极限思想在数学解题中的应用

M
图4 例7（IMO1959-2）：在 定 线 段AB上 任 取 一 点M，在AB的 同 一 侧以AM，BM为边，作正方形AMCD，BMEF，设这两个正方形的外 接圆的圆心分别为P，Q，这两个圆交于M，N，求证：MN过某定点。
图5 简 析 ：如 图 5，设 动 直 线 MN 过 定 点 T， 由 于 T 的 位 置 不 知 ， 可 以考虑M的特殊位置。 若M为AB的中点，则T必在线段AB的中 垂线上；若M无限趋近于A，则N也无限趋近于A，圆P退化为点 A，割线MN逐渐趋近于AB为弦的圆的切线AT。 综合分析，得出 T的位置应是以AB为直径的半圆弧的中点。 结论改证：M、N、T 三点共线。 可证得N、C、B共线，得出∠ANB= π ，N在AB为直径
面垂直，此时，α无限趋于底 面 正n边 形 内 角 n-2 π，所 以 ，二 面 n
角α的取值范围为 n-2 π＜α＜π。 本例棱锥高不定，可将顶点看 n
作是运动变化的，运用极限思想，考虑两种极限位置，从而使
问题得到解决。
评注：将某些点或量看成是运动的点，应用极限思想考查
运动变化的极限情况，使问题获解。
点 是F1，F2，左 右 顶 点 为M，N，若△PF1F2的 顶 点P在 双 曲 线 上 ，
则 △PF1F2的 内 切 圆 与 F1F2边 的 切 点 位 置 是 （%%）。
A. 在 线 段 MN 的 内 部 %%B. 在 线 段 F1M 内 部 或 F2N 内 部 %%C. 点 M
或 点 N%%D.不 能 确 定
3.利 用 极 限 思 想 ，化 动 为 静 ，内 化 思 维
在对于定点、定值等的平面几何、解析几何问题中，利用
极限思想对条件的某种极限状况进行考查， 往往能探索出问
而解。
例6（1990年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 题 ）： 设 双 曲 线 的 左 右 焦
61
1 时，则 AE = BF = 1 ，EF∥AB，点P为三角形ABC的重心；（2）
2
EC FC 2
当λ1趋 近 于 （等 于 ）0，λ2趋 近 于 （等 于 ）1，或 当λ1趋 近 于 （等 于 ）
1，λ2趋近于（等于）0时，点P仍为三角形ABC的重心。 因此可以
得 出 结 论 ：点 P为 三 角 形 ABC的 重 心 。
极限思想方法是用极限概念分析问题和解决问题的一种
数学思想，通过对问题的极端状态的讨论，避开了抽象复杂的
演算，优化了解题过程和解题方法，降低了解题难度。 本文以
运动变化的观点讨论了极限思想在数学竞赛中的应用， 以开
阔学生的视野，提高学生解题的技巧。
1.利 用 极 限 思 想 ，简 化 解 题 ，深 化 思 维
图2
简 析 ：如 图2，考 查 动 平 面QRS，当 动 平 面QRS无 限 趋 近 底
面ABC，则和式 1 + 1 + 1 趋 近 1 + 1 + 1 （定 值 ）；当 动 PQ PR PS PA PB PC
平面QRS的点Q趋近A，R趋 近PB的 中 点 ，则 动 平 面QRS与 直 线
PC平行， 相交于无穷远点， 和式 1 + 1 + 1 趋近 1 + PQ PR PS PA PB
n
n
C.（0， π ）%%%%%%%%%%%%%%D.（ n-2 π， n-1 π）
2
n
n
图1 简析：如图1，不妨设底面ABC的面积最大 ，若 四 面 体 为 正 四 面 体 ，则 λ 取 最 大 值 为 4； 当 顶 点 P 无 限 趋 近 底 面 ABC 时 ， 则 侧
60
图3 简 析 ：如 图3，设 侧 面 所 成 的 二 面 角 为 α， 当 顶 点 无 限 接 近 底面时，α趋于π；当顶点离底面无限远时 ，侧棱无限趋于与底
