【全国市级联考】河北省唐山市2017届高三第三次模拟考试理数试题(解析版)

唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,,
故选A.
2. 已知为虚数单位，，则复数的共轭复数为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,故选B.
3. 总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的4个个体的编号为（）
66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90
57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 83 20 37 90
A. 05
B. 09
C. 11
D. 20
【答案】B
【解析】从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，符合条件的数有14，05，11，05，09因为05出现了两次，所以选出来的4个个体的编号为09.
4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（）
A. B. 或 C. 2 D. ...
【答案】D
【解析】由题
5. 执行下图程序框图，若输出，则输入的为（）
A. 或或1
B.
C. 或1
D. 1
【答案】C
【解析】由题当时，,当时，,综上. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
6. 数列是首项，对于任意，有，则前5项和（）
A. 121
B. 25
C. 31
D. 35
【答案】D
【解析】令,有,等差，首项为1，公差为3，
,.
7. 某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）
A. 4
B. 8
C.
D.
【答案】C
【解析】由题可知，几何体是三棱锥，底面是边长为2的等腰直角三角形，且顶点到底面的距离为2，
.
8. 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,所以为偶函数,图象关于轴对称，又
,所以选A.
9. 若，则（）
A. 1
B. 513
C. 512
D. 511
【答案】D
【解析】令，得,令,得
10. 函数（）在内的值域为，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】且在内的值域为可得可得
...
11. 抛物线的焦点为，为准线上一点，为轴上一点，为直角，若线段的中点在抛物线上，则的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设在抛物线上可得,由抛物线的对称性，不妨设，
，可得,由两点距离公式可得
点晴：本题考查的是抛物线中的直角三角形面积问题，先根据的中点在抛物线上，确定点的坐标，再根据为直角，可得点的坐标，由两点距离公式可得
12. 已知函数有两个极值点，且，若，函数
，则（）
A. 恰有一个零点
B. 恰有两个零点
C. 恰有三个零点
D. 至多两个零点
【答案】B
【解析】由已知
,,由题可知,代入上式可得，所以
恰有两个零点.
点晴：本题考查的是函数的零点问题，解决本题的关键有两个，一方面利用题目条件
有两个极值点得到的关系，并且通过作差化简整理得
，两者结合可得从而得到
恰有两个零点.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量，，则在方向上的投影为__________．
【答案】
【解析】在方向上的投影为.
14. 直角的三个顶点都在球的球面上，，若三棱锥的体积为2，则该球的表面积为__________．
【答案】
【解析】由题可知是截面小圆的直径，所以截面小圆的半径,又
,所以
15. 已知变量满足约束条件，目标函数的最小值为，则实数
____________.
【答案】
【解析】约束条件对应的可行域为三角形区域，
其中顶点，由得,经过点时取得最小值-5，即
.
点晴：本题考查的是线性规划问题中的已知最值求参数的问题，线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得.
16. 数列的前项和为，若，则__________．
【答案】
【解析】，两式相减得，两边乘以得，是等差数列, 又令
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）...
17. 在中，角，，所对应的边分别为，，，.
（1）求证：；
（2）若，为锐角，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理及，结合化简可得.
（Ⅱ）表示，再由知
，和为锐角，得.求值域可得.
试题解析：（Ⅰ）由根据正弦定理得，
即，
，
，
得．
（Ⅱ）由余弦定理得，
由知，
由为锐角，得，所以.
从而有.
所以的取值范围是.
18. 某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：
若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”.
（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？
（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动.
（i）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；
（ii）记抽取的“读书迷”中男生人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】（Ⅰ）320人;（Ⅱ）（ⅰ）;（ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）按比例列式，解得.
（Ⅱ）（ⅰ）借助其对立事件，可求概率.
（ⅱ）列出可能取0，1，2，3.并求各可能值的概率，列出分布列，求期望.
试题解析：（Ⅰ）设该校4000名学生中“读书迷”有人，则，解得.
所以该校4000名学生中“读书迷”约有320人.
（Ⅱ）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率：
.
（ⅱ）可取0，1，2，3.
，，
，，
的分布列为：
.
19. 如图，平行四边形中，，，，，分别为，的中点，
平面.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析;（2）.
【解析】试题分析：（1）由已知条件证明，又因为，，可得平面. （2）以为坐标原点，建立如空间直角坐标系，求解即可.
试题解析：（1）连接，因为平面，平面，所以，
在平行四边形中，，，
所以，，
从而有，
所以，
又因为，
所以平面，平面，
从而有，
又因为，，
所以平面.
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，...
因为平面，所以，
又因为为中点，所以，
所以，，
，，，
设平面的法向量为，
由，得，，
令，得.
设直线与平面所成的角为，则：
，
即直线与平面所成角的正弦值为
20. 已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与圆相切于点，且与椭圆相交于不同的两点，，求的最大值.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）2.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知列式，，可得椭圆方程.
（Ⅱ）由直线与圆相切，得，即，
再由代入，联立结合韦达定理可得
利用均值不等式求最值即可.
试题解析：（Ⅰ）由已知可得，，解得，，
所以椭圆Γ的方程为．
（Ⅱ）当直线垂直于轴时，由直线与圆：相切，
可知直线的方程为，易求.
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
由直线与圆相切，得，即，
将代入，整理得，
设，，则，，
，
又因为，
所以，...
当且仅当，即时等号成立，
综上所述，的最大值为2.
点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
21. 已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间有唯一零点，证明：.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得，分，，，三种情况讨论可得单调区间.
（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即且
所以，且，消去得，构造函数，证明单调且零点存在且唯一即可.
试题解析：（Ⅰ），，
令，，
若，即，则，
当时，，单调递增，
若，即，则，仅当时，等号成立，
当时，，单调递增.
若，即，则有两个零点，，
由，得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
综上所述，
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减.
（Ⅱ）由（1）及可知：仅当极大值等于零，即时，符合要求.
此时，就是函数在区间的唯一零点.
所以，从而有，
又因为，所以，
令，则，...
设，则，
再由（1）知：，，单调递减，
又因为，，
所以，即
点晴：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
22. 点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.
【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）．
【解析】试题分析：（Ⅰ）由相关点法可求曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）到射线的距离为，结合可求得
试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为．
设，则，则有．
所以，曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）到射线的距离为，
，
则．
23. 已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）当时，，求满足的的取值范围.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．
【解析】试题分析：（Ⅰ）由绝对值的几何意义可得的解集为．（Ⅱ）分，三种情况去绝对值解不等式即可
试题解析：（Ⅰ）,
所以表示数轴上的点到和1的距离之和，
因为或2时，
依据绝对值的几何意义可得的解集为．
（Ⅱ），
当时，，等号当且仅当时成立，所以无解；
当时，，...
由得，解得，又因为，所以；
当时，，解得，
综上，的取值范围是．。