人教a版必修1学案1.3函数的基本性质(含答案)

1.3 函数的基本性质
【入门向导】 数学与科技
根据人类消耗的能源结构比例图的图象，简要说明近150年来人类消耗的能源结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．
由图象可以看出近150年来人类消耗木材比例一直减少；消耗的煤炭比例先逐渐增多，到1940年左右达到最大值，以后又逐渐变少；从1880年左右开始消耗石油，到1990年左右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然气从1900年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增大，核能从1980年左右开始被应用，所占比例逐渐增大．太阳能呢？
从图象可以看出100年内，木材一般不会再作为能源消耗，煤炭、石油所占比例在逐渐变小，天然气、核能所占比例在逐渐增大，新开发的能源，水化物和太阳能所占比例也逐渐增大．
解读函数的单调性
一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质
1．这个区间可以是整个定义域．如y ＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递增的，y ＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质．
2．这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如y ＝x 2－2x ＋1在整个定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但是在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质．
3．有的函数无单调性．如函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，x 为有理数，0，x 为无理数，它的定义域是(－∞，＋∞)，但无单调性可言，又如y ＝x 2＋1，x ∈{0,1,2}，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上具有单调性．
二、单调性的证明与判断
函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法．严格按照单调性定义进行证明．主要步骤有如下五步：
(1)取值：定义域中x 1，x 2的选取，选取x 1，x 2时必须注意如下三点：
①x 1，x 2取值的任意性，即“任意取x 1，x 2”中，“任意”二字不能省略或丢掉，更不可随意取两个特殊值替代x 1，x 2；
②x 1与x 2有大小，一般规定x 1<x 2；
③x 1与x 2同属一个单调区间．
(2)作差：指求f (x 2)－f (x 1)．
(3)变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即将②中的差式f (x 2)－f (x 1)进一步化简变形，变到利于判断f (x 2)－f (x 1)的正负为止．常用的变形技巧有：通分、因式分解、有理化、配方等．一般变形结果是将和差变形为积商，这样才便于定号．
(4)定号：根据变形结果，确定f (x 2)－f (x 1)的符号．
(5)判断：根据x 1与x 2的大小关系及f (x 1)与f (x 2)的大小关系，结合单调性定义得出结论．
例1 证明：函数y ＝x 3(x ∈R )是增函数．
证明 设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1<x 2，则
f (x 1)－f (x 2)＝x 31－x 32＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)
＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22
]． ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0.
易得(x 1＋12x 2)2＋34x 22
≥0. ∵上式等于零的条件是⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝－12x 2，x 2＝0，
即x 1＝x 2＝0，显然不成立，∴(x 1＋12x 2)2＋34x 22
>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．
∴函数y ＝x 3(x ∈R )是增函数．
三、单调区间的求解
1．本节单调区间的求解主要是观察法得单调区间再进行证明，或者是图象法求出单调区间，对于利用定义探索函数单调区间问题，由于难度大，要求不可过高，适当了解即可．(单调区间的求解问题随着进一步学习，我们会找到更简单快捷的方法——导数法)
2．书写单调区间时，注意区间端点的写法．
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点，因此，书写单调区间时，不妨约定“能闭则闭，须开则开”．
函数奇偶性学法指导
一、学习要点
1．要注意准确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：
(1)定义域在数轴上关于原点对称，方可讨论函数f (x )的奇偶性．
(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．
2．奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进
行化简或应用定义的等价形式，即：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f (－x )f (x )
＝±1(f (x )≠0)． 3．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形，反之亦成立．因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性和简化一些函数图象的画法．
4．按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
5．在公共定义域内：
(1)奇函数与奇函数的和(差)仍是奇函数；偶函数与偶函数的和(差)仍是偶函数；非零的奇函数与偶函数的和(差)是非奇非偶函数．
(2)奇函数与奇函数的积(商)是偶函数；偶函数与偶函数的积(商)是偶函数；奇函数与偶函数的积(商)是奇函数．
以上两条同学们可以自行验证．
6．设f (x )是定义域关于原点对称的一个函数，则F 1(x )＝f (x )＋f (－x )为偶函数，F 2(x )＝f (x )－f (－x )为奇函数．
7．奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相反．
二、典型例题选析
例2 当a ，b ，c 满足什么条件时，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是：(1)奇函数；(2)偶函数；(3)既奇又偶函数；(4)非奇非偶函数．
解 (1)若是奇函数，应有f (－x )＝－f (x )，
于是有ax 2－bx ＋c ＝－ax 2－bx －c ，
即ax 2＋c ＝0对定义域内所有实数都成立，
所以只有a ＝c ＝0.
