高考数学试题汇编 圆锥曲线

2009届高考数学试题汇编 圆锥曲线
一、选择题
1、（2009福州八中）如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为 B
A
．
B
．
C
．2
D ．12
2、（2009福建省）9.已知抛物线x y 42=的焦点为F,准线与x 轴的交点为M,N 为抛物线上的
一点,且||2
3
||MN NF =
,则NMF ∠=( )A A.
6π
B
4
π
C.
3
π D.
12
5π 3、（2009福建省）定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系；在平面斜坐标系xOy 中,若21ye xe +=(其中1e 、2e 分别是斜坐标系x 轴、y 轴正方向上的单位向量,x 、y ∈R,O 为坐标系原点),则有序数对(x,y)称为点P 的斜坐标.在平面斜坐标系xOy 中,若xOy ∠=120°,点M 的斜坐标为(1,2),则以点M 为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程是( )A A. 0232
2=+--+y xy y x B. 04422
2=+--+y x y x
C. 02322=-+-+y xy y x
D. 044222=-+-+y x y x
4、（2009福州市）若抛物线2
4y x =的焦点是F ,准线是l ,则经过点F 、M （4，4）且与l 相切的圆共有（ ）．C
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个 5、（2009泉州市）
221169
sin -sin sin x y ABP A B C P A B
C P
∆-=已知的顶点、分别为双曲线：的左右焦点，顶点在双
曲线上，则的值等于
4.
5A B 5 4C . D 6、（2009厦门一中）如果直线2244ax by x y +=+=与圆有两个不同的交点，则点P （,a b ）与圆的位置关系是 A
A 、P 在圆外
B 、P 在圆上
C 、P 在圆内
D 、不能确定
二、填空题 1、（2009泉州市）
24 .F y x M N NF C =已知点为抛物线的焦点，过此抛物线上的点作其准线的垂线，垂足为若以线段为直径的圆恰
M C 好过点，则圆的标准方程是 ()2
212x y +±=
2、（2009厦门一中）椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的两焦点为1212F F F F 、，以为边作正三角形，
若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为______________
1
三、解答题
1、（2009O ．A ，直线
(01)x t t =<≤与曲线1C ．求证:曲边四边形ABOD 面积()S f t =3221
()(06f t t at a t t =-+<(2)求函数()S f t =在区间
(
解：(1)由22
2(0,0),(,)2y x O A a a y x ax ⎧=⎨=-+⎩得点 又由已知得
22
(,2),(,)B t t at D t t -+ 2分
故2222011(2)(2)()22t S x ax dx t t t at t a t =-+-⋅⋅+-+-⋅-⎰3221
6t at a t
=-+
3221
()(01)
6S f t t at a t t ∴==-+<≤ 6分
222211
(2)()2()0,20
22
:(2(2(1,f t t at a f t t at a t a t a t ''=-+=-+===≤ 令即解得或由舍去) 8分
若
2(212
a a +≥≥
即,
01,()0t f t '<≤∴≥ 21
()(1)6f t f a a ∴=-+
在区间(0,1]上单调递增,S 的最大值是 10分
2(212
a a ≤≤
≤若即, 0<t
1,
(2t a ∴<<当0时,()0f t '
>()]f t a ∴在区间上单调递增
当(21
,()0a t f t '<≤<
时(),1]f t a ∴在区间上单调递减
32
()[(2]1)3f t f a a ∴-=
的最大值是 13分
综上所述
[
]2
max
31,6()221),13
2a a a f t a a ⎧-+≥⎪⎪=⎨
+⎪<<⎪⎩ 14分
2、（2009福建省）如图,椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的一个焦点在直线l ：x=1上,离心率e=21.
(I)求椭圆方程；
(Ⅱ)如果P 、Q 为椭圆上不同的两点,且弦PQ 的中点T 在直线l 上,试证：x 轴上存在定点R,对于所有满足条件的P 、Q,恒有|RP|=|RQ|；
(III)在(Ⅱ)的条件下,△PQR 能否为等腰直角三角形?证明你的结论.
