抛物线课件-2025届高三数学一轮复习

A. 2
B. 3
[解析]

2
C. 4
2
D. 8

由题意，知抛物线的焦点坐标为( ，0)，椭圆的焦点坐标为(±
2
所以 ＝ 2 ，解得 p ＝8，故选D.
D )
2 ，0)，
5. 已知抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ，点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，则
｜MF｜＝(
A. 2
2
即 p ＝2，所以A选项正确.
＝ − 3（ − 1),
对于B，不妨设 M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， x 1＜ x 2，联立方程得 2
= 4，
1
消去 y 并整理得3 x 2－10 x ＋3＝0，解得 x 1＝ ， x 2＝3.由抛物线的定义得，｜ MN｜＝
x 1＋ x 2＋ p ＝
B )
B. 3
C. 4
D. 5
[解析] 因为点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，所以将点 M 的坐标代入抛物线的方程
y 2＝2 px ( p ＞0)，可得 p ＝2，所以抛物线的方程为 y 2＝4 x ，可得其准线方程为 x ＝
－1.根据抛物线的定义，得｜ MF ｜＝2－(－1)＝3.故选B.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
1

S △ AOB ＝ ×｜ AB ｜× ×
2
2
由(2)的推导过程可得，
sin
1
｜｜


2
＋
＝ 2 ，
1−cos
1+cos
si
1
2

α＝ × 2 × ×
2
si
2
＋
1
｜｜
＝
sin
2
α＝
.
2sin
1−cos
1+cos
2
＋
＝ .



二、基础题练习
1. 下列说法正确的是(
命题点1
抛物线的定义及其应用
例1 (1)[全国卷Ⅰ]已知 A 为抛物线 C ： y 2＝2 px ( p ＞0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距
离为12，到 y 轴的距离为9，则 p ＝(
A. 2
B. 3
C. 6
C )
D. 9

2
[解析] 根据抛物线的定义及题意得，点 A 到 C 的准线 x ＝－ 的距离为12，因为点
P
3
＝－
为 C 上一点， PFx与
x 轴垂直，
Q 为 x 轴上一点，且 PQ ⊥ OP . 若｜ FQ ｜＝6，则 C
2
的准线方程为
.

[解析] 解法一 由题易得｜ OF ｜＝ ，｜ PF ｜＝ p ，∠ OPF ＝∠ PQF ，所以
⁠
2
tan∠ OPF ＝tan∠ PQF ，所以

2
｜｜ ｜｜
的距离为
9
4
.
⁠
[解析] 将点 A 的坐标代入抛物线方程，得5＝2 p ，于是 y 2＝5 x ，则抛物线的准线
5
5
9
方程为 x ＝－ ，所以 A 到准线的距离为1－(－ )＝ .
4
4
4
(2)[2021新高考卷Ⅰ]已知 O 为坐标原点，抛物线 C ： y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ，
2. 抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
几
对称轴
何
顶点
性
质
焦点
x轴
④

F( ，0)
2
⁠
y轴
O(0，0)


F(－ ，0)
F(0， )
2
2
⑤
⑥
⁠F(0，－⁠⑦⁠)
2
⁠
标准方程
准线方程
y2＝2px
y2＝－2px(p＞0)
(2)待定系数法
当焦点位置不确定时，注意分类讨论.对于焦点在 x 轴上的抛物线的方程可设为 y 2＝
mx ( m ≠0)，焦点在 y 轴上的抛物线的方程可设为 x 2＝ my ( m ≠0).
训练2 (1)若抛物线的对称轴为坐标轴，焦点在直线 x －2 y －4＝0 上，则此抛物线的
标准方程为
y 2＝16 x 或 x 2＝－8 y
D )
A. 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线
B. 若抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p＞0)
C. 抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形
D.
1
2
方程y＝ax (a≠0)表示的曲线是焦点在y轴上的抛物线，且其准线方程为y＝－
4
2. 抛物线 y ＝4 x 2的焦点坐标为(
(p＞0)
⑧

2
x＝－
⑨
⁠

2
x＝
⁠
x2＝2py
x2＝－2py
(p＞0)
(p＞0)

2

y＝－
⑩
⁠
⁠
几
何
范围
焦半径(其中
质
P(x0，y0)为
抛物线上任
一点)
⁠
⁠
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
离心率
性
⑪ y＝2
e＝⑫