(2)若是偶函数，则有f (－x )＝f (x )，于是有
ax 2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c ，
即2bx ＝0对定义域内所有实数都成立，
所以只有b ＝0.
(3)若既是奇函数又是偶函数，
则由(1)和(2)知a ＝b ＝c ＝0.
(4)若是非奇非偶函数，则f (－x )≠－f (x )，f (－x )≠f (x )，
即⎩⎪⎨⎪⎧
ax 2－bx ＋c ≠－ax 2－bx －c ，ax 2－bx ＋c ≠ax 2＋bx ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋c ≠0，bx ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ≠0或c ≠0，
b ≠0. 所以a ≠0且b ≠0或
c ≠0且b ≠0时，
f (x )为非奇非偶函数．
例3 已知f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx －8，且f (－2)＝10，求f (2)的值．
解 令g (x )＝f (x )＋8＝ax 5＋bx 3＋cx ，
显然g (x )是奇函数，即g (－2)＝－g (2)．
又g (－2)＝f (－2)＋8＝18，
所以f (2)＝g (2)－8＝－26.
判断函数奇偶性的常见错误
一、忽略定义域出错
例4 判断f (x )＝x 4－x 3
1－x
的奇偶性． 错解 因为f (x )＝x 4－x 31－x ＝x 3(1－x )1－x
＝x 3， 显然f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．
剖析 判断函数奇偶性，首先要看函数的定义域，若定义域是关于原点的对称区间，则函数可能具有奇偶性；否则，函数一定不具有奇偶性．其次，要看f (x )与f (－x )之间的关系．
正解 函数的定义域为{x |x ≠1}．显然，它的定义域不关于原点对称，于是该函数为非奇非偶函数．
二、忽视对参数的讨论
例5 判断函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1(a ∈R )的奇偶性．
错解 显然函数定义域为R .
因为f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，
所以f (－a )≠f (a )，且f (－a )≠－f (a )，
所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．
剖析 此解法错在没有对参数进行讨论，未考虑到a ＝0这种特殊情形，以致解题出错．
正解 当a ＝0时，
函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1
＝x 2＋|x |＋1＝f (x )，
此时f (x )为偶函数；当a ≠0时，
f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，
f (－a )≠f (a )，f (－a )≠－f (a )，
此时f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．
三、忽视特殊函数f (x )＝0的存在
例6 判断函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1的奇偶性．
错解 定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f (－x )＝1－(－x )2＋(－x )2－1
＝1－x 2＋x 2－1＝f (x )，
所以函数f (x )是偶函数．
剖析 上述解法忽视了定义域关于原点对称的函数f (x )＝0，既是奇函数又是偶函数．
正解 函数定义域为{－1,1}，此时f (x )＝0，
因而f (x )既是奇函数又是偶函数．
四、不明分段函数奇偶性概念致错
例7 判断f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋3， x <0，3， x ＝0，
－x 2＋2x －3 x >0，的奇偶性．
错解 当x >0时，－x <0，
f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3
＝－(－x 2＋2x －3)＝－f (x )．
当x <0时，－x >0，
f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )－3
＝－(x 2＋2x ＋3)＝－f (x )．
所以f (x )是奇函数．
剖析 尽管对于定义域内的每一个不为零的x ，都有f (－x )＝－f (x )成立，但当x ＝0时，f (0)＝3≠－f (0)，所以函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数.