极限思想在数学解题中的应用极限思想在数学解题中的应用数学教学与研究高明约3389字极限思想方法是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想通过对问题的极端状态的讨论避开了抽象复杂的演算优化了解题过程和解题方法降低了解题难度
○ 数学教学与研究 2009年第19期
周刊
极限思想在数学解题中的应用
高明
（西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637002）
2
2
+（cos θ-5）m+4sin θ＞0恒成立，则参数m的取值范围是（%%）。
A.0≤m≤4%%B.1≤m≤4%%C.0≤m或m≥4%%D.m≤0或m≥1
简析：本题为参变量的取值范围问题，当m趋近∞时，左边
+
结果大于0，排除A、B，又当m趋近1 时，不等式不一定成立 ，排
除D，因此答案选C。
评注：极限思想是特殊值法的延伸，它提供了从变量变化
在求不等式的解集和变量的取值范围问题中， 利用极限
思想来寻求解题的途径， 常常能达到简化计算过程， 化难为
易，深化思维，使问题轻松获解的效果。
例1（2004年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 题 ）：不 等 式 姨% log2x-1 +
1 2
log
1
3
x +2＞0的解集是（%%）。
2
A.［2，3）%%B.（2，3］%%C.［2，4）%%D.（2，4］
（定值）。 因此综合以上两种极限情况可得出结论： 和式 1 + PQ
1 + 1 是一个定值，答案为D。 PR PS
例5（2004年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 题 ）： 在 正 n棱 锥 中 ， 相 邻
两 侧 面 所 成 的 二 面 角 的 取 值 范 围 是 （%%）。
A.（ n-2 π，π）%%%%%%%%B.（ n-1 π，π）
点C在抛物线
上
，点E在
线 段AC上 ，且
满
足
AE EC
=λ1，点F在 线 段
BC上 ， 且 满
足
BF FC
=λ2，且λ1+λ2=1，线
段CD与EF的
交
于
点P，当C
在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程。
图6
解析：如图6，由题意计算知D为AB的中点，题目中涉 及 两
个 变 量λ1，λ2，考 查 问 题 的 特 殊 情 况 和 极 限 情 况 ：（1）当λ1=λ2=
活性。
例3 （1992年全国高中数学联赛试题）：设四面体的四个面
的 面 积 分 别 为 S1，S2，S3，S4， 它 们 中 的 最 大 值 为 S， 记
，
则 λ一 定 满 足 （%%）。 A.2＜λ≤4%%%%B.3＜λ＜4%%%%C.2.5＜λ≤4.5%%%%D.3.5＜λ＜5.5
面PAB、PBC、PCA无限趋近底面，则λ无限趋近 于2。 因 此 从 以 上两种情况可得出结论，答案为A。
题，有选择性，采取上述方法简化讨论过程，当然此题可用常
规方法，但运算量较大。
周刊 2009年第19期 ○ 数学教学与研究
殊点和极限点等情况的研究来判断轨迹的大致轮廓， 是探求
轨迹的一个极其重要的方法。
2
例8（2005年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 题 ）：过 抛 物 线y=x 上 的
一 点 A（1，1）作 抛 物 线 的 切 线 ，分 别 交 x 轴 于 点 D， 交 y 轴 于 点 B，
图7
对点P为三角形ABC的重心的证明也比较容易，如 图7，过
A，B 分 别 作 EF 的 平 行 线 交 CD 于 H，N， 则
HP PC
=
AE EC
=λ 1 ，
NP PC
=
BF FC
=λ2，λ1+λ2=1，故
