人教版七年级初一数学第二学期第六章 实数单元 易错题自检题检测试题

人教版七年级初一数学第二学期第六章 实数单元 易错题自检题检测试题
一、选择题
1．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”，把(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作(3)-④，读作“3-的圈4次方”，一般地，把(0)a a a a a a ÷÷÷
÷÷≠记作a ⓒ，读作“a 的圈c 次方”，关于除方，下列说法错误的
是（ ） A ．任何非零数的圈2次方都等于1
B ．对于任何正整数a ，21()a
a
=④ C ．3=4④④
D ．负数的圈奇次方结果是负数，负数的圈偶次方结果是正数. 2．下列各数-(-3),0,221(-)--2--42π，
，，中,负数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3．2，估计它的值( ) A ．小于1 B ．大于1 C ．等于1 D ．小于0
4．已知|x |＝2，y 2＝9，且xy ＜0，则x +y 的值为（ ）
A ．1或﹣1
B ．-5或5
C ．11或7
D ．-11或﹣7 5．下列各式中，正确的是（ ）
A 3=-
B 2=±
C 4=
D 3=
6．估算1的值是在哪两个整数之间（ ）
A ．0和1
B ．1和2
C ．2和3
D ．3和4 7．估计65的立方根大小在（ ）
A ．8与9之间
B ．3与4之间
C ．4与5之间
D ．5与6之间
8．0=，则x 和y 的关系是（ ）
A ．0x y ==
B ．0x y -=
C ．1xy =
D ．0x y +=
9．2的平方根是a ，﹣125的立方根是b ，则a ﹣b 的值是（ ） A ．0或10 B ．0或﹣10 C ．±10 D ．0
10．下列运算中，正确的是（ ）
A 3=±
B 2=
C 2=-
D 8=- 二、填空题
11．已知M 是满足不等式a <<N 是满足不等式x 的最大整数，则M ＋N 的平方根为________．
12．如果一个有理数a 的平方等于9，那么a 的立方等于_____．
13．数轴上表示1、2的点分别为A 、B ，点A 是BC 的中点，则点C 所表示的数是____．
14．a※b 是新规定的这样一种运算法则：a※b=a+2b，例如3※（﹣2）=3+2×（﹣2）=﹣
1．若（﹣2）※x=2+x，则x 的值是_____．
15．写出一个大于3且小于4的无理数：___________．
16．已知：103＜157464＜1003；43＝64；53＜157＜63，则 315746454=，请根据上面的材料可得359319=_________．
17．对于实数a ，我们规定：用符号[]a 表示不大于[]a 的最大整数，称为a 的根整数，例如：，如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次： 10]33]1=→=这时候结果为1．则只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是__________．
1846________．
19．若实数x ，y (2230x y ++=，则22x y --的值______．
20．若一个正数的平方根是21a +和2a +，则这个正数是____________．
三、解答题
21．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果a x =N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x =log a N ，例如：32=9，则log 39=2，其中a =10的对数叫做常用对数，此时log 10N 可记为lgN ．当a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0时，
log a (M •N )=log a M +log a N ．
(I )解方程：log x 4=2；
(Ⅱ)log 28=
(Ⅲ)计算：(lg 2)2+lg 2•1g 5+1g 5﹣2018= (直接写答案)
22．定义：对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．将一个“奇异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为()f a
例如：19=a ，对调个位数字与十位数字后得到新两位数是91，新两位数与原两位数的和为9119110+=，和与11的商为1101110÷=，所以()1910f =
根据以上定义，完成下列问题：
（1）填空：①下列两位数：10，21，33中，“奇异数”有 .
②计算：()15f = .()10f m n += .
（2）如果一个“奇异数”b 的十位数字是k ，个位数字是21k -，且()8f b =请求出这个“奇异数”b
（3）如果一个“奇异数”a 的十位数字是x ，个位数字是y ，且满足()510a f a -=，请直接写出满足条件的a 的值．
23．观察下列各式的计算结果 2113131-1-24422===⨯ 2118241-1-39933===⨯ 21115351-1-4161644
===⨯ 21124461-1-5252555
===⨯ （1）用你发现的规律填写下列式子的结果：
211-
6= × ； 211-10
= × ； （2）用你发现的规律计算： 22222111111-1-1-1-1-23420162017
⨯⨯⨯⋯⨯⨯（）（）（）（）（） （3）计算()222221111111111234
1n n ⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦（）（）（）（直接写出结果） 24．观察下列等式：
①111122=-⨯， ②1112323=-⨯， ③1113434
=-⨯. 将以上三个等式两边分别相加，得
1111111113111223342233444
++=-+-+-=-=⨯⨯⨯. （1）请写出第④个式子
（2）猜想并写出：
1n(n 1)+= ． （3）探究并计算：111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)
⨯. 25．阅读下列解题过程：
为了求23501222...2+++++的值，可设23501222...2S =+++++，则
2345122222...2S =+++++，所以得51221S S -=-，所以
5123505121:1222...221S =-+++++=-，即；
仿照以上方法计算：
（1）2320191222...2+++++= .
