2016届高考数学(理)二轮复习综合练热点专题突破专题5解析几何

1．圆的方程、直线与圆的位置关系是每年高考的重点，且多出现在解答题中．其中，圆的方程的求法以及弦长问题是考查的重中之重．
2．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质也是每年高考的热点，属必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题．
3．圆锥曲线的综合应用由于其综合性强，难度较高，在历年的高考中出现的频率较低．此类问题以解答题的形式出现，主要涉及直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系、弦长问题及定点、定值问题．
1．直线方程的五种形式 (1)点斜式：y －y 1＝k(x －x 1)． (2)斜截式：y ＝kx ＋b.
(3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2)．
(4)截距式：x a ＋y
b
＝1(a≠0，b≠0)．
(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)． 2．三种距离公式
(1)A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点间的距离：AB ＝ （x 2－x 1）2
＋（y 2－y 1）2
.
(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C|
A 2＋
B 2
(其中点P(x 0，y 0)，直线方程：Ax ＋By ＋C ＝0)． (3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|
A 2＋B
2
(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．
3．当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时 (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.
[典例] (1)(2015·曲阜模拟)设a∈R，则“a＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
(2)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )
A ． 2
B ．2 2
C ．3 2
D ．4 2
(3)在△ABC 中，A(1，1)，B(m ，m)(1<m<4)，C(4，2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝( ) A.32 B.94 C.12 D.14
(4)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P(0，4)距离为2的直线方程为______________________．
[自主解答] (1)若a ＝－2，则直线l 1：－2x ＋2y －1＝0与直线l 2：x －y ＋4＝0平行，若“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”，∴a 1＝2a ＋1，解得a ＝－2 或
a ＝1，∴“a＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件．
(2)由题意知AB 的中点M 的集合为到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得，|m ＋7|2＝|m ＋5|2，即|m ＋7|＝|m ＋5|，所以m ＝－
6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M 到原点的距离的最小值为|－6|
2
＝3 2.
(3)由两点间距离公式可得|AC|＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0，所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10
，所以△ABC 的面积S ＝12|AC|·d＝12|m －3m ＋2|＝
1
2⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322－14，又1<m<4，所以1<m<2，所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值． (4)由⎩
⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝2.
∴l 1与l 2交点为(1，2)，直线x ＝1显然不适合．
设所求直线为y －2＝k(x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P(0，4)到直线距离为2， ∴2＝|－2－k|1＋k 2
， ∴k＝0或k ＝4
3
.
∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.
答案：(1)A (2)C (3)B (4)y ＝2或4x －3y ＋2＝0
判定两条直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，要注意斜率不存在的情况．
1．圆的标准方程
当圆心为(a ，b)，半径为r 时，其标准方程为(x －a)2
＋(y －b)2
＝r 2
，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2
＋y 2
＝r 2
.
2．圆的一般方程
x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2
＋E 2
－4F>0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2
－4F 2为半
径的圆．
[典例] (1)若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2
＋(y±2)2
＝3 B ．(x －2)2
＋(y±3)2
＝3 C ．(x －2)2
＋(y±2)2
＝4 D ．(x －2)2
＋(y±3)2
＝4
(2)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为________．
[自主解答] (1)由题意知圆C 的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b)，因此有
（2－1）2
＋（b －0）2
＝2，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2
＋(y±3)2
＝4，故选D.
(2)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a ，0)，a>－2，半径为r ，得⎩⎪⎨⎪
⎧（a ＋2）2＋（3）2＝r 2，|2a －4|4＋5
＝r ，
解得满足条件的一组解为⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
r ＝2，
所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2
＝4. 答案：(1)D (2)(x ＋1)2
＋y 2
＝4
[探究1] 若将本例(2)中条件改为“圆心在x －2y ＝0上，与y 轴的正半轴相切，截x 轴所得弦长为23”，如何求圆M 的方程？
解：∵圆心在直线x －2y ＝0上，∴可设圆心为(2a ，a)． ∵圆M 与y 轴正半轴相切， ∴a>0，半径r ＝2a.
又∵圆M 截x 轴的弦长为23，
∴a 2
＋(3)2
＝(2a)2
，解得a ＝1(a ＝－1舍去)． ∴圆M 的圆心为(2，1)，半径r ＝2. ∴圆的方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝4.
[探究2] 若将本例(2)中条件改为“圆心在直线y ＝－x 上，与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切”，如何求圆M 的方程？
解：由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为|4|
2＝22，所以r ＝2；又因为y ＝
－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得(0，0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆M 的标准方程为(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝2.