断函数单调性的方法
一、用定义证明函数的单调性
例1 证明：函数f (x )＝－x 在定义域上是减函数．
证明 f (x )＝－x 的定义域为[0，＋∞)，
设0≤x 1<x 2，则x 2－x 1>0，
且f (x 2)－f (x 1)＝(－x 2)－(－x 1)＝x 1－x 2
＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2
， ∵x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，
∴f (x 2)－f (x 1)<0，
即f (x 2)<f (x 1)．
∴f (x )＝－x 在定义域[0，＋∞)上是减函数．
点评 (1)有的同学认为由0≤x 1<x 2，得0≤x 1<x 2多么直接呢，其实这种证明方法不正确，因为我们没有这样的性质作依据．其次，这种证明利用了函数y ＝x 的单调性，而y ＝x 的单调性，我们没有证明，因此不能直接使用．
(2)在本题的证明中，我们使用了“分子有理化”这种证明技巧，在今后的学习中，我们还会经常遇到，因此要注意观察这类题目的结构特点，在今后的学习中学会使用这种方法．
例2 已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )对任意x ，y ∈(0，＋∞)，恒有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当0<x <1时f (x )>0，判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性．
分析 抽象函数单调性的判断要紧扣定义，并且要注意对原题条件的应用．
解 设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1x 2
·x 2)－f (x 2) ＝f (x 1x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1x 2
)． ∵x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，
∴0<x 1x 2<1，∴f (x 1x 2
)>0. ∴f (x 1)>f (x 2)．
∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．
二、利用已知函数的单调性判断较复杂函数的单调性
例3 求函数f (x )＝－x 2＋a x
(a >0)的单调区间．
分析 此函数可化为f (x )＝－x ＋a x ，可根据y ＝1x
的单调性判断． 解 f (x )＝－x 2＋a x ＝－x ＋a x
. ∵a >0，y ＝a x
的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)， y ＝－x 在R 上单调递减，
∴f (x )＝－x 2＋a x
(a >0)的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)． 点评 运用已知的结论，直接得到函数的单调性．如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出．了解以下结论，对于直接判断函数的单调性有好处：
①函数y ＝－f (x )与函数y ＝f (x )在相对应的区间上的单调性相反．
②当f (x )恒为正或恒为负时，函数y ＝1f (x )
与y ＝f (x )在相对应的区间上的单调性相反． ③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等．
三、图象法
例4 求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调区间．
分析 “脱去”绝对值符号，画出函数图象，由图象观察得出．
解 当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；
当x <0时，
y ＝－x 2－2x ＋3
＝－(x ＋1)2＋4.
画出图象如图所示：
故在(－∞，－1]和[0,1]上，函数是增函数；
在[－1,0]和[1，＋∞)上，函数是减函数．
函数单调性的应用
一、比较大小
例5 若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小．
解 依题意可知f (x )的对称轴为x ＝2，
∴f (－1)＝f (5)．
∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，
∴f (2)<f (4)<f (5)，
即f (2)<f (4)<f (－1)．
点评 (1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；
(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．
二、解不等式
例6 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数，且f (t －1)<f (1－2t )，求实数t 的取值范围．
解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<t －1<1，－1<1－2t <1，
t －1<1－2t ，解得0<t <23
. 点评 (1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式；
(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围；
(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错．
三、求参数的值或取值范围
例7 已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a 的取值范围．
解 任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，
则Δx ＝x 2－x 1>0.
Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 32－ax 2)－(x 31－ax 1)
＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22－a )．
∵1≤x 1<x 2，∴x 21＋x 1x 2＋x 22>3.
显然不存在常数a ，使(x 21＋x 1x 2＋x 22－a )恒为负值．
又f (x )在[1，＋∞)上是单调函数，
∴必有一个常数a ，使x 21＋x 1x 2＋x 22－a 恒为正数，
即x 21＋x 1x 2＋x 22>a .
当x 1，x 2∈[1，＋∞)时，x 21＋x 1x 2＋x 22>3，
∴a ≤3.此时，
∵Δx ＝x 2－x 1>0，∴Δy >0，
即函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，
∴a 的取值范围是(0,3]．
四、利用函数单调性求函数的最值
例8 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x
，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝4时，求f (x )的最小值；
(2)当a ＝12
时，求f (x )的最小值； (3)若a 为正常数，求f (x )的最小值．
解 (1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x
＋2，易知，f (x )在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6.