（2）计算：2320191333...3+++++
（3）计算：101102103200555...5++++
26．已知a 是最大的负整数，b 是多项式2m 2n ﹣m 3n 2﹣m ﹣2的次数，c 是单项式﹣2xy 2的系数，且a 、b 、c 分别是点A 、B 、C 在数轴上对应的数．
（1）求a 、b 、c 的值，并在数轴上标出点A 、B 、C ．
（2）若M 点在此数轴上运动，请求出M 点到AB 两点距离之和的最小值；
（3）若动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒
12
个单位长度，点Q 的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q 能追上点P ？
（4）在数轴上找一点N ，使点M 到A 、B 、C 三点的距离之和等于10，请直接写出所有的N 对应的数．（不必说明理由）
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据定义依次计算判定即可．
【详解】
解：A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A 正确； B 、a ④=21111()a a a a a a a a a ÷÷÷=⨯
⨯⨯=； 所以选项B 正确； C 、3④=3÷3÷3÷3=19，4④=4÷4÷4÷4=116
，，则 3④≠4④； 所以选项C 错误； D 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D 正确；
故选：C ．
【点睛】
本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
2．C
解析：C
【分析】
根据相反数的定义，有理数的乘方，绝对值的性质分别化简，再根据正负数的定义进行判断即可得解
【详解】
解：-(-3)=3；21
1()24
-=；224-=-；44--=-；
所以2
-2-4π--，
，是负数，共3个。

故选：以C.
【点睛】
本题考查了正数和负数，主要利用了相反数的定义，绝对值的性质以及有理数的乘方，是基础题，熟记概念并准确化简是解题的关键． 3．A
解析：A
【分析】
首先根据479<<可以得出23<
<2的范围即可. 【详解】
∵23<<，
∴22232-<
<-，
∴021<<，
2-的值大于0，小于1.
所以答案为A 选项.
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，熟练找出无理数的整数范围是解题关键.
4．A
解析：A
【分析】
根据题意，利用平方根定义，绝对值的代数意义，以及有理数的乘法法则判断确定出x 与y 的值即可．
【详解】
解：∵|x |＝2，y 2＝9，且xy ＜0，
∴x=2或-2，y=3或-3，
当x=2，y=-3时，x+y=2-3=-1；
当x=-2，y=3时，原式=-2+3=1，
故选：A ．
【点睛】
此题考查了有理数的乘方，绝对值，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
对每个选项进行计算，即可得出答案.
【详解】
3=，原选项错误，不符合题意；
2=，原选项错误，不符合题意；
4=，原选项正确，符合题意；
D. 3≠，原选项错误，不符合题意.
故选：C
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的计算，重点是掌握平方根、算术平方根、立方根的性质.
6．C
解析：C
【分析】
利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案．
【详解】
原式
∵1.5＜2
∴3＜4
∴2＜＜3
故选：C ．
【点睛】
此题考查估算无理数的大小，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
先确定65介于64、125这两个立方数之间，从而可以得到45<
<，即可求得答案． 【详解】
解：∵3464=，35125=
∴6465125<<
∴45<．
故选：C
【点睛】
本题考查了无理数的估算，“夹逼法”是估算的一种常用方法，找到与65临界的两个立方数是解决问题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
根据立方根的性质得出x+y=0即可解答．
【详解】
+=，
∴x+y=0
故答案为D．
【点睛】
本题主要考查了立方根的性质，通过立方根的性质得到x+y=0是解答本题的关键．
9．A
解析：A
【分析】
根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
【详解】
2＝25，
∴25的平方根是±5，
﹣125的立方根是﹣5，
∴a＝±5，b＝﹣5，
当a＝5时，
原式＝5﹣（﹣5）＝10，
当a＝﹣5时，
原式＝﹣5﹣（﹣5）＝0，
故选：A．
【点睛】
本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．
10．B
解析：B
【分析】
根据平方根及立方根的定义逐一判断即可得答案．
【详解】
，故该选项运算错误，
=，故该选项运算正确，
2
=，故该选项运算错误，
2
=，故该选项运算错误，
8
故选：B．
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根及立方根，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；其中正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个数的立方根只有一个．
二、填空题
11．±2
【分析】
首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案．
【详解】
解：∵M是满足不等式－的所有整数a的和，
∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，
∵N是满足不等式x≤的
解析：±2
【分析】
首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案．【详解】
<<a的和，
解：∵M a
∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，
∵N是满足不等式x
∴N＝2，
∴M＋N＝±2．
故答案为：±2．
【点睛】
此题主要考查了估计无理数的大小，得出M，N的值是解题关键．
12．±27
【分析】
根据a的平方等于9，先求出a，再计算a3即可．
【详解】
∵（±3）2=9，
∴平方等于9的数为±3，
又∵33=27，（-3）3=-27．
故答案为±27．
【点睛】
本题考查了
解析：±27
【分析】
根据a的平方等于9，先求出a，再计算a3即可．
【详解】
∵（±3）2=9，
∴平方等于9的数为±3，
又∵33=27，（-3）3=-27．
故答案为±27．
【点睛】
本题考查了平方根及有理数的乘方．解题的关键是掌握平方根的概念及有理数乘方的法则. 13．【分析】
设点C表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．
【详解】
解：设点C表示的数是x，
∵数轴上1、的点分别表示A、B，且点A是BC的中点，
根据中点坐标公式可得：，解得：，
故答案
解析：2
【分析】
设点C表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．
【详解】
解：设点C表示的数是x，
∵数轴上1的点分别表示A、B，且点A是BC的中点，
根据中点坐标公式可得：=1
，解得：，
2
故答案为：
【点睛】
本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．14．4
【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.