解:(I)椭圆122
22=+b
y a x (a>b>0)的一个焦点在直线l:x=1上,故c=1.………1分
又e=
2
1
,∴a=2.…………………………………………………………………………2分
由2
2
2
c b a +=得b=3.……………………………………………………………3分
∴椭圆方程为13
42
2=+y x .…………………………………………………………4分 (II)当直线PQ 的斜率存在时,设弦PQ 所在的直线方程为y=kx+b. 若k=0,则PQ 垂直于y 轴,此时PQ 中点的横坐标为0,不符合题意. y=kx+b,
若k ≠0,由 得01248)34(2
2
2
=-+++b kbx x k .…………5分
13
42
2=+y x ,
设P(11,y x )、Q(22,y x ),则3
482
21+-=
+k kb
x x .
∵PQ 中点在直线x=1上,∴3482+-k kb =2,从而k k k k b 43
4342--=--=.………6分
k
b k b kx b kx y y 23
222121-
=+=+++=+.……………………………………7分 假设x 轴上存在定点R(m,0),对于所有满足条件的P 、Q,恒有|RP|=|RQ|,
由|RP|=|RQ|得2
2222121)()(y x m y x m +-=+-,………………………………8分 ∴2
1222221)()(y y x m x m -=---,又k
y y x x 23,22121-
=+=+, ∴)(23
))(22(1212y y k x x m --
=--, 即)(2
3
))(22(1212x x x x m --=--.
∵21x x ≠,∴m=41,即R 点坐标为(4
1
,0).
当直线PQ 的斜率不存在时,直线PQ 垂直于x 轴,此时|RP|=|RQ|显然成立. 综上,x 轴上存在定点R(
4
1
,0),对于所有满足条件的P 、Q,恒有|RP|=|RQ|.…9分 (III)假设△PQR 能为等腰直角三角形,则RQ RP ∙=0,……………………………10分
即),41
(),41(2211y x y x -∙-
=O, ∴2121)41
)(41(y y x x +--=0,
0))((16
1
)(41212121=+++++-b kx b kx x x x x ,
∴2212
2167)1(b kb x x k ++-+=0, ∴22
22)43()43(21673
412
)43
(4)1(k k k k k k k k k --+--+-+---∙+=0,
∴2
2222
216)1)(916(3412
)43(4)1(k
k k k k k k +--+--
-∙
+=0, 化简得0)1)(712(22=+-k k ,
解得6
21
±
=k .………………………………………………………………………13分 又由△>0得0)124)(34(4642222>-+-b k b k , ( * ) 把k k b 43-
-=代入( * ),并整理得4
12
>k . 所以6
21
±
=k 符合题意,即在(II)的条件下△PQR 能为等腰直角三角形.……14分 3、（2009福州市）设A 、B 是椭圆223x y λ+=上的两点，点(1,3)N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点． （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；
（Ⅱ）若以线段AB 为直径的圆过线段CD 中点M ,求这个圆的方程．
【解】（Ⅰ）法1：依题意，显然AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为
λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，
整理得 222(3)2(3)(3)0k x k k x k λ+--+--=． ① ---------------------2分 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根，
∴2
2
4[(3)3(3)]0k k λ∆=+-->， ② ----------------4分 且122
2(3)
3
k k x x k -+=+，由(1,3)N 是线段AB 的中点，得
12
12
x x +=，∴2(3)3k k k -=+． 解得1k =-，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）． --------------6分 于是，直线AB 的方程为3(1)y x -=--，即40x y +-= --------------7分 法2：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有
.0))(())((33212121212
22
22121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λ
