八年级数学下册第19章矩形菱形与正方形19

知2－讲
正方形边的性质：四条边相等，邻边垂直，对边平行.
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例2 如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝3， EC＝1.连结AE，点F在射线AB上，且满足CF＝AE， 则A，F两点间的距离为___1_或__7__．
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导引：∵DE＝3，EC＝1，∴正方形ABCD的边长为4. 在Rt△ADE和Rt△CBF中， ∵AE＝CF，AD＝CB，∴Rt△ADE≌Rt△CBF， ∴BF＝DE＝3. ∵点F在射线AB上， ∴分两种情况：①当点F在线段AB上时，AF＝AB －BF＝4－3＝1；②当点F在AB的延长线上时， AF＝AB＋BF＝4＋3＝7.
知1－练
知1－练
2 已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，
那么这个条件可以是( C．AD＝BC
D．BC＝CD
知识点 2 正方形边的性质
知2－导
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方 形具有矩形的性质，同时又具有 菱形的性质．
知2－练
1 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都相等
B．四条边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
2 如图，正方形ABCD的面积为2，
则以相邻两边中点连线EF为边
的正方形EFGH的周长为( )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
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3 (中考·毕节)如图，正方形ABCD的边长为9，将正 方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为 GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( ) A．3 B．4 C．5 D．6
知3－讲
解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE. ∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE.
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4 (中考·怀化)如图，在正方形ABCD的外侧作等边 三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC等 于( ) A．45° B．55° C．60° D．75°
正方形同时具备平行四边形、矩形、菱形的所有 性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相 等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分 一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这 些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的 依据．
导引：要证EF∥AB，由于∠OBA＝ 45°，∠EOF＝90°，即需证 ∠OEF＝45°，即要证明OE＝ OF，而OE＝OF可通过证明 △AEO≌△DFO获得．
知3－讲
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AOE＝∠DOF＝90°， AO＝DO，∠OBA＝45°. ∵DG⊥AE， ∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°. 又∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO. ∴△AEO≌△DFO(ASA.)．∴OE＝OF. ∴∠OEF＝45°.∴∠OEF＝∠OBA，∴EF∥AB.
总结
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通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一 步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等 的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角 都是直角为证明三角形全等提供了条件．
知3－讲
例5 如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线， AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
导引：线段BE是Rt△ABE的一边， 但由于AE未知，不能直接用 勾股定理求BE，由条件可证 △ABE≌△AFE，问题转化为 求EF的长，结合已知条件易 获解．
知识点 3 正方形角的性质
知3－讲
动手操作：制作一张正方形纸片，通过折叠并观察， 回答下列问题. 问：它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间
有什么位置关系？有什么数 量关系？
知3－讲
1.正方形的性质： (1)①角：四个角都是直角；②对角线：对角线相等，互相
垂直平分，每条对角线平分一组对角；③既是轴对称图 形，有4条对称轴，又是中心对称图形；④面积为边长 的平方或对角线平方的一半． (2)正方形的特殊性质：①正方形的一条对角线把正方形分 成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分 成四个全等的等腰直角三角形； ②周长相等的四边形 中，正方形的面积最大． 2. 易错警示：正方形具备其他四边形的所有性质，应用时 要细心寻找．
知3－讲
例3 如图，已知正方形ABCD.求∠ABD、∠DAC、 ∠DOC 的大小.
分析：由正方形的特殊性质，可知
∠DOC＝90°.
易证△ABO≌△CBO，
从而可得∠ABD＝
1 2
90
45，
同理可得∠DAC＝45°.
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例4 已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为 O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交AO于 F，求证：EF∥AB.
第19章 矩形、菱形与正方形
19.3 正方形
第1课时 正方形及其性质
1 课堂讲解 2 课时流程
正方形的定义 正方形边的性质 正方形角的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
同学们观察下列一组图片，你发现了那些几何图形：
知识点 1 正方形的定义
知1－讲
定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正 方形； 要点精析： (1)正方形的四条边相等，说明正方形是特殊的菱形； (2)正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形．
在Rt△ABC中，AC AB2 BC2 12 12＝ 2 cm，
∴FC＝AC－AF＝( 2 －1)cm，∴BE＝( 2 －1)cm.
总结
知3－讲
解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四 边相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质 解题，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾 股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把 钥匙．
即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
知1－讲
例1 下面四个定义中不正确的是( B ) A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形 C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行 四边形叫做正方形 D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
1 下列说法错误的是( ) A．正方形是平行四边形 B．正方形是菱形 C．正方形是矩形 D．菱形和矩形都是正方形
知3－练
1 已知正方形纸片ABCD的边AB长2 cm.求这个正方 形的周长、对角线长和面积. (长度精确到0.1 cm)
2 (中考·怀化)如图，在正方形ABCD中，如果AF＝ BE，那么∠AOD的度数是________．
知3－练
3 (中考·黄冈)如图，在正方形ABCD中，点F为CD 上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则 ∠AED的度数是________．