故答案为：4．
点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根
解析：4
【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.
故答案为：4．
点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根据新定义的代数式计算即可.
15．如等，答案不唯一．
【详解】
本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于和之间的无理数有无穷
多个，因为，故而9和16都是完全平方数，都是无理数.
解析：π等，答案不唯一．
【详解】
本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，
因为2239,416==，故而9和16,15都是无理数.
16．【分析】
首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数，即可求得立方根.
【详解】
由103＝1000，1003＝1000000，就能确定是2位数．由
解析：39
【分析】
首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数，即可求得立方根.
【详解】
由103＝1000，1003＝10000002位数．由59319的个位上的数是
99，如果划去59319后面的三位319得到数59，而
33＝27、43＝64339． 故答案为：39
【点睛】
本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键．
17．255
【分析】
根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】
解：
∴对255只需要进行3次操作后变成1，
∴对256需要进行4次操作
解析：255
【分析】
根据材料的操作过程，以及常见的平方数，可知分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】
解：25515,3,1,⎡⎤===⎣⎦ ∴对255只需要进行3次操作后变成1，
25616,4,2,1,⎡⎤====⎣⎦ ∴对256需要进行4次操作后变成1，
∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255； 故答案为：255．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也要考了一个数的平方数的计算能力．
18．6
【分析】
求出在哪两个整数之间，从而判断的整数部分． 【详解】
∵，，
又∵36＜46＜49
∴6＜＜7
∴的整数部分为6
故答案为：6
【点睛】
本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解 解析：6
【分析】
的整数部分．
【详解】
∵246=，2636=，2749=
又∵36＜46＜49
∴6＜7
6
故答案为：6
【点睛】
本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解题的关键．
19．【分析】
利用非负数的性质求出x ，y 的值，代入原式计算即可得到结果
【详解】
解：∵
∴
∴
∴
故答案为：-1
【点睛】
本题考查了平方和二次根式的非负性，解题的关键是掌握计算的方法，准确地进
解析：1-
【分析】
利用非负数的性质求出x ，y 的值，代入原式计算即可得到结果
【详解】
(20y +=
∴x 20y 0+=⎧⎪⎨+=⎪⎩
∴x -2=⎧⎪⎨⎪⎩
∴
(222
2-=-=2-3=-1y 故答案为：-1
【点睛】
本题考查了平方和二次根式的非负性，解题的关键是掌握计算的方法，准确地进行化简求值.
20．1
【分析】
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数.
【详解】
由题意得2a+1+a+2=0，
解得a=-1,
∴a+2=1
解析：1
【分析】
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数.
【详解】
由题意得2a+1+a+2=0，
解得a=-1,
∴a+2=1,
∴这个正数是22
(2)11a +==，
故答案为：1.
【点睛】
此题考查平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 三、解答题
21．(I ) x=2；(Ⅱ) 3； (Ⅲ) -2017.
【分析】
(I )根据对数的定义，得出x 2=4，求解即可；
(Ⅱ)根据对数的定义求解即；；
(Ⅲ)根据log a (M •N )=log a M +log a N 求解即可．
【详解】
(I )解：∵log x 4=2，
∴x 2=4,
∴x=2或x=-2(舍去)
(Ⅱ)解：∵8=23，
∴log 28=3,
故答案为3；
(Ⅲ)解：(lg 2)2+lg 2•1g 5+1g 5﹣2018
= lg 2•( lg 2+1g 5) +1g 5﹣2018
= lg 2 +1g 5﹣2018
=1-2018
=-2017
故答案为-2017.