解决此类问题要根据所给条件选择适当的方程形式．解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
[变式训练]
圆心在直线x ＋y ＝0上且过两圆x 2
＋y 2
－2x ＝0，x 2
＋y 2
＋2y ＝0的交点的圆的方程为( )
A ．x 2＋y 2
－x ＋y －12＝0
B ．x 2＋y 2
＋x －y －12＝0
C ．x 2
＋y 2
－x ＋y ＝0
D ．x 2＋y 2
＋x －y ＝0
解析：选C 由已知圆的方程可设所求圆的方程为x 2
＋y 2
－2x ＋λ(x 2
＋y 2
＋2y)＝0(λ≠－1)，
即x 2
＋y 2
－
21＋λx ＋2λ
1＋λ
y ＝0， ∴圆心坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫11＋λ，－λ1＋λ.
又∵圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴
11＋λ－λ
1＋λ
＝0， ∴λ＝1，∴所求圆的方程为x 2
＋y 2
－x ＋y ＝0.
解答直线与圆的位置关系问题的两种方法
(1)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．
(2)几何法．把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d<r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d>r ⇔相离．
[典例] 在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．
(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
[自主解答] (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和直线y ＝x －1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．
设过A(0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－3
4，
故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，
所以圆C 的方程为(x －a)2
＋[y －2(a －2)]2
＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ， 所以x 2
＋（y －3）2
＝2x 2
＋y 2
，
化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2
＝4， 所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意得，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD≤2＋1，即1≤a 2
＋（2a －3）2
≤3.
由5a 2－12a ＋8≥0，得a∈R； 由5a 2
－12a≤0，得0≤a≤125
.
所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，125.
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．
(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理．
[变式训练]
1．(2015·江西八校联考)过点P(2，3)作圆(x －1)2
＋y 2
＝1的两条切线，与圆相切于A ，B ，则直线AB 的方程为________．
解析：依题意圆(x －1)2
＋y 2
＝1圆心M(1，0)，P ，A ，M ，B 四点共圆，其直径为|PM|＝10，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，∴四边形PAMB 的外接圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322
＋(y －32)2＝52，∴直线AB 的方程为x
＋3y －2＝0.
答案：x ＋3y －2＝0
2．(2015·保定模拟)过点M(1，2)的直线l 与圆C ：(x －3)2
＋(y －4)2
＝25交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．
解析：当AB 垂直于直线CM 时，∠ACB 最小(小边对小角原理，此时弦最短，故角最小)，设直线l 的斜率为k ，则k×
4－2
3－1
＝－1，得k ＝－1，又直线l 过M(1，2)，所以y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0，故直线l 的方程为x ＋y －3＝0.
答案：x ＋y －3＝0
3．两个圆C 1：x 2
＋y 2
＋2ax ＋a 2
－4＝0(a∈R)与C 2：x 2
＋y 2
－2by －1＋b 2
＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为________．
解析：两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a)2
＋y 2
＝4，圆C 2：x 2
＋(y －b)2
＝1，所以C 1C 2＝a 2
＋b 2
＝2＋1＝3，即a 2
＋b 2
＝9.
由⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
≤a 2＋b 2
2，得(a ＋b)2≤18，所以－32≤a＋b≤32，当且仅当“a＝b”时取“＝”．
∴a＋b 的最小值为－3 2. 答案：－3 2
一、选择题
1．(2015·安康模拟)“m＝2”是“直线x －y ＋m ＝0与圆x 2
＋y 2
＝2相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 根据直线与圆相切，得|m|
2＝2，m ＝±2，所以为充分不必要条件．
2．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( ) A ．1 B ．－13 C ．－2
3
D ．－2
解析：选D 直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率k 1＝－a
2
，直线x ＋y －2＝0的斜率k 2＝－1，因为
两直线相互垂直，所以k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2·(－1)＝－1，所以a ＝－2，所以选D. 3．(2015·牡丹江模拟)过点P(4，2)作圆x 2
＋y 2
＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )
A ．(x －2)2
＋(y －1)2
＝5 B ．(x －4)2
＋(y －2)2
＝20 C ．(x ＋2)2
＋(y ＋1)2
＝5 D ．(x ＋4)2
＋(y ＋2)2
＝20
解析：选A 由题意知P ，A ，B ，O 四点共圆，所以△OAB 的外接圆是以PO 为直径的圆，圆心为(2，1)，半径为|PO|2
＝5，所以△OAB 的外接圆方程为(x －2)2＋(y －1)2
＝5，故选A.
4．已知P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k>0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2
＋y 2
－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )
A ．3 B.