＋ x0
2
⑬
⁠
⁠

－x0
2
y≥0，x∈R
1
y≤0，x∈R
⁠
⑭

＋y0
2
⁠

－y0
2
常用结论
解法二 由题意可知 F (1，0)，｜ BF ｜＝2，所以｜ AF ｜＝2.因为抛物线的通径长
为2 p ＝4，所以 AF 的长为通径长的一半，所以 AF ⊥ x 轴，所以｜ AB ｜＝ 22 ＋22
＝ 8 ＝2 2 ，故选B.
方法技巧
利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题：利用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否
4


2
(2)｜ AF ｜＝
，｜ BF ｜＝
，弦长｜ AB ｜＝ x 1＋ x 2＋ p ＝ 2 ，
1−cos
1+cos
si
2

1
S △ AOB ＝
＝ ｜ OF ｜·｜ y 1－ y 2｜.
2sin
2
1
1
2
(3)
＋
＝ .
｜｜ ｜｜
(4)当 N 为准线与 x 轴的交点时，∠ ANF ＝∠ BNF .
(2)的推导过程：因为 AB 所在直线的倾斜角为α，则 cos α＝

2

2
1 −
1 ＋
，解得 x 1＝
1+cos


·
，则｜ AF ｜＝ x 1＋ ＝
.
2 1−cos
2
1−cos
同理可得｜ BF ｜＝

.
1+cos
则｜ AB ｜＝｜ AF ｜＋｜ BF ｜＝ x 1＋ x 2＋ p ＝
2 px ( p ＞0)的焦点，且与 C 交于 M ， N 两点， l 为 C 的准线，则(
A. p＝2
8
3
B. ｜MN｜＝
C. 以MN为直径的圆与l相切
D. △OMN为等腰三角形
AC )
[解析] 由题意，易知直线 y ＝－ 3 ( x －1)过点(1，0).

对于A，因为直线经过抛物线 C 的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以 ＝1，
｜ME｜－｜MF｜≤｜EF｜＝ （3 − 2）2 ＋（1 − 0）2 ＝ 2 ，当点 M 在线段 EF 的
延长线上时等号成立，∴｜ME｜－｜MF｜的最大值为 2 ，故B不正确；如图所示，
过点 M ， E 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 A ， B ，则｜ME｜＋｜ MF｜＝｜ME｜
＋｜MA｜≥｜EB｜＝5，当点 M 在线段 EB 上时等号成立，∴｜ME｜＋｜MF｜的最
抛物线焦点弦的几个常用结论
如图，设 AB 是一条过抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)焦点 F 的弦， AB 所在直线的倾斜角为
α，若 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)， A ， B 在准线 l 上的射影分别为 A 1， B 1，则
2
(1) x 1 x 2＝ ， y 1 y 2＝－ p 2.
A. y2＝5x
B. x2＝－5y
C. y2＝－5x
D. x2＝5y
C )
[解析] 抛物线 y 2＝5 x 的开口朝右，抛物线 x 2＝－5 y 的开口朝下，抛物线 y 2＝－5
x 的开口朝左，抛物线 x 2＝5 y 的开口朝上.故选C.
4.
2
＋ ＝1的一个焦点，则 p ＝(
3


2
若抛物线 y ＝2 px ( p ＞0)的焦点是椭圆
为抛物线.
(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，在解题过程
中注意两者之间的相互转化.
(3)最值问题：通过距离转化，利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”求解.
训练1 [多选/2023惠州市二调]设抛物线 C ： y 2＝8 x 的焦点为 F ，准线为 l ，点 M 为
C 上一动点， E (3，1)为定点，则下列结论正确的是(
A. 准线l的方程是x＝－2
B. ｜ME｜－｜MF｜的最大值为2
C. ｜ME｜＋｜MF｜的最小值为7
D. 以线段MF为直径的圆与y轴相切
AD
)
[解析] 由题意得，抛物线 C 的焦点 F (2，0)，准线 l 的方程是 x ＝－2，故A正确；

＝
，即 ＝ ，解得 p ＝3，所以 C 的

6
｜｜ ｜｜
3
2
准线方程为 x ＝－ .
解法二

由题易得｜OF｜＝ ，｜PF｜＝ p ，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即 p 2＝
2

