直线和圆的方程 高中数学-例题课后习题详解-选必一复习参考题 2

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复习参考题2
一.选择题.
1.直线3210x y +-=的一个方向向量是(
)A.()2,3- B.()2,3 C.()3,2- D.()
3,2【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量,然后根据方向向量均共线,求解出结果.
【详解】因为直线3210x y +-=的斜率为32-,所以直线的一个方向向量为31,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭,又因为()2,3-与31,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭共线,所以3210x y +-=的一个方向向量可以是()2,3-,故选:A.
2.设直线l 的方程为x -y sin θ+2=0,则直线l 的倾斜角α的范围是(
)A.[0,π] B.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.
,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,24ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦
【答案】C
【解析】
【分析】分sin 0θ=和sin 0θ≠两种情况讨论,当sin 0θ=时,2πα=;当sin 0θ≠时,结合sin θ的范围,可得斜率的取值范围,进而得到倾斜角α的范围.
【详解】直线l 的方程为sin 20x y θ-+=,
当sin 0θ=时直线方程为2x =-,倾斜角2
π
α=
当sin 0θ≠时,直线方程化为12sin sin y x θθ=+,斜率in 1s k θ=,
因为[)(]sin 1,00,1θ∈- ,所以(][),11,k ∈-∞-+∞ ,
即(][)tan ,11,α Î-¥-+¥,又因为[)0,απ∈,所以3,,4224ππππα⎡⎫⎛⎤
∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
综上可得3,44ππα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
故选:C
3.与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为()
A.3450x y +-=
B.3450
x y ++=C.3450x y -+= D.3450
x y --=【答案】B
【解析】
【分析】把方程中y 换成y -,整理即得.
【详解】直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为34()50x y --+=,即3450x y ++=.
故选:B .
4.已知下列各组中的两个方程表示的直线平行,求a 的值:
(1)23x y a +=,4630x y +-=;
(2)210x ay +-=,(31)10a x ay ---=;
(3)(1)2x a y a ++=-,2416ax y +=-.
【答案】(1)3
2a ≠;(2)0a =或1
6a =;(3)1
a =【解析】
【分析】(1)根据平行得出2
3
463
a =≠可求;
(2)可得0a =满足,0a ≠时,311
121a a a ---=≠-;
(3)可得0a =不满足,0a ≠时,1122416
a a a +-=≠-.【详解】(1)若方程23x y a +=,4630x y +-=表示的直线平行,则23463
a =≠,解得32a ≠;(2)当0a =时,方程210x ay +-=化为1x =,方程(31)10a x ay ---=化为1x =-,此时两直线平行,符合题意;
当0a ≠时,要使直线平行,则满足
311121
a a a ---=≠-,解得16a =,这是0a =或16a =;(3)当0a =时,方程(1)2x a y a ++=-化为20x y +-=,方程2416ax y +=-化为4y =-,此时两直线不平行,不符合题意;
当0a ≠时,要使直线平行,则满足
1122416a a a +-=≠-,解得1a =,综上,1a =.
5.已知下列各组中的两个方程表示的直线垂直.求a 的值
(1)41ax y +=,
(1)1a x y -+=-;(2)22x ay +=,21ax y +=;
(3)(32)(14)80a x a y ++-+=,
(52)(4)70a x a y -++-=.
【答案】(1)2a =±;(2)0a =;(3)0a =或1a =.
【解析】
【分析】当直线以一般方程形式给出时,两直线垂直,可利用公式12120A A B B +=,求实数a 的取值.
【详解】(1)因为两直线垂直,所以()41110a a -+⨯=,即24410a a --=,
解得:2a =±;
(2)由条件可知,220a a +=,得0a =;
(3)由条件可知,()()()()32521440a a a a +-+-+=,即20a a -=,
解得:0a =或1a =.
6.求平行于直线20x y --=
,且与它的距离为【答案】20,60
x y x y -+=--=【解析】
【分析】设该直线为0x y c -+=,利用平行线间的距离公式可得结果.
【详解】因为所求直线平行于直线20x y --=,
所以可设该直线为0x y c -+=,
又因为所求直线与直线20x y --=
的距离为,
=可得24c +=,
解得2,6c c ==-,
所以平行于直线20x y --=
,且与它的距离为20,60x y x y -+=--=.
【点睛】本题主要考查直线平行的性质以及平行线间的距离公式,意在考查对所学知识的掌握与应用,属于基础题./
7.已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是