21
2
C ．2 2
D ．2 解析：选D 如图，把圆的方程化成标准形式得x 2
＋(y －1)2
＝1，
所以圆心为(0，1)，半径为r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，所以若四边形PACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝1
2r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最
小，为圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ，此时d ＝|5|
k 2
＋1
＝12＋22＝5，即k 2
＝4，因为k>0，所以k ＝2.
5．(2015·绵阳模拟)若圆(x －3)2
＋(y ＋5)2
＝r 2
上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )
A ．(4，6)
B ．[4，6]
C ．(4，5)
D ．(4，5]
解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0间距等于1，则有|m ＋2|
5＝1，m
＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求的圆的半径的取值范围是(4，6)，选A.
二、填空题
6．圆x 2
＋y 2
＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a ＝________． 解析：圆的标准方程为(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝2－a ，r 2
＝2－a ，则圆心(－1，1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2
＝ 2.由22＋(2)2
＝2－a ，得a ＝－4.
答案：－4
7．(2015·哈尔滨模拟)设直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2
＋y 2
－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程为________．
解析：因为直线l 恒过定点(0，1)，由x 2
＋y 2
－2x －3＝0变形为(x －1)2
＋y 2
＝4，易知点(0，1)在圆(x －1)2＋y 2
＝4的内部，依题意，k·1－00－1＝－1，即k ＝1，所以直线l 的方程为y
＝x ＋1.
答案：y ＝x ＋1
8．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．
解析：直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2
＝(1－2)2
＋(0＋1)2
＝2.
答案：(x －1)2
＋y 2
＝2 三、解答题
9．(2015·石家庄模拟)已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．
(1)求圆A 的方程；
(2)当|MN|＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R.
因为圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， 所以R ＝|－1＋4＋7|
5
＝2 5.
所以圆A 的方程为(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝20.
(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，
设直线l 的方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.
由于|MN|＝219，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫|－k －2＋2k|k 2
＋12＋(19)2＝(25)2
⇒k ＝34， 此时，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.
所以所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 10．已知圆C ：x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋3＝0.
(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C 外一点P(x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|取得最小值时点P 的坐标．
解：(1)将圆C 配方，得(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝2.
①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ， 由|k ＋2|1＋k
2
＝2，得k ＝2±6，
∴直线方程为y ＝(2±6)x.
②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由|－1＋2－a|
2＝2，
得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3.
∴直线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.
综上，圆的切线方程为y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由|PO|＝|PM|，得x 2
1＋y 2
1＝(x 1＋1)2
＋(y 1－2)2
－2，整理得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．
当|PM|取最小值时，|PO|取最小值， ∴直线PO⊥l，
∴直线PO 的方程为2x ＋y ＝0.
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.
11．已知圆M 的方程为x 2＋y 2
－2x －2y －6＝0，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切． (1)求圆O 的方程；
(2)圆O 与x 轴交于E ，F 两点，圆O 内的动点D 使得|DE|，|DO|，|DF|成等比数列，求的取值范围．
解：(1)圆M 的方程可整理为(x －1)2
＋(y －1)2
＝8， 故圆心M(1，1)，半径R ＝2 2. 圆O 的圆心为O(0，0)， 因为|MO|＝2<22，
所以点O 在圆M 内，故圆O 只能内切于圆M. 设圆O 的半径为r ， 因为圆O 内切于圆M ， 所以|MO|＝R －r ， 即2＝22－r ， 解得r ＝ 2.
所以圆O 的方程为x 2
＋y 2
＝2.
(2)不妨设E(m ，0)，F(n ，0)，且m<n.
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＋y 2
＝2，
y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝0，
故E(－2，0)，F(2，0)．
设D(x ，y)，由|DE|，|DO|，|DF|成等比数列，得|DE|·|DF|＝|DO|2
， 即（x ＋2）2
＋y 2
×（x －2）2
＋y 2
＝x 2
＋y 2
， 整理得x 2
－y 2
＝1. 而＝(－2－x ，－y)，
＝(2－x ，－y)，
所以
＝(－2－x)(2－x)＋(－y)(－y)＝x 2
＋y 2
－2＝2y 2
－1.