(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x
＋2. 易知，f (x )在[1，＋∞)上为增函数．
∴f (x )min ＝f (1)＝72
. (3)函数f (x )＝x ＋a x
＋2在(0，a ]上是减函数， 在[a ，＋∞)上是增函数．
若a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋∞)上先减后增，
∴f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2.
若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，
∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.
五、利用函数单调性证明不等式
例9 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b >c .
求证：a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c
. 证明 设f (x )＝x 1＋x
(x >0)， 设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 1－x 21＋x 2
＝x 1－x 2(1＋x 1)(1＋x 2)
<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，
∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
∵a ＋b >c ，∴f (a ＋b )>f (c )，
即a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c
.
又f (a )＋f (b )＝a 1＋a ＋b 1＋b >a 1＋a ＋b ＋b 1＋a ＋b
＝a ＋b 1＋a ＋b
， ∴a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c
. 点评 本题通过构造函数，利用函数单调性证明不等式．
判断函数奇偶性的方法
函数奇偶性是函数的一个重要性质，在各种考试中屡次出现，其表现形式多种多样，求解方法也不单一，不同的形式对应不同的解决策略．现介绍三种常见的方法，供同学们学习时参考．
一、定义法
首先求出函数的定义域，确定其定义域是否关于原点对称，若对称再利用f (－x )＝f (x )(符合为偶函数)或f (－x )＝－f (x )(符合为奇函数)，否则既不是奇函数也不是偶函数．
例10 判断函数f (x )＝4－x 2
|x ＋3|－3
的奇偶性． 解 要使函数有意义，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0， 解得－2≤x ≤2且x ≠0，
此函数的定义域[－2,0)∪(0,2]关于原点对称，且满足x ＋3>0，
则函数f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2
x ， f (－x )＝4－(－x )2－x
＝－4－x 2
x ＝－f (x )， 故函数f (x )＝4－x 2
|x ＋3|－3
是奇函数． 点评 判断函数的奇偶性时，首先一定要观察函数定义域是否关于原点对称，这是判断奇偶性的前提条件．
二、等价转化法
利用函数奇偶性定义的等价形式进行处理，往往借助f (－x )±f (x )＝0来解决，方法比较简便．
三、图象法
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．
例11 判断函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|的奇偶性．
解 f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|
＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x >2，4， －2≤x ≤2，
－2x ， x <－2，
其图象(如图)关于y 轴对称，该函数为偶函数．
点评 利用图象法(数形结合法)解题，形象直观、清晰可见．同时数形结合思想一直都是高考考查的重点，同学们要注意领会．
一道课本习题的拓展
证明：(1)若f (x )＝ax ＋b ，则f (x 1＋x 22)＝f (x 1)＋f (x 2)2
；
(2)若f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)2
. 探究 x 1＋x 22为自变量x 1、x 2中点，x 1＋x 22对应的函数值f (x 1＋x 22)为“中点的纵坐标”．而12
[f (x 1)＋f (x 2)]为x 1、x 2对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点”．f (x )＝ax ＋b 的图象为直线，所以“中
点的纵坐标”等于“纵坐标的中点”，即有f (x 1＋x 22)＝f (x 1)＋f (x 2)2
.而f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象为开口向上的抛物线，图象向下凹进，由图象可得到“中点的纵坐标”不大于“纵坐标的中点”，即有f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)2
. 拓展 在给定区间内，若函数f (x )的图象向上凸出，则函数f (x )在该区间上为凸函数，结合图象易得到f (x 1＋x 22)≥f (x 1)＋f (x 2)2
；在给定区间内，若函数f (x )的图象向下凹进，则函数f (x )在该区间上为凹函数，结合图象易得到f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)2
.这一性质，可以称为函数的凹凸性．
活用函数的基本性质
掌握函数与方程的互化，构造函数求值
某些求值问题，若能根据问题的结构特征，注重揭示内在联系，挖掘隐含因素，用运动、变化、相互联系的函数观点来分析、处理变量之间的联系，利用函数的单调性，借助函数的奇偶性把问题解决．
例12 已知实数x ，y 满足(x ＋x 2＋1)·(y ＋y 2＋1)＝1，求x ＋y 的值．
解 由已知条件可得
x ＋x 2＋1＝－y ＋(－y )2＋1.