3
×6，解得 p ＝3，所以 C 的准线方程为 x ＝－ .
2
2
方法技巧
抛物线的标准方程的求法
(1)定义法
根据抛物线的定义求出 p .标准方程有四种形式，要注意判断焦点位置及开口方向.
10
16
＋2＝ ，故B选项错误.
02
如图，由题意可知 F (1，0)，设 A ( ， y 0)，则由抛物线的定义可
4
02
知｜ AF ｜＝ ＋1.
4
因为｜ BF ｜＝3－1＝2，
所以由｜ AF ｜＝｜ BF ｜，
02
可得 ＋1＝2，解得 y 0＝±2，所以 A (1，2)或 A (1，－2).
4
不妨取 A (1，2)，则｜ AB ｜＝ （1 − 3）2 ＋（2 − 0）2 ＝ 8 ＝2 2 ，故选B.
.
⁠
[解析] 由 x －2 y －4＝0，令 x ＝0，得 y ＝－2；令 y ＝0，得 x ＝4.所以抛物线的焦
点是(4，0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为 y 2＝16 x 或 x 2＝－8 y .
(2)如图，过抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A ，
2025届高考数学一轮复习讲义
平面解析几何之 抛物线
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F )的距离①
做抛物线.点 F 叫做抛物线的②
注意
焦点
相等
的点的轨迹叫
⁠
，直线 l 叫做抛物线的③ 准线
.
⁠
定点 F 在定直线 l 上时，动点的轨迹为过点 F 且垂直于 l 的一条直线.
A.
1
(0， )
16
[解析]
B.
A )
1
(0， )
4
C. (0，1)
D. (1，0)
1
1
2
化抛物线的方程为标准形式，得 x ＝ y ，所以 p ＝ ，(本题在解答过程中
4
8
若不先将抛物线方程化为标准形式，易错误得到 p ＝2，从而错选C)
1
抛物线的焦点坐标为(0， )，故选A.
16
3. [2023湖北省十堰市调研]下列四个抛物线中，开口朝左的是(
B ， C ，若｜ BC ｜＝2｜ BF ｜，且｜ AF ｜＝3，则抛物线的方程为
y 2＝3 x
.
⁠
[解析] 如图，分别过点 A ， B 作准线的垂线，垂足分别为点 E ， D ，设｜BF｜＝ a ，
准线与 x 轴交于点 G ，则由已知得，｜ BC ｜＝2 a ，由抛物线的定义得，｜ BD ｜＝
a ，故∠ BCD ＝30°，在Rt△ ACE 中，∵｜ AC ｜＝｜ AF ｜＋｜ BF ｜＋｜ BC ｜＝3＋
(5)通径是过焦点且垂直于对称轴的弦，弦长等于2 p ，通径是过焦点的最短的弦.
(6)以弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.
(7)以 A 1 B 1为直径的圆与 AB 相切，切点为 F ，∠ A 1 FB 1＝90°.
(8)当 M 1为 A 1 B 1的中点时， M 1 A ⊥ M 1 B .
(9)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切.
｜｜
3 a ，2｜ AE ｜＝｜ AC ｜，∴3＋3 a ＝6，∴ a ＝1.易知 BD ∥ FG ，∴
＝
｜｜
｜｜
1
2
3
，即 ＝ ，解得 p ＝ ，因此抛物线的方程为 y 2＝3 x .

3
2
｜｜
命题点3 抛物线的几何性质
例3 [多选/2023新高考卷Ⅱ]设 O 为坐标原点，直线 y ＝－ 3 ( x －1)过抛物线 C ： y 2＝

A 到 y 轴的距离为9，所以 ＝12－9，解得 p ＝6.故选C.
2
(2)[2022全国卷乙]设 F 为抛物线 C ： y 2＝4 x 的焦点，点 A 在 C 上，点 B (3，0)，
若｜ AF ｜＝｜ BF ｜，则｜ AB ｜＝(
A. 2
B. 2 2
C. 3
B )
D. 3 2
[解析] 解法一
小值为5，故C不正确；设点 M ( x 0， y 0)，线段 MF 的中点为 D ，则点 D 的横坐标 xD ＝
｜｜ ｜｜
0 +2
＝
＝
，∴以线段 MF 为直径的圆与 y 轴相切，故D正确.故选AD.
2
2
2
命题点2 抛物线的标准方程
例2 (1)[2023全国卷乙]已知点 A (1， 5 )在抛物线 C ： y 2＝2 px 上，则 A 到 C 的准线