由于点D 在圆O 内，故有⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
＋y 2
<2，x 2－y 2＝1，得0≤y 2<12，
所以－1≤2y 2
－1<0， 即
的取值范围为[－1，0)．
12．(2015·平顶山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝x 与圆心在第二象限的圆C 相切于坐标原点O ，且圆C 与圆x 2
＋y 2
－2x －2y －6＝0的面积相等．
(1)求圆C 的方程；
(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使点Q 到定点F(4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)圆x 2
＋y 2
－2x －2y －6＝0的方程可化为(x －1)2
＋(y －1)2
＝8，圆C 与圆x 2
＋y 2
－2x －2y －6＝0的面积相等，∴两圆的半径相等，∴圆C 的半径为2 2.设圆C 的圆心为C(a ，b)，则圆C 的方程为(x －a)2
＋(y －b)2
＝8，
∵直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ， ∴点O 在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2
＋b 2
＝8，b a ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，
b ＝2. 由于点C(a ，b)在第二象限，故a<0，b>0. ∴圆C 的方程为(x ＋2)2
＋(y －2)2
＝8. (2)假设存在点Q 满足题意，设Q(x ，y)，
则有⎩
⎪⎨⎪⎧（x －4）2
＋y 2
＝16，
（x ＋2）2＋（y －2）2
＝8. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝
125
或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，
y ＝0
(舍去)．
∴存在点Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫45，125，使点Q 到定点F(4，0)的距离等于线段OF 的长．
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a(2a>|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a(2a<|F 1F 2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F 不在直线l 上，PM⊥l 于M. 2．圆锥曲线方程的求法
求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．
(1)定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2
，b 2
或p.
[典例] (1)(2015·浙江高考)如图，设抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )
A.
|BF|－1
|AF|－1
B.|BF|2
－1|AF|2
－1 C.|BF|＋1
|AF|＋1
D.|BF|2
＋1|AF|2
＋1
(2)(2015·天津高考)已知双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，3)，且双
曲线的一个焦点在抛物线y 2
＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )
A.x 2
21－y 2
28＝1 B.x 2
28－y
2
21＝1 C.x 2
3－y 2
4＝1 D.x 2
4－y
2
3
＝1 (3)已知椭圆x 2
4＋y
2
b 2＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B
两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )
A.1
B. 2
C.3
2 D.
3 [自主解答] (1)
由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC|
|AC|.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点
A ，
B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN 中，BM∥AN，∴|BC|
|AC|＝
|BM||AN|＝|BF|－1
|AF|－1
. (2)由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝b
a
×2.①
由双曲线的焦点(－a 2
＋b 2
，0)在抛物线y 2
＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2
＋b 2
＝7.②
由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 2
4－y
2
3
＝1.
(3)由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB|＝4a ＝8，所以|AB|＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b
2
a ＝3.所以
b 2
＝3，即b ＝ 3.
答案：(1)A (2)D (3)D
当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2
＝2ax 或x 2
＝2ay(a≠0)，椭圆常设mx 2
＋ny 2
＝1(m ＞0，n ＞0)，双曲线常设为mx 2
－ny 2
＝1(mn ＞0)．
[变式训练]
1．已知椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2
＝1的渐近线与椭圆C 有
四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为________．
解析：∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2
－b 2
a ＝3
2，
∴a＝2b ，∴椭圆方程为x 2
＋4y 2
＝4b 2
. ∵双曲线x 2
－y 2
＝1的渐近线方程为x±y＝0，
∴渐近线x±y＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2
在第一象限的交点为⎝
⎛⎭⎪⎫
255
b ，255b ，
∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a
2
＝4b 2
＝20.
∴椭圆C 的方程为x 2
20＋y
2
5＝1.
答案：x 2
20＋y
2
5
＝1
2．(2015·赣州模拟)F 1是双曲线C ：x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点P 是双曲线右支
上一点，若线段PF 1与y 轴的交点M 恰为PF 1的中点，且|OM|＝a(O 为坐标原点)，则C 的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2 D ．3
解析：选B ∵M 是线段PF 1的中点，∴OM∥PF 2， ∵|OM|＝a ， ∴设|PF 2|＝2a ， ∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
∴|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝2a ＋2a ＝4a ，
在直角三角形F 1PF 2中，|PF 1|2
＝|PF 2|2
＋|F 1F 2|2
， 即16a 2
＝4a 2
＋4c 2
， 即3a 2
＝c 2，则c ＝3a ， 则离心率e ＝c a ＝3a
a ＝3，选B.
1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系
(1)在椭圆中：a 2
＝b 2
＋c 2
，离心率为e ＝c
a
＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2
. (2)在双曲线中：c 2
＝a 2
＋b 2
，离心率为e ＝c
a
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
. 2．双曲线x 2
a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±b
a x.注意离心率e 与渐近线的斜率的
关系．
[典例] (1)(2015·浙江高考)椭圆x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0 )的右焦点F(
c ，0)关于直线y ＝
b
c x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
(2)(2015·山东高考)过双曲线C ：x 2
a 2－y
2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行
的直线，交C 于点P.若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．
[自主解答] (1)
设椭圆的另一个焦点为F 1(－c ，0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b
c x 交于点M.