,且它的对角线的交点是M (3,3),求这个平行四边形其它两
边所在直线的方程.
【答案】其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0,x+y-11=0.
【解析】
【详解】试题分析:依题意,由方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,可解得平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标,再结合对角线的交点是M (3,3),可求得C 点坐标,利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程.
试题解析:联立方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,
解得x=−34,y=74

所以平行四边形ABCD 的顶点A (−34,74
),设C (x 0,y 0),由题意,点M (3,3)是线段AC 的中点,
∴x 0−34=6,y 0+74
=6,解得x 0=
274,y 0=174,∴C (274,174
),由已知,直线AD 的斜率k AD =3.
∵直线BC ∥AD ,
∴直线BC 的方程为3x-y-16=0,
由已知,直线AB 的斜率k AB =-1,
∵直线CD ∥AB ,
∴直线CD 的方程为x+y-11="0,"
因此,其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0,x+y-11=0.
考点:1.直线的一般式方程与直线的平行关系;2.直线的一般式方程.
8.求下列各圆的方程:
(1)圆心为()5,3M -且过点()8,1A --;
(2)过()2,4A -,()1,3B ,()2,6C 三点;
(3)圆心在直线350x y +-=上,且经过原点和点()3,1-.
【答案】(1)()()22
5325
x y ++-=(2)()2255x y +-=(3)2
252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭【解析】
【分析】(1)根据圆心为()5,3M -且过点()8,1A --,求得半径即可;
(2)设圆的方程为:()()222x a y b r -+-=,将()2,4A -,()1,3B ,()2,6C ,代入求解;
(3)先求得以原点和点()3,1-为端点的线段的垂直平分线,再与350x y +-=联立,求得圆心即可.
【小问1详解】
解:因为圆心为()5,3M -且过点()8,1A --,
所以圆的半径为
5r ==,所以圆的方程为:()()225325x y ++-=;
【小问2详解】
设圆的方程为:()()22
2x a y b r -+-=,
因为过()2,4A -,()1,3B ,()2,6C 三点,所以()()()()()()222
222222241326a b r a b r a b r ⎧++-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩

解得2055a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩

所以圆的方程为:()2
255x y +-=;
【小问3详解】
以原点和点()3,1-为端点的线段的垂直平分线为:350x y --=,
又圆心在直线350x y +-=上,
由350350x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得530
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,所以圆心为5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径为53r =,所以圆的方程为:2
252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.
9.m 为何值时,方程222422210x y x my m m +-++-+=表示圆?并求半径最大时圆的方程.
【答案】当()1,3m ∈-时,方程表示圆,当半径最大时,圆的方程为()()
22214x y -++=.
【解析】【分析】根据方程表示圆可得出关于实数m 的不等式,可解出实数m 的取值范围,求出圆的半径的表达式,利用二次函数的基本性质可求得圆的半径的最大值,求得此时m 的值,即可得出圆的方程.
【详解】若方程222422210x y x my m m +-++-+=表示圆,
则()()
222244422148120m m m m m -+--+=-++>,整理得2230m m --<,解得13m -<<.
设圆222422210x y x my m m +-++-+=的半径为r ,
则22
r ==,所以,当1m =时,圆222422210x y x my m m +-++-+=的半径取最大值,此时,圆的方程为224210x y x y +-++=,即()()22
214x y -++=.10.判断圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=是否相切.
【答案】是,两圆内切
【解析】
【分析】求出两圆圆心及半径,判断圆心距与半径和与差的关系来确定两圆的位置关系.
【详解】2264120x y x y +-++=,即22(3)(2)1x y -++=,圆心为(3,2)-,半径为1;
22142140x y x y +--+=,即22(7)(1)36x y -+-=,圆心为(7,1),半径为6;
圆心距为5d ===,半径之和为7,之差为5,故两圆内切.
11.若函数()y f x =在x a =及x b =之间的一段图象可以近似地看作线段,且a c b ≤≤,求证:[]()()()()c a f c f a f b f a b a
-≈+
--【答案】证明见详解.
【解析】【分析】作图利用三角形相似,得比例CE AE BF AF
=即可证明.【详解】证明:设()()()()()(),,,,,,A a f a B b f b C c f c 作AF BF ⊥如图所示:
在AFB △中,有CE AE BF AF
=,则()()()()f c f a c a f b f a b a --≈--所以[]()()()()c a f c f a f b f a b a
-≈+--12.求点()2,1P --到直线:(13)(1)240l x y λλλ+++--=(λ为任意实数)的距离的最大值.
13
【解析】
【分析】将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=,得直线系恒过点()1,1A ,由此得到P 到直线l 的最远距离为PA ,再利用两点间的距离公式计算可得.
【详解】解:∵直线:(13)(1)240l x y λλλ+++--=,
∴可将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=,
∴20340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩
,由此可得直线系恒过点()
1,1A 则P 到直线l 的最近距离为A ,此时直线过P .
P 到直线l 的最远距离为PA ,此时直线垂直于PA .
∴max d PA ===.
13.过点P (3,0)作一条直线,使它夹在两直线l 1:2x -y -2=0和l 2:x +y +3=0间的线段AB 恰好被点P 平分,求此直线的方程.
【答案】8240
x y --=【解析】
【分析】根据题意,设出直线l 1上的一点P 1,求出P 1关于点P 的对称点P 2;由P 2在直线l 2上,求出点P 1,即得所求的直线方程.
【详解】方法一:若直线AB 无斜率,则其方程为x =3,
它与两直线的交点分别为(3,4),(3,-6),这两点的中点为(3,-1)不是点P ,不合题意.
所以直线AB 必有斜率,设为k (k ≠2且k ≠-1),
则直线AB 的方程为y =k (x -3).
由3,220,y kx x y =-⎧⎨--=⎩
解得y 1=42k k -,由3,30,y kx x y =-⎧⎨++=⎩
解得y 2=61k k -+.据题意122
y y +=0,即42k k -+61k k -+=0,解得k =0或8.当k =0时,它与两直线的交点分别为(1,0),(-3,0),这两点的中点并不是点P ,不符合题意,舍去.
当k =8时,它与两直线的交点分别为(
113,163),(73,-163
),这两点的中点是点P ,符合题意.
∴直线AB 的方程为y =8(x -3),即8x -y -24=0.
方法二:
()()()20000,3,3,06-3l M x x M P N x x --∴+在直线上任取一点点关于的对称点,在直线1l 上,
把()006-3N x x +点,
代入1l 方程220x y --=,解得073
x =716,3
3M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭,16038733l k -
-∴==-,即直线1l 方程为:824y x =-.14.已知直线:280l x y --=和(2,0)A -,()2,4B 两点,若直线l 上存在点P 使得PA PB +最小,求点P 的坐标.
【答案】(2,3)
-【解析】
【分析】先判断两点是在直线同侧还是异侧,再求A 关于直线的对称点得解
【详解】因为(208)(288)0----->,所以,A B 在直线同侧,设点(2,0)A -关于直
线280x y --=对称的点坐标为(,)A a b ',则280222
a b b a -⎧--=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩,即(2,8)A '-,可知PA PB A B +≥',即三点,,A P B '共线时,||||PA PB +最小,连接A B '交直线于点P ,点P 即为所求,A B ' 直线方程2x =,联立求得P 点坐标(2,3)-.
15.求圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长.
【答案】【解析】
【分析】首先利用两圆相减,求公共弦所在直线方程,再利用弦长公式求解公共弦长.
【详解】()()22
22101005550x y x y x y +--=⇔-+-=,即圆心是()5,5
,半径r =()()22
22624003150x y x y x y +-+-=⇔-++=,圆心()3,1-
,半径r =,
=<+,两圆相交,
两圆相减得3100x y +-=,此直线是两圆相交公共弦所在直线方程,
()()22
22101005550x y x y x y +--==-+-
=,即圆心是()5,5,半径r =,圆心到直线3100x y +
-=
的距离d
==
所以公共弦长l ===.
16.已知圆224x y +=与圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称,求直线l 的方程.
【答案】20
x y -+=【解析】
【分析】求得两圆的圆心,可得过两圆心直线的斜率和中点坐标,根据对称性可得直线l 斜率,从而求得直线l 的方程.
【详解】解:圆221:4C x y +=,圆心为1C ()0,0,半径12
r =圆222:4440C x y x y ++-+=,经整理为()()22
224x y ++-=,其圆心为2C ()2,2-,半径22r =;
故12C C 中点为()1,1C -,
而1220120
C C k -==---,由对称性知121l C C k k ⋅=-,
1
l k ∴=:11
l y x ∴-=+即直线l 的方程为20x y -+=.
17.求与圆C :22(2)(6)1x y ++-=关于直线3−4+5=0对称的圆的方程.
【答案】22(4)(2)1x y -++=.
【解析】
【分析】
利用两圆圆心关于直线3450x y -+=对称求出对称圆的圆心即可得解.
【详解】圆22:(2)(6)1C x y ++-=的圆心的坐标是()2,6-,半径长1r =.设所求圆C '的方程是22()()1x a y b -+-=,
由圆C '与圆C 关于直线3450x y -+=对称知,直线3450x y -+=是两圆连心线的垂直平分线.所以有642326345022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪⋅-⋅+=⎪⎩
,解此方程组,得4,2a b ==-.
所以与圆22:(2)(6)1C x y ++-=关于直线3450x y -+=对称的圆的方程是22(4)(2)1x y -++=.
【点睛】关键点点睛:利用两圆圆心关于直线3450x y -+=对称求解是解题关键.18.求圆心在直线y =-2x 上,并且经过点A(2,-1),与直线x +y =1相切的圆的方程.
【答案】圆的方程为:2(1)x -+22(y )+=2
【解析】
【详解】设圆心为S ,则k SA =1,
∴SA 的方程为:y +1=x -2,即y =x -3,
和y =-2x 联立解得x =1,y =-2,即圆心(1,-2)
∴r
故所求圆的方程为:2(1)x -+22(y )+=2
\
19.如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,那么它的对角线具有什么关系?为什么?
【答案】对角线互相垂直
【解析】
【分析】设有四边形ABCD ,由条件得知2222
A C
B CD AD B ++= ,则由向量的运算规律得0BD A
C ⋅= .
【详解】解:如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,那么它的对角线互相垂直.
证明如下:设有四边形ABCD ,由条件得知2222
A C
B CD AD B ++= 则()()2222AB AD A
C AC AB AD
+--+= ∴AD AC AB AC ⋅=⋅ ,()
0AD AB AC -⋅= ∴0BD AC ⋅=

