北师大版高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理课件
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＝a2＋2ba2b－c2，得－14＝222＋×322×－3c2，解得 c＝4.
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14 解析
6．在△ABC 中，AB＝ 6，∠A＝75°，∠B＝45°，则 AC＝___2_____.
解析 因为∠A＝75°，∠B＝45°，所以∠C＝60°，由正弦定理可得siAn4C5° ＝sin660°，解得 AC＝2.
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15 解析
2
PART TWO
核心考向突破
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16
考向一 利用正、余弦定理解三角形
例 1 (1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cosC2＝ 55，BC＝1，AC＝5，则
AB＝( )
A．4 2
B． 30
C. 29
D．2 5
解析 因为 cosC＝2cos2C2－1＝2× 552－1＝－35，所以 AB2＝BC2＋AC2 －2BC·AC·cosC＝1＋25－2×1×5×－35＝32，所以 AB＝4 2.选 A.
＝ 2bc ＝－
14，∴bc＝6.故选 A.
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解析 13答案
5．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＝2，cosC
＝－14，3sinA＝2sinB，则 c＝___4_____. 解析 由 3sinA＝2sinB 及正弦定理，得 3a＝2b，所以 b＝32a＝3.由 cosC
c＝ 05 _____2_R__si_n_C________.
a∶b∶c＝ 06 ___s_i_n_A______∶ 07 ____si_n_B______∶ 08 ____s_in_C______.
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3
2．余弦定理 a2＝ 09 _____b_2_＋__c_2－__2_b_c_c_o_s_A_______________；
a2＋b2－c2 cosC＝ 14 ______2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA.
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4
3．在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，三角形解的情况
图形
关系式
解的个数
a<bsinA
15 _无__解___
A 为锐角
B．90°
C．60°
D．30°
解析 由正弦定理，得si1nA＝sin425°，得 sinA＝12.又 a<b，∴A<B＝45°. ∴A＝30°.故选 D.
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解析 10答案
2．(2019·安徽马鞍山一模)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
c.已知 a＝ 3，b＝2，A＝60°，则 c＝( )
知 asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝( )
A．6
B．5
C．4
D．3
解析 ∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理，得 a2－b2＝4c2，即 a2
＝4c2＋b2.由余弦定理，得
b2＋c2－a2 b2＋c2－4c2＋b2 －3c2
cosA＝ 2bc ＝
2bc
a＝bsinA
16 _一__解___
bsinA<a<b
17 __两__解__
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5
A 为锐角
图形
A 为钝角 或直角
关系式 a≥b a>b a≤b
解的个数 18 _一__解___ 19 _一__解___ 20 _无__解___
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6
4．三角形中常用的面积公式
b2＝ 10 _____a_2_＋__c_2_－__2_a_cc_o_s_B_______________；
c2＝ 11 _____a_2_＋__b_2－__2_a_b_c_o_s_C_______________.
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
变式：cosA＝ 12 _____2_b_c______；cosB＝ 13 _____2_a_c________；
积为 23，则 BC 的长为( )
3 A. 2 C．2 3
B． 3 D．2
解析 因为 S＝12AB·ACsinA＝12×2× 23AC＝ 23，所以 AC＝1，所以 BC2 ＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3.所以 BC＝ 3.
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解析 12答案
4．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已
(1)S＝12ah(h 表示边 a 上的高)．
(2)S＝12bcsinA＝
21
1 ______2_a_c_si_n_B_______＝
22
1 ______2_a_b_s_in_C_______.
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
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7
1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A＋B＋C＝π； 变形：A＋2 B＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC； (3)sinA＋2 B＝cosC2；(4)cosA＋2 B＝sinC2.
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8
3．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a＝bcosC＋ccosB； b＝acosC＋ccosA； c＝bcosA＋acosB.
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9
1．(2019·北京西城模拟)已知△ABC 中，a＝1，b＝ 2，B＝45°，则 A
等于( )
A．150°
第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理
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1
1
PART ONE
基础知识整合
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2
1．正弦定理
b
c
sianA＝ 01 ___s_in_B____＝ 02 ___si_n_C_____＝2R，
其中 2R 为△ABC 外接圆的直径．
变式：a＝ 03 _____2_R_s_in_A_________，b＝ 04 ____2_R_s_in_B__________，
1 A.2
B．1
C. 3
D．2
解析 ∵a＝ 3，b＝2，A＝60°，∴由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA， 得 3＝4＋c2－2×2×c×12，整理得 c2－2c＋1＝0，解得 c＝1.故选 B.