由题意知M 为线段QF 的中点，且OM⊥F Q. 又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q∥OM，
∴F 1Q⊥QF，|F 1Q|＝2|OM|. 在Rt△MOF 中，tan∠MOF＝
|MF||OM|＝b
c
，|OF|＝c ， 可解得|OM|＝c 2
a ，|MF|＝bc
a
，
故|QF|＝2|MF|＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM|＝2c
2
a .
由椭圆的定义得|QF|＋|QF 1|＝2bc a ＋2c
2
a ＝2a ，
整理得b ＝c ，∴a＝ b 2
＋c 2
＝2c ，
故e ＝c a ＝22.
(2)
如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b
a ，又直线l 过右焦点F(c ，0)，则直
线l 的方程为y ＝b a (x －c)．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2
a 2－y
2
b 2＝1，化简得y
＝－3b 或y ＝3b(点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b)，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c)，化简可得离心率e ＝c
a
＝2＋ 3.
答案：(1)
2
2 (2)2＋ 3
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
[变式训练]
1．(2015·云南师大附中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4ax(a>0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π，则a ＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：选A ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆面积为9π，∴圆的半径为3，∴a
2
＋a ＝3，∴a＝2，故选A.
2．(2015·长春二模)若F(c ，0)是双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a>b>0)的右焦点，过F 作该双曲线一
条渐近线的垂线与两条渐近线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△OAB 的面积为12a
2
7，则该双曲
线的离心率e ＝( )
A.53
B.43
C.54
D.85
解析：选C 设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan θ＝b a ，tan 2θ＝2ab
a 2－
b 2，
因此△OAB 的面积可以表示为12·a·atan 2θ＝a 3
b a 2－b 2＝
12a 2
7，解得b a ＝34，则e ＝5
4
.
直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如y)得出方程Ax 2
＋Bx ＋C ＝0. ①若A ＝0，则：
圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点． ②若A≠0，则：
当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线有一个交点(相切)；当Δ<0时，直线与圆锥曲线没有交点(相离)．
在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本方法．
[典例] 已知抛物线C 1：x 2
＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2
a 2＋x
2
b
2＝1(a>b>0)的一个焦点，C 1
与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且与
同向．
(1)求C 2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l 的斜率．
[自主解答] (1)由C 1：x 2
＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)，因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2
－b 2
＝1，①
又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2
＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32， 所以94a 2＋6
b
2＝1，②
联立①②得a 2
＝9，b 2
＝8，故C 2的方程为y 29＋x
2
8
＝1.
(2)
如图，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)． 因为与同向，且|AC|＝|BD|，
所以
＝
，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是可由(x 1－x 2)2
＝(x 3－x 4)2
得
(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2
－4x 3x 4.③
设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y
得x 2－4kx －4＝0， 而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，④
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 2
9＝1得(9＋8k 2)x 2
＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝
－
16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k
2，⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2
＋1)＝162k 2
（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2
＋1)＝162
×9（k 2
＋1）（9＋8k 2）
2
， 所以(9＋8k 2)2
＝16×9，解得k ＝±
64，即直线l 的斜率为±6
4
. [探究1] 在本例条件下，是否存在直线l ，使以CD 为直径的圆过坐标原点O ，若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．
解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 2
9＝1，得(9＋8k 2)x 2
＋16kx －64＝0.
∴x 1＋x 2＝－16k 9＋8k 2，x 1x 2＝－64
9＋8k 2.
又以CD 为直径的圆恰好过原点O ， ∴
＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，
∴x 1x 2＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0， 即(1＋k 2
)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝0，
即－64（1＋k 2）9＋8k 2－16k 2
9＋8k 2＋1＝0，
即64(1＋k 2
)＋16k 2
＝9＋8k 2
， ∴72k 2
＝－55.
故k 不存在，即不存在直线l 使以CD 为直径的圆过坐标原点O.
[探究2] 设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M.证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．
证明：由x 2
＝4y 得y′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－
x 2
1
4
. 令y ＝0得x ＝x 12，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，所以＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 12，－1.而
＝(x 1，y 1－1)，
于是
＝x 2
12－y 1＋1＝x 2
1
4
＋1>0， 因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD＝180°－∠AFM 是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．
解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．
[变式训练]
已知椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，22，右焦点为F 2.设A ，B 是C
上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－1
2
，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．
(1)求椭圆C 的方程； (2)求
的取值范围．
解：(1)因为焦距为2，所以a 2
－b 2
＝1.