λ
--------2分 依题意，12x x ≠，∴1212
3()
AB x x k y y +=-+． ---------------------4分
∵(1,3)N 是AB 的中点，
∴122x x +=，126y y +=，从而1AB k =-． 又由(1,3)N 在椭圆内，∴2231312λ>⨯+=，
∴λ的取值范围是(12,)+∞． ----------------6分 直线AB 的方程为3(1)y x -=--，即40x y +-=． ----------------7分 （Ⅱ）∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为31y x -=-，即20x y -+=，
代入椭圆方程，整理得24440x x λ++-=． ③ -----------------9分 又设3344(,),(,)C x y D x y ，CD 的中点为00(,)M x y ，则34,x x 是方程③的两根，
∴340340011313
1,(),2,(,)22222
x x x x x y x M +=-=+=-=+=-且即．-----12分 13(,)22M -到直线AB
的距离2d ==
CD 的中点M 为圆心且与直线AB 相切的圆的方程为：22139
()()222
x y ++-=．-----------14分
4（2009泉州市）已知中心在原点、焦点在x
轴上椭圆，离心率为3
A （1,1） （Ⅰ）求椭圆方程；
()∏如图，B 为椭圆右顶点，椭圆上点C 与A 关于原点对称，过点A 作两条直线交椭圆P 、Q
（异于A 、B ），交x 轴与,,P Q AP AQ ''''=若,求证：存在实数PQ BC λλ=，使得
解：（Ⅰ）设椭圆方程为()222210.x y a
b
a b
+=
2232
c c a a ==由得 ① 点A(1,1)在椭圆上，22
11
1a b ∴+= ② 又2
2
2
a b c =+ ③
故所求椭圆方程为22
3144
x y += （Ⅱ）由A(1,1)得C(-1,1)
则()()011213
BC k --=
=--
易知AP 的斜率k 必存在，设AP ；()11,y k x =-+则():11,AQ y k x =--+
由()()()22
222311361361044
11x y k x k k x k k y k x ⎧+
=⎪+--+--=⎨⎪=-+⎩
得 由A(1,1)得(
)()2
2
2113613610x k
x
k k x k k =+--+--=是方程的一个根
由韦达定理得：22
361
113p p k k x x k --=⋅=+ 以-k 代k 得22
361
13Q k k x k
+-=+ P Q PQ P Q
y y k x x -=
-故
()k 21 =
=3
P Q P Q
x x k
x x +-- 故BC PQ
即存在实数,PQ BC λλ
=使得
5、（2009厦门一中）如图所示，点(1,0).T N A R y x 点在轴上运动，在轴上，为动点，
且0,0,RT RA RN RT →
⋅=+=
（1）设动点N 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；
（2）过点B （-2，0）的直线l 与曲线C 交于点P 、Q ，若在曲线C
上存在点M ，使得MPQ PQ l ∆为以为斜边的直角三角形，求直线 的斜率k 的取值范围，
解：（1）设(,)N x y ，由0RN RT -
+=知：R 是TN 的中点，…………………1分 则(,0),(0,),0(,)(1,)0222
y y y T x R RT RA X -⋅=⇔---=………………3分 则24y x =就是点N 的轨迹曲线C 的方程：……………5分
（2）设直线l 的方程为2x my =-，代入曲线C 的方程2
4y x =， 得 2
480,y m y -+=此方程有两个不等实根， 2
2
16320,2m m ∆=->>即
M 在曲线C 上，P 、Q 是直线l 与曲线C 的交点，设
2
11
22(,),(,),(,),4
t M t P x y Q x y 则1214,8y y m y y +==，ΔMOQ 是以PQ 为斜边的直
角三角形，22
12120,()()()()044
t t MP MQ MP MQ x x y t y t ∴⊥∴⋅=--+--=即……
…………………………………………………………………………………………8分
22222212121211
,,()()()04416
y y x x y t y t y t =∴--+-=，显然120,0y t y t -≠-≠，
21
2
1
2
212()160,()()160,84160y y y y t t y t y t mt t ⋅++++=∴+++=∴+++=……………10分
t 为点M 的坐标，∴关于t 的方程24240t mt ++=有实根，216960m ∴∆=-≥。

26m ∴≥，直线l 的斜率1,0k k m =
∴≠且216
k ≤，
0k ≤<或0k <≤
……………………………………………………13分。