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解析 11答案
3．(2019·安徽合肥模拟)在△ABC 中，A＝60°，AB＝2，且△ABC 的面
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14 解析
6．在△ABC 中，AB＝ 6，∠A＝75°，∠B＝45°，则 AC＝___2_____.
解析 因为∠A＝75°，∠B＝45°，所以∠C＝60°，由正弦定理可得siAn4C5° ＝sin660°，解得 AC＝2.
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2
PART TWO
核心考向突破
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考向一 利用正、余弦定理解三角形
例 1 (1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cosC2＝ 55，BC＝1，AC＝5，则
AB＝( )
A．4 2
B． 30
C. 29
D．2 5
解析 因为 cosC＝2cos2C2－1＝2× 552－1＝－35，所以 AB2＝BC2＋AC2 －2BC·AC·cosC＝1＋25－2×1×5×－35＝32，所以 AB＝4 2.选 A.
＝ 2bc ＝－
14，∴bc＝6.故选 A.
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5．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＝2，cosC
＝－14，3sinA＝2sinB，则 c＝___4_____. 解析 由 3sinA＝2sinB 及正弦定理，得 3a＝2b，所以 b＝32a＝3.由 cosC
c＝ 05 _____2_R__si_n_C________.
a∶b∶c＝ 06 ___s_i_n_A______∶ 07 ____si_n_B______∶ 08 ____s_in_C______.
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2．余弦定理 a2＝ 09 _____b_2_＋__c_2－__2_b_c_c_o_s_A_______________；
a2＋b2－c2 cosC＝ 14 ______2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA.
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3．在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，三角形解的情况
图形
关系式
解的个数
a<bsinA
15 _无__解___
A 为锐角
B．90°
C．60°
D．30°
解析 由正弦定理，得si1nA＝sin425°，得 sinA＝12.又 a<b，∴A<B＝45°. ∴A＝30°.故选 D.
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2．(2019·安徽马鞍山一模)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
c.已知 a＝ 3，b＝2，A＝60°，则 c＝( )
知 asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝( )
A．6
B．5
C．4
D．3
解析 ∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理，得 a2－b2＝4c2，即 a2
＝4c2＋b2.由余弦定理，得
b2＋c2－a2 b2＋c2－4c2＋b2 －3c2
cosA＝ 2bc ＝
2bc
a＝bsinA
16 _一__解___
bsinA<a<b
17 __两__解__
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5
A 为锐角
图形
A 为钝角 或直角
关系式 a≥b a>b a≤b
解的个数 18 _一__解___ 19 _一__解___ 20 _无__解___
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6
4．三角形中常用的面积公式
b2＝ 10 _____a_2_＋__c_2_－__2_a_cc_o_s_B_______________；
c2＝ 11 _____a_2_＋__b_2－__2_a_b_c_o_s_C_______________.
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
变式：cosA＝ 12 _____2_b_c______；cosB＝ 13 _____2_a_c________；
积为 23，则 BC 的长为( )
3 A. 2 C．2 3
B． 3 D．2
解析 因为 S＝12AB·ACsinA＝12×2× 23AC＝ 23，所以 AC＝1，所以 BC2 ＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3.所以 BC＝ 3.
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4．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已
(1)S＝12ah(h 表示边 a 上的高)．
(2)S＝12bcsinA＝
21
1 ______2_a_c_si_n_B_______＝
22
1 ______2_a_b_s_in_C_______.
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
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7
1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A＋B＋C＝π； 变形：A＋2 B＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC； (3)sinA＋2 B＝cosC2；(4)cosA＋2 B＝sinC2.
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8
3．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a＝bcosC＋ccosB； b＝acosC＋ccosA； c＝bcosA＋acosB.
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1．(2019·北京西城模拟)已知△ABC 中，a＝1，b＝ 2，B＝45°，则 A
等于( )
A．150°
第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理
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1
PART ONE
基础知识整合
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2
1．正弦定理
b
c
sianA＝ 01 ___s_in_B____＝ 02 ___si_n_C_____＝2R，
其中 2R 为△ABC 外接圆的直径．
变式：a＝ 03 _____2_R_s_in_A_________，b＝ 04 ____2_R_s_in_B__________，
1 A.2
B．1
C. 3
D．2
解析 ∵a＝ 3，b＝2，A＝60°，∴由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA， 得 3＝4＋c2－2×2×c×12，整理得 c2－2c＋1＝0，解得 c＝1.故选 B.
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解析 11答案
3．(2019·安徽合肥模拟)在△ABC 中，A＝60°，AB＝2，且△ABC 的面