因为椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，所以1a 2＋12b 2＝1.故a 2＝2，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 2
2＋y 2
＝
1.
(2)由题意，得当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x ＝－1
2，此时P(－2，0)，
Q(2，0)，得
＝－1.
当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k(k≠0)，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，m (m≠0)，A(x 1，y 1)，
B(x 2，y 2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
12＋y 2
1＝1，x 222
＋y 2
2＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2
x 1－x 2＝0，
则－1＋4mk ＝0，故4mk ＝1. 此时，直线PQ 的斜率为k 1＝－4m ，
直线PQ 的方程为y －m ＝－4m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12.
即y ＝－4mx －m.
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 2
2
＋y 2
＝1消去y ， 整理得(32m 2
＋1)x 2
＋16m 2
x ＋2m 2
－2＝0. 设P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，
所以x 3＋x 4＝－16m 2
32m 2＋1，x 3x 4＝2m 2
－2
32m 2＋1.
于是
＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m)(4mx 4＋m)
＝(4m 2
－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2
＋1)x 3x 4＋m 2
＋1
＝（4m 2
－1）（－16m 2
）32m 2＋1＋（1＋16m 2
）（2m 2
－2）32m 2
＋1＋1＋m 2
＝19m 2－1
32m 2
＋1
. 由于M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，m 在椭圆的内部，故0<m 2<78，
令t ＝32m 2
＋1，1<t<29，则F 2P ―→·F 2Q ―→＝1932－5132t .
又1<t<29，所以－1<<125232
. 综上，的取值范围为⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，125232.
一、选择题
1．(2015·菏泽模拟)已知双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0
垂直，则双曲线的离心率等于( )
A. 6
B.23
3
C.10
D. 3
解析：选C 由于双曲线的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的渐近线方程为y ＝±3x，可得b a ＝3，可得b 2＝9a 2，即c 2－a 2＝9a 2，亦即c 2＝10a 2
，故离心率为e ＝c a
＝10.
2．椭圆C ：x 2
4＋y
2
3＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围
是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，1 解析：选B 由题意知点P 在第一象限，设P 点横坐标为x ，则纵坐标为y ＝32
×4－x 2
，由PA 2的斜率得：1≤
3
2
× 2＋x 2－x ≤2，即2
3
≤ 2＋x 2－x ≤43
，PA 1的斜率为3
2× 2－x
2＋x
，所以PA 1斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤38，34.
3．抛物线y 2
＝2px(p>0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( )
A ．y 2
＝6x B ．y 2
＝8x C ．y 2
＝16x D ．y 2
＝
152
x 解析：选B 依题意，设M(x ，y)，|OF|＝p 2，所以|MF|＝2p ，x ＋p 2＝2p ，x ＝3p
2，y ＝3p ，
又△MFO 的面积为43，所以12×p 2
×3p ＝43，p ＝4，所以抛物线方程为y 2
＝8x ，选B.
4．(2015·上饶模拟)已知点M(－6，5)在双曲线C ：x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a>0，b>0)上，双曲线C
的焦距为12，则它的渐近线方程为( )
A ．y ＝±
52x B ．y ＝±255
x C ．y ＝±23x D ．y ＝±3
2
x
解析：选A 因为双曲线的焦距为12，则c ＝6，将点M 的坐标代入双曲线的标准方程，并联立方程组得⎩
⎪⎨⎪⎧36a 2－25b 2＝1，a 2＋b 2＝36，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝25，故渐近线方程为y ＝±52x ，故选A.
5．(2015·长沙模拟)设双曲线x 2a 2－y
2
b 2＝1(a>0，b>0)，离心率e ＝2，右焦点F(
c ，0)．方
程ax 2
－bx －c ＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则点P(x 1，x 2)与圆x 2
＋y 2
＝8的位置关系是( )
A ．在圆外
B ．在圆上
C ．在圆内
D ．不确定
解析：选C 由双曲线的性质可得e ＝c a ＝2，c ＝2a ，∴c 2＝2a 2＝a 2＋b 2
，∴a＝b ，故
方程ax 2
－bx －c ＝0可化为x 2
－x －2＝0，得x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－2，x 2
1＋x 2
2＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝1＋22<8，故点P(x 1，x 2)在圆x 2
＋y 2
＝8的内部．
二、填空题
6．(2015· 徐州、连云港、宿迁模拟)已知双曲线C 的离心率为2，它的一个焦点是抛物线x 2
＝8y 的焦点，则双曲线C 的标准方程为________．
解析：由抛物线x 2
＝8y 得焦点为F(0，2)，则知c ＝2，而离心率e ＝c a ＝2，得a ＝1，那
么b 2
＝c 2
－a 2
＝3，又焦点在y 轴上，则双曲线C 的标准方程为y 2
－x
2
3
＝1.