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，是一道关于新定义运算的题目，解答本题的关键是理解给出的对数的定义．
22．（1）①21，②6，m n +；（2）35b =；（3）65a =
【分析】
（1）①由“奇异数”的定义可得；②根据定义计算可得；
（2）由f （10m+n ）=m+n ，可求k 的值，即可求b ；
（3）根据题意可列出等式，可求出x 、y 的值，即可求a 的值.
【详解】
解：（1）①∵对任意一个两位数a ，如果a 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“奇异数”．
∴“奇异数”为21；
②f （15）=（15+51）÷11=6，f （10m+n ）=（10m+n+10n+m ）÷11=m+n ；
（2）∵f （10m+n ）=m+n ，且f （b ）=8
∴k+2k-1=8
∴k=3
∴b=10×3+2×3-1=35；
（3）根据题意有()f a x y =+
∵()510a f a -=
∴()10510x y x y +-+=
∴5410x y -=
∵x 、y 为正数，且x≠y
∴x=6，y=5
∴a=6×10+5=65
故答案为：（1）①21，②6，m n +；（2）35b =；（3）65a =
【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算，能理解“奇异数”定义是本题的关键．
23．（1）
5766⨯；9111010⨯（2）10092017（3）12n n + 【解析】
试题分析：（1）根据题目中所给的规律直接写出答案；（2）根据所得的规律进行计算即可；（3）根据所得的规律进行计算即可德结论.
试题解析：
（1）5766⨯ ， 9111010
⨯； （2）原式=
13
24352016201822334420172017⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） =
1201822017
⨯ =10092017 ; （3）12n n
+. 点睛：本题是一个数字规律探究题，解决这类问题的基本方法为：通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
24．（1）
1114545=-⨯；（2）111(1)1n n n n =-++；（3）2551
． 【解析】
试题分析：（1）规律：相邻的两个数的积的倒数等于它们的倒数的差，故第四个式子为：
1114545
=-⨯； （2）根据以上规律直接写出即可；
（3）各项提出12
之后即可应用（1）中的方法进行计算． 解：（1）答案为：
1114545=-⨯； （2）答案为：
()11111n n n n =-++； （3）111244668+++⨯⨯⨯ (1100102)
⨯ =12×（111122334++⨯⨯⨯+…+15051
⨯） =
12×5051
=2551. 点睛：本题是一道找规律问题.解题的重点要根据所给式子中的数字变化归纳出规律，而难点在于第（3）问中要灵活应用所总结出来的公式.
25．（1）20202
1-；（2）2020312-；（3）201101554
-. 【分析】
仿照阅读材料中的方法求出所求即可．
【详解】
解：（1）根据2350511222...221+++++=-
得：2320191222...2+++++=202021-
（2）设2320191333...3S =+++++，
则234202033333...3S =+++++，
∴2020331S S -=-， ∴2020312
S -= 即：2020232019311333 (32)
-+++++= （3）设232001555...5S =+++++，
则23420155555...5S =+++++，
∴201551S S -=-， ∴201514
S -=
即：20123200511555 (5)
4-+++++= 同理可求⸫10123100511555 (5)
4-+++++= ∵1011021032002320023100555...51555...5)(1555...5)++++=+++++-+++++（ 201101201101
101102103200515155555 (5444)
---∴++++=-= 【点睛】
此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
26．（1）a=﹣1，b=5，c=﹣2，数轴详见解析；（2）6；（3）运动4秒后，点Q 可以追上点P ；（4）M 对应的数为2或﹣2
23
． 【解析】
【分析】
（1）根据题意易得a ，b ，c 的值，然后在数轴上表示出来即可；
（2）当M 点在线段AB 上时，M 点到AB 两点距离之和的最小值为AB 的长； （3）用AB 的长度除以点Q 与点P 的速度差即可得解；
（4）分析M 点在不同的位置时，所得到的M 的值即可.
【详解】
（1）∵a 是最大的负整数，
∴a=﹣1，
∵b 是多项式2m 2n ﹣m 3n 2﹣m ﹣2的次数，
∴b=3+2=5，
∵c 是单项式﹣2xy 2的系数，
∴c=﹣2，
如图所示：
（2）当M 点在线段AB 上时，M 点到AB 两点距离之和的最小值为5﹣（﹣1）=6；
（3）∵动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒
12个单位长度，
点Q 的速度是每秒2个单位长度，
∴AB=6，两点速度差为：2﹣
12， ∴6÷（2﹣12
）=4， 答：运动4秒后，点Q 可以追上点P ；
（4）存在点M ，使P 到A 、B 、C 的距离和等于10，
当M在AB之间，则M对应的数是2，
当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣22 3 .
综上所述，M对应的数为2或﹣22
3．
【点睛】
本题主要考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离.解此题的关键在于根据题意准确画出数轴上各点所表示的数.。