HP PC
+
NP PC
=
2DP PC
=1，DP=
1 2
PC，点P为 三 角
形ABC的 重 心 。 再 根 据 重 心 的 性 质 求 出 点P的 轨 迹 方 程 为y=
简析：本题为不等式解集问题，通常考查变数字母取其区
间的端点和端点的极限情况。 当x趋近2时，左边结果趋近 1 ， 2
且 当 x=2时 ，不 等 式 有 意 义 ，排 除 B、D，又 当 x趋 近 于 4时 ，不 等 式
成立，排除A，因此答案选C。
2
例2（2004年 高 中 数 学 联 赛 四 川 赛 区 试 题 ）： 已 知 不 等 式 m
的概念和性质虽然超出高中课本知识，但在教学过程中，教师
应有意识让学生掌握和运用极限思想，如此既可以加深对极限
概念的理解，有助于培养学生的发散思维、收敛思维和逻辑思
维能力，又可以开阔学生眼界，增强其创新意识和创新能力。
参考文献： ［1］吴振英，陈湛本.论极限的思想方法 ［J］.广州大学学报 （自 然 科 学 版 ），2003，（05）. ［2］罗万春，宋乃庆.极限概念的表征及教学策略 ［J］.海南 师 范 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ），2001，（03）. ［3］桂 淑 英.运 动 变 化 观 点 及 极 限 思 想 在 解 题 中 的 应 用 ［J］. 数学通报，2004，（03）. ［4］张 国 良.极 限 与 极 限 思 想 在 中 学 数 学 中 的 应 用 ［J］.中 学 数 学 杂 志 ，2003，（05）.
2 的圆上，又∠ANM=∠MNB= π ，得出要证明的结论。
4 评注： 通过对研究对象的特殊位置和运动过程的动态分 析，寻求出变化中的不变量，以获得有益的启示，做出合理的 判断，达到以静制动、动中求静的目的。 4.利 用 极 限 思 想 ，化 动 为 静 ，催 化 思 维 在研究未指明形状和位置的轨迹问题时，通过对一些特
中研究趋势的数学方法。 减少计算量是使问题迅速、准确获解
的关键；利用极限思想，着眼于问题的极限状态是减少计算量
的重要途径。
2.利 用 极 限 思 想 ，优 化 解 题 ，活 化 思 维
在立体几何问题中，利用运动变化的观点对最大、最小、
最近、最远等特殊位置进行极端位置的考察，以达到发现问
题的解题思路和问题结果的目的，活化思维，培养思维的灵
简 析 ：如 图4，F1，F2，M，N为 定 点 ，动 点P在 双 曲 线 上 移 动 。
当P无限趋于M或N时， 则△PF1F2的内切圆与边F1F2的 切 点 位
置 无 限 趋 于 M 或 N； 又 当 ∠F1PF2=
π 2
时 ， 可 计 算 出 F2P的 长 度 等
于F2到△PF1F2的内切圆切线的长度，故猜想得C。 本例为客观
例4（1995全 国 年 高 中 联 赛 试 题 ）：设O是 正 三 棱 锥P-ABC 底 面 △ABC的 中 心 ， 过 O的 动 平 面 与 正 三 棱 锥 P-ABC 的 三 条 侧 棱或其延长线的交点分别记为Q，R，S， 则和式 1 + 1 + 1
PQ PR PS （%%）。
A.有 最 大 值 而 无 最 小 值 B.有 最 小 值 而 无 最 大 值 C.既 有 最 大 值 又 有 最 小 值 ，且 最 大 值 与 最 小 值 不 等 D.是 一 个 与 平 面 QRS位 置 无 关 的 常 量
1
2
（3x-1） ，（x≠
2
）。
3
3
评注：极限点、临界点、特殊点是轨迹上的“静点”，其他点
看 成 是 “动 点 ”，通 过 对 “静 点 ”的 情 况 研 究 来 把 握 “动 点 ”的 变
化，以求“动中求静，以静窥动”。
极限思想是一种基本而又重要的数学思想， 从某种意义
上体现了“量”变到一定程度转化为“质”的变化过程。无限趋近