答案：y 2
－x
2
3
＝1
7．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左，右焦点，若在直线x ＝a
2
c 上存在点P ，使
线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2
c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2
2c ，y 2，当kQF 2存在时，则kF 1P ＝cy a 2＋c 2，
kQF 2＝cy b 2－2c 2，由kF 1P·kQF 2＝－1，得y 2
＝（a 2
＋c 2
）·（2c 2
－b 2
）c
2
，y 2≥0， 但注意到b 2
－2c 2
≠0，即2c 2
－b 2
>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>1
3，故33<e<1.
当kQF 2不存在时，b 2
－2c 2
＝0，y ＝0， 此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝3
3，
综上，得
3
3
≤e＜1， 即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
33，1. 答案：⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
33，1
8．如图，过抛物线y 2
＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是___________．
解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D ，则|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又∵|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32
，∴抛物线的方程是y 2
＝3x.
答案：y 2
＝3x 三、解答题
9.
已知椭圆x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)经过点(0，3)，离心率为1
2，左右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，
0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线 l ：y ＝－1
2x ＋m 与椭圆交于 A ，B 两点，与以F 1F 2 为直径的圆交于C ，D 两点，
且满足|AB||CD|＝534
，求直线l 的方程．
解：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，
c a ＝12，b 2
＝a 2
－c 2
，解得⎩⎨⎧a ＝2，
b ＝3，
c ＝1，
∴椭圆的方程为x 24＋y
2
3
＝1.
(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2
＋y 2
＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m|
5，
由d ＜1得|m|＜
5
2
.(*) ∴|CD|＝21－d 2
＝2
1－45m 2＝25
5－4m 2. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1
2x ＋m ，x 2
4＋y 2
3＝1
得x 2
－mx ＋m 2
－3＝0，
由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2
－3. ∴|AB|＝
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4（m 2
－3）] ＝
152
4－m 2
. 由|AB||CD|＝534得 4－m
2
5－4m
2＝1， 解得m ＝±
3
3
，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －3
3
.
10．过椭圆x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a>b>0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，
与y 轴的交点为C ，已知
＝613
.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M(1，0)，使得PM⊥QM，求椭圆的方程．
解：(1)∵A(－a ，0)，设直线方程为y ＝2(x ＋a)，B(x 1，y 1)，令x ＝0，则y ＝2a ， ∴C(0，2a)， ∴＝(x 1＋a ，y 1)，＝(－x 1，2a －y 1)， ∵
＝613
，∴x 1＋a ＝613(－x 1)，y 1＝6
13
(2a －y 1)，
整理得x 1＝－1319a ，y 1＝12
19
a ，
∵点B 在椭圆上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－13192＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12192
·a
2
b
2＝1，
∴b 2
a 2＝34
， ∴a 2
－c 2
a 2＝34，即1－e 2
＝34，∴e＝12.
(2)∵b 2a 2＝34，可设b 2＝3t ，a 2
＝4t ，
∴椭圆的方程为3x 2
＋4y 2
－12t ＝0，
由⎩
⎪⎨⎪⎧3x 2
＋4y 2
－12t ＝0，y ＝kx ＋m ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12t ＝0， ∵动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ， ∴Δ＝0，即64k 2m 2
－4(3＋4k 2
)(4m 2
－12t)＝0， 整理得m 2
＝3t ＋4k 2t ，
设P(x 1，y 1)，则有x 1＝－8km 2（3＋4k 2）＝－4km 3＋4k 2，y 1＝kx 1＋m ＝3m 3＋4k 2，
∴P ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－
4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2， 又M(1，0)，Q(4，4k ＋m)，
∵x 轴上存在一定点M(1，0)，使得PM⊥QM，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4km 3＋4k 2，－3m 3＋4k 2·(－3，－(4k ＋m))＝0恒成立，整理得3＋4k 2＝m 2
.
∴3＋4k 2
＝3t ＋4k 2
t 恒成立，故t ＝1. ∴椭圆的方程为x 2
4＋y
2
3
＝1.
11．(2015·唐山模拟)已知抛物线y 2
＝2px(p>0)，过点C(－2，0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，
·
＝12.