构造函数f (t )＝t ＋t 2＋1.
显然f (t )＝t ＋t 2＋1是R 上递增函数．
因为f (x )＝f (－y )，所以x ＝－y ，即x ＋y ＝0.
例13 已知(x ＋2y )5＋x 5＋2x ＋2y ＝0，求x ＋y 的值．
解 已知方程化为(x ＋2y )5＋(x ＋2y )＝－(x 5＋x )．①
由①式的结构，构造函数f (t )＝t 5＋t .
显然，f (t )是奇函数，且在R 上单调递增．
由于①式可写成f (x ＋2y )＝－f (x )＝f (－x )，
所以有x ＋2y ＝－x ，即x ＋y ＝0.
三种数学思想在函数奇偶性中的应用
一、数形结合思想
例14 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为______________．
解析 注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思想方法画全函数f (x )在[－5,5]上的图象
(如图所示)，数形结合，得f (x )<0的解集为{x |－2<x <0或2<x ≤5}．
答案 (－2,0)∪(2,5]
二、分类讨论思想 例15 已知函数f (x )＝x 2＋a x
(x ≠0，a ∈R )，试判断f (x )的奇偶性．
解 当a ＝0时，f (x )＝x 2，
对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，
∴f (x )为偶函数．
当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x
(a ≠0，x ≠0)， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，
f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，
∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，
∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．
三、方程思想
例16 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝x ＋m x 2＋nx ＋1
，试求f (x )． 分析 利用奇函数的性质、定义求出参数m 、n 的值是关键．
解 由f (0)＝0知m ＝0.
由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，
即－x ＋0x 2－nx ＋1＝－x ＋0x 2＋nx ＋1
， ∴x 2－nx ＋1＝x 2＋nx ＋1，
∴n ＝0.∴f (x )＝x x 2＋1
.
二次函数在某区间上的最值——思维规律解读
一、定函数在定区间上的最值
例17 求函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[－1,4]上的最大值和最小值．
解 f (x )＝(x －1)2＋1，其对称轴为x ＝1.
因为函数对称轴x ＝1在区间[－1,4]内，
又函数开口向上，所以当x ＝1时，f (x )取到最小值为1.
又f (－1)＝5，f (4)＝10，
所以在x ＝4时，f (x )取到最大值为10.
二、定函数在动区间上的最值
例18 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[t ，t ＋1]上的最小值为g (t )，求g (t )的表达式．
解 f (x )＝(x －1)2＋1，其对称轴为x ＝1.
当t ＋1<1时，即t <0时，区间[t ，t ＋1]在对称轴的左侧，f (x )在此区间上是减函数．
所以此时g (t )＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2－2(t ＋1)＋2＝t 2＋1.
当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，对称轴x ＝1在此区间内，
又函数开口向上．
所以此时g (t )＝f (1)＝12－2＋2＝1.
当t >1时，区间[t ，t ＋1]在对称轴的右侧，f (x )在此区间上是增函数．
所以此时g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.
综上得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1， t <0，1， 0≤t ≤1，
t 2－2t ＋2， t >1.
三、动函数在定区间上的最值
例19 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3在区间[－2,2]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式．
解 f (x )＝(x ＋a 2)2＋3－a 24
， 其对称轴为x ＝－a 2
. 当对称轴x ＝－a 2
在区间[－2,2]的右侧，
即－a 2
≥2，a ≤－4时，f (x )在此区间上是减函数． 所以此时g (a )＝f (－2)＝7－2a .
当对称轴x ＝－a 2在区间[－2,2]内时，如果－2<－a 2
<0， 即0<a <4时，x ＝2距离对称轴较远，
所以此时f (x )在x ＝2时取到最大值，
为g (a )＝f (2)＝7＋2a ；
如果0<－a 2
<2，即－4<a <0时， 则x ＝－2距离对称轴较远，此时f (x )在x ＝－2时取到最大值，为g (a )＝f (－2)＝7－2a .
当对称轴x ＝－a 2
在区间[－2,2]的左边， 即－a 2
≤－2，a ≥4时，f (x )在此区间上是增函数． 所以此时g (a )＝f (2)＝7＋2a .