即BD AC ⊥20.求由曲线22x y x y +=+围成的图形的面积.
【答案】2π
+【解析】
【分析】先看当0x ≥,0y ≥时整理曲线的方程,表示出图形占整个图形的
14,而22111()()222
x y -+-=,表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆,进而利用三角形面积公式和圆的面积公式求得二者的面积,相加即可.【详解】解:当0x ≥,0y ≥时,22111()()222
x y -+-=,表示的图形占整个图形

14,而22111()()222x y -+-=,表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆∴11141122
22S ππ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭故围成的图形的面积为:2π
+21.一条光线从点()2,3A -射出,经x 轴反射后,与圆22:(3)(2)1C x y -+-=相切,求反射后光线所在直线的方程
【答案】3460x y --=或4310x y --=.
【解析】
【分析】设出反射光线斜率,得出反射光线方程,利用圆心到反射光线的距离为半径建立关系可求得斜率,得出方程.
【详解】点()2,3A -关于x 轴的对称点为()2,3--,设反射光线的斜率为k ,则可得出反射光线为()32y k x +=+,即230kx y k -+-=,
因为反射光线与圆相切,
则圆心()3,2到反射光线的距离d r =
1=,解得43k =或34
,则反射直线的方程为3460x y --=或4310x y --=.
22.已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=,直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=.(1)求证:直线l 恒过定点.
(2)直线l 被圆C 截得的弦何时最长、何时最短?并求截得的弦长最短时m 的值以及最短弦长.
【答案】(1)证明见解析;(2)当直线l 过圆心C 时,直线被圆截得的弦长最长.当直线l CP ⊥时,直线被圆截得的弦长最短,此时34
m =-
,最短弦长为【解析】
【分析】(1)直线l 的方程可化为(27)(4)0x y m x y +-++-=,要使直线l 恒过定
点,则与参数的变化无关,从而可得27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩
,易得定点;(2)当直线l 过圆心C 时,直线被圆截得的弦长最长;当直线l CP ⊥时,直线被圆截得的弦长最短,即得解.
【详解】
(1)证明:直线l 的方程可化为(27)(4)0x y m x y +-++-=,
联立27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩
.所以直线恒过定点P (3,1).
(2)当直线l 过圆心C 时,直线被圆截得的弦长最长.
当直线l CP ⊥时,直线被圆截得的弦长最短,
直线l 的斜率为21121,1312CP m k k m +-=-
==-+-由211(112m m +-⋅-=-+解得34
m =-此时直线l 的方程是250
x y --=
圆心(1,2)C 到直线250x y --=的距离为
d =
=,
||||AP BP ==,
所以最短弦长是||2||AB AP ==。

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