(1)求抛物线的方程；
(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2
＝2px 中， 得y 2
－2pmy ＋4p ＝0.(*)
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 2
2
4p 2＝4.
因为
·
＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，
得p ＝2，抛物线的方程为y 2
＝4x.
(2)(1)中(*)式可化为y 2
－4my ＋8＝0. y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.
设AB 的中点为M ，则|AB|＝2x M ＝x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)－4＝4m 2
－4，① 又|AB|＝1＋m 2
|y 1－y 2|＝（1＋m 2
）（16m 2
－32），② 由①②得(1＋m 2
)(16m 2
－32)＝(4m 2
－4)2
， 解得m 2
＝3，m ＝± 3.
所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.
12．(2015·太原模拟)已知椭圆E 的两焦点分别为(－1，0)，(1，0)，且经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，22. (1)求椭圆E 的方程；
(2)过P(－2，0)的直线l 交E 于A ，B 两点，且＝3，设A ，B 两点关于x 轴的对称
点分别是C ，D ，求四边形ACDB 的外接圆的方程．
解：(1)由题意知c ＝1，2a －2
2＝
22
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫222，∴a＝2，b ＝a 2－c 2
＝1，椭圆E 的
方程为x 2
2
＋y 2
＝1.
(2)设l ：x ＝my －2，代入椭圆方程得(m 2
＋2)y 2
－4my ＋2＝0， 由Δ＝8m 2
－16>0得m 2
>2.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m
m 2＋2，①
y 1y 2＝2
m 2＋2.②
由
＝3
，得y 2＝3y 1.③
由①②③解得m 2
＝4，符合m 2
>2.
不妨取m ＝2，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －2
3
，
则所求圆的圆心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，0. 又B(0，1)，∴圆的半径r ＝
103
. ∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132
＋y 2
＝109.
求解范围、最值问题的五种方法
解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解．
(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；
(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
[典例] (2015·山东高考)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a>b>0)的离
心率为
3
2
，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆E ：x 2
4a 2＋y
2
4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于
A ，
B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.
①求|OQ||OP|
的值；
②求△ABQ 面积的最大值．
[自主解答] (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2
，可得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 2
4＋y 2
＝1.
(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 2
16＋y
2
4
＝1.
①设P(x 0，y 0)，|OQ|
|OP|＝λ，由题意知Q(－λx 0，－λy 0)．
因为x 2
04
＋y 2
0＝1，
又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即
λ2
4⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2
04＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ|
|OP|＝2.
②设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，
可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2
－16＝0， 由Δ>0，可得m 2
<4＋16k 2
.(*) 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2
－16
1＋4k 2.
所以|x 1－x 2|＝416k 2
＋4－m
2
1＋4k
2
. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m)， 所以△OAB 的面积
S ＝12|m||x 1－x 2|＝216k 2
＋4－m 2
|m|1＋4k 2
＝2（16k 2
＋4－m 2
）m 2
1＋4k 2
＝2 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－m 21＋4k 2m 2
1＋4k 2. 设m 2
1＋4k
2＝t. 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2
)x 2
＋8kmx ＋4m 2
－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2
≤1＋4k 2
.(**) 由(*)(**)可知0<t≤1，
因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2
＋4t ，故S≤2 3. 当且仅当t ＝1，即m 2
＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.
求解最值或范围问题的关键是建立关于求解某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．
[变式训练]
已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐标原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标如下表所示：
(1)求C 1，C 2(2)过点A(m ，0)作倾斜角为
π
6
的直线l 交椭圆C 1于C ，D 两点，且椭圆C 1的左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，求m 的取值范围．
解：(1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C 1的方程为x 2
6＋y 2
2
＝1，抛物线C 2的方程为y 2
＝9x.
(2)设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，
直线l 的方程为y ＝3
3(x －m)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3
3（x －m ），x 2
6＋y
2
2＝1，
消去y 整理得2x 2－2mx ＋m 2
－6＝0，
由Δ>0得Δ＝4m 2
－8(m 2
－6)>0，即－23<m<23，① 而x 1x 2＝m 2
－6
2，x 1＋x 2＝m ，
故y 1y 2＝
33(x 1－m)·3
3
(x 2－m) ＝13[x 1x 2－m(x 1＋x 2)＋m 2
]＝m 2
－66
. 欲使左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部， 则·>0，又F(－2，0)， 即
·
＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)
＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋4>0. 整理得m(m ＋3)>0，即m<－3或m>0.②
由①②可得m 的取值范围是(－23，－3)∪(0，23)．
1．定点问题的求解策略
把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到。