综上得：g (a )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ 7＋2a ， a >0，7－2a ， a ≤0. 四、动函数在动区间上的最值
例20 设a 为实数，函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1(x ∈R )，求f (x )的最小值．
解 ①当x ≤a 时，
函数f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋a ＋34
， 若a ≤12
，则函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减， 从而f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1；
若a ＞12
，则f (x )在(－∞，a ]上的最小值为 f ⎝⎛⎭⎫12＝34＋a .
②当x ≥a 时，
f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－a ＋34
， 若a ≤－12
，则函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为 f ⎝⎛⎭⎫－12＝34
－a ； 若a ＞－12
，则函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1. 综上，当a ≤－12时，函数f (x )的最小值为34
－a ； 当－12＜a ≤12
时，函数f (x )的最小值为a 2＋1； 当a ＞12时，函数f (x )的最小值为a ＋34
. 点评 当二次函数在某个区间上求最值时，其关键在于明确函数的对称轴与自变量取值范围的相对位置关系，分对称轴在区间内、在区间左边、在区间右边三种情况讨论．
形如“y ＝x ＋a x
(a >0)”的函数图象的探究
例21 试探究函数f (x )＝x ＋a x
(a >0)，x ∈(0，＋∞)的单调区间． 解 任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2
＝
(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2
. 由于x 1－x 2及x 1x 2的符号已定，
从而f (x 1)－f (x 2)的符号取决于x 1x 2－a 的符号．
由于x 1，x 2只能取f (x )的某个单调区间上的值，因此考虑x 1＝x 2这一极端情形，
则x 1x 2－a ＝x 21－a ，若为零，得x 1＝x 2＝a ，
从而将定义域(0，＋∞)分为两个区间(0，a )及[a ，＋∞)，
由此讨论它的单调性即可．
任取0<x 1<x 2<a ，则x 1－x 2<0，
0<x 1x 2<a ，所以x 1x 2－a <0.
于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．
所以函数f (x )在(0，a )上单调递减．
同理可知，函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增． 由f (x )是奇函数，知f (x )在(－∞，－a )上单调递增，在(－a ，0)上单调递减．
由函数的单调性及奇偶性，可作出如下图象：
知识延伸 (1)函数y ＝x ＋a x
(a >0)是一个常用且重要的函数，其图象如图所示，记住这个图象和性质会给解题带来方便．
(2)对形如f (x )＝x 2＋2x ＋3x
这种“分式型”的函数，求它在区间[a ，b ]上的最值，常用“分离变量”法转化为y ＝x ＋a x
(a >0)模型求解．
谈复合函数的单调性
设y ＝f (t )是t 的函数，t ＝g (x )是x 的函数，若t ＝g (x )的值域是y ＝f (t )定义域的子集，则y 通过中间变量t 构成x 的函数，称为x 的复合函数，记作y ＝f (t )＝f [g (x )]．
如函数y ＝1－x ，若设t ＝1－x ，则y ＝t .这里t 是x 的函数，y 是t 的函数，所以y ＝1－x 是x 的复合函数，把t 称为中间变量．
问题1 已知函数y ＝f (t )的定义域为区间[m ，n ]，函数t ＝g (x )的定义域为区间[a ，b ]，值域D ⊆[m ，n ]．若y ＝f (t )在定义域内单调递增，t ＝g (x )在定义域内单调递增，那么y ＝f [g (x )]是否为[a ，b ]上的增函数？为什么？
探究 y ＝f [g (x )]是区间[a ，b ]上的增函数．证明如下：
任取x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1<x 2，则t 1＝g (x 1)，t 2＝g (x 2)，且t 1，t 2∈[m ，n ]．
因为t ＝g (x )在[a ，b ]上递增，所以g (x 1)<g (x 2)，即t 1<t 2，而y ＝f (t )在[m ，n ]递增，故f (t 1)<f (t 2)，即f [g (x 1)]<f [g (x 2)]，所以y ＝f [g (x )]在[a ，b ]上是增函数．
问题2 若将g (x )在区间[a ，b ]上“递增”改为“递减”或将f (x )在区间[m ，n ]上“递增”改为“递减”等，这时复合函数y ＝f [g (x )]在区间[a ，b ]上的单调性又如何呢？
探究 利用解决问题1的方法就可以得出相应的结论(你不妨一试)．由此可得到如下复合函数单调性的结论：
