一个幂指函数, 既不能按照幂函数求导, 也不能按照 指数函数求导. 你想怎么解决这个矛盾？若方程左右两边同时 取对数, 能解决问题吗？
解 将方程的两边取对数，得
2
因此
d2y dx 2
cot
t 2
[a(t sin t)]
1
1
2sin2 t
a(1 cos t) a(1 cos t)2 .
2
总结一下，求参数方程 确定的函数的二阶导数
应该注意什么呢？
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三、相关变化率
设变量y与x之间存在着函数关系y=f(x)，而x与 y又都 是第三个变量 t的函数：x x(t) ，y y(t). 如果函数 x x(t)
因此，所求切线斜率 k 3x 3 1 1 .
4y
x1 y 3
2
4 3 2
2
从而，所求的切线方程为 y 3 1 ( x 1) x 2 y 4.
22
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例4 求由方程 x y sin所y确 定0 的隐函数的二阶导数 . d 是（对它们的自变量 t）可导的，那么由于 y与x
之间存在依赖关系，因此二者分别相对于t 的变化率
y
(t
)
t
中，x (t)具有单调连续的反函数 t 1( x)，并且 y (t)
与 t 1( x) 可以构成复合函数 y ( 1( x)) ，
若 x (t), y (t) 在区间 (, )内可导，并且 (t) 0,
则有
dy (t) . dx (t )
（参数方程求导计算公式）
x v1t,
y
v2t
1 2
gt
2
,
试求抛射体在时刻t 时的运动方向与水平线间的夹角.
解 显然所求夹角的正切为dy，因此
dx
dy
(v2t
1 2
gt 2 )
v2
gt
dx
(v1t )
v1
arctan dy arctan( v2 gt ).
dx
v1
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利用参数方程求二阶导数
设函数的参数方程为
ln y x ln x,
由这个方程能说 y 隐是函x数的！函数吗？
上式两边对x求导，注意到y是x的函数 y(x) ，得
1 y ln x x 1 ln x 1,
y
x
于是
y y ln x 1 xx ln x 1.
对数 求导法
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例6 求 y
( (
x x
13))的((xx导 25数)) .
e y y y xy 0,
(x e y ) y y,
y
x
y e
y
.
1. 方程左右两边对x求导 (注意y是x的函数, 因此 对y的函数求导时要用复 合函数求导法则).
总结一下求隐 函数的一阶导 数可分哪几步？
2. 解方程，求出y’ (注意
y’表达式中即含有x，也
含有 y).
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y
x2 y3 sin y 2
y
Ox
x
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一、隐函数的导数
一般地
如果在一定条件下，对于某区间I上的任意一个值x，
通过方程 F( x, y) 0, 相应地总有满足这个方程的唯一的实数y
存在，则称方程 F( x, y) 0 在区间I上确定了一个隐函数.
相应的，诸如
y ln( x 1) e x , y sin x.
利用代入消元法，消去参数
t
得到
y
v2 v1
x
g 2v12
x2.
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一般地，若参数方程
x (t),
y
(t
),
t
确定了y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表达的
函数为由上述参数方程所确定的函数．
下面我们来研究求参数方程所确定的函数的导数:
如果在上述参数方程中函数 x (t) 具有单调连续的 反函数 t 1 ( x) ，并且t 1 ( x)与函数 y (t) 可以构成 复合函数，其中t 为中间变量．
下面应怎
于是
1 y cos y y 0,
y 1 , 1 cos y
上式两边再对 x求导，得
么办？
？ ？ y ( 1 1 cos
y )x
(1 (1
cos cos
y)x y)2
sin y y (1 cos y)2
,
将上边求得 y的结果代入，得
sin y 1
y
1 cos (1 cos y)2
并不是任意一个隐函数都能显化的. 我们关心的是，若 方程在某区间内确定了一个可导的隐函数，能否不对它进行 显化而直接由方程求出它的导数呢？
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例1 求方程xy 3x2 5 y 10 0确定的隐函数 y f ( x) 在 x 0 点的导数．
解 用 y f ( x)替换 xy 3x2 5 y中的10 y，0 得