义域；要确定t ＝g (x )(常称内层函数)的值域，否则无法确定f (t )(常称外层函数)的单调性．
例22 求函数y ＝1(x ＋1)2的单调区间．
解 函数y ＝1(x ＋1)2
的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 设t ＝(x ＋1)2，则y ＝1t
(t >0)． 当x ∈(－∞，－1)时，t 是x 的减函数，y 是t 的减函数，
所以(－∞，－1)是y ＝1(x ＋1)2
的递增区间； 当x ∈(－1，＋∞)时，t 是x 的增函数，y 是t 的减函数，
所以(－1，＋∞)是y ＝1(x ＋1)2
的递减区间． 综上知，函数y ＝1(x ＋1)2
的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)． 试一试 求y ＝1x 2－2x －3
的单调区间． 解 由x 2－2x －3≠0，得x ≠－1或x ≠3，
令t ＝x 2－2x －3(t ≠0)，则y ＝1t
， 因为y ＝1t
在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数， 而t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)，(－1,1)上为减函数，
在(1,3)，(3，＋∞)上是增函数，所以函数y ＝1x 2－2x －3
的递增区间为(－∞，－1)，(－1,1)， 递减区间为(1,3)，(3，＋∞).
函数基本性质如何考？
1．(辽宁高考)设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( )
A ．－3
B ．3
C ．－8
D ．8 解析 因为f (x )是连续的偶函数，且x >0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f (x )＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4，只有两种情况：
①x ＝x ＋3x ＋4； ②x ＋x ＋3x ＋4
＝0. 由①知x 2＋3x －3＝0，故两根之和为x 1＋x 2＝－3.
由②知x 2＋5x ＋3＝0，故两根之和为x 3＋x 4＝－5.
因此满足条件的所有x 之和为－8.
答案 C
2．(全国Ⅱ高考)函数f (x )＝1x
－x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y ＝x 对称
解析 f (x )＝1x
－x 的定义域为{x |x ≠0}， ∵f (－x )＝－1x
＋x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －x ＝－f (x )． ∴f (x )是一个奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称．
答案 C
3．(重庆高考)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( )
A ．f (x )为奇函数
B ．f (x )为偶函数
C ．f (x )＋1为奇函数
D ．f (x )＋1为偶函数
解析 令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝2f (0)＋1，所以f (0)＝－1.
令x 2＝－x 1，得f (0)＝f (x 1)＋f (－x 1)＋1，
即f (－x 1)＋1＝－f (x 1)－1.所以f (x )＋1为奇函数．
答案 C
4．(湖南高考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1]
C ．(0,1)
D ．(0,1]
解析 结合图象，由f (x )在[1,2]上为减函数知a ≤1，
由g (x )在[1,2]上是减函数知a >0.∴0<a ≤1.
答案 D
5．(上海高考)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝____________.
解析 ∵f (－x )＝f (x )且f (x )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2，
∴b (－x )2＋(2a ＋ab )(－x )＋2a 2＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2，
∴－(2a ＋ab )＝2a ＋ab ，即2a ＋ab ＝0，∴a ＝0或b ＝－2.
当a ＝0时，f (x )＝bx 2，∵f (x )值域为(－∞，4]，
而y ＝bx 2值域不可能为(－∞，4]，∴a ≠0.
当b ＝－2时，f (x )＝－2x 2＋2a 2，值域为(－∞，2a 2]．
∴2a 2＝4，∴a 2＝2.∴f (x )＝－2x 2＋4.
答案 －2x 2＋4
6．(上海高考)若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b ，的取值范围是________．
解析 f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ ax －ab ＋2 (x ≥b )，－ax ＋ab ＋2 (x <b ). ∵函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，
∴必有a >0，且[0，＋∞)是[b ，＋∞)的子集，
即a >0，且b ≤0.
答案 a >0且b ≤0。