高中数学 第2章 推理与证明 2.2.2 间接证明学案 苏教版选修2-2(2021年整理)

2016-2017学年高中数学第2章推理与证明2.2.2 间接证明学案苏教版选修2-2
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2。

2。

2 间接证明
1。

理解反证法的思考过程和特点,会运用反证法证明简单数学问题。

（重点、难点)
2。

利用反证法证明时，对结论的假设否定.（易错点)
[基础·初探］
教材整理间接证明
阅读教材P85“例1"以上部分，完成下列问题。

1。

间接证明:
（1）定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立,这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.
（2）常用方法：反证法.
2。

反证法
(1）基本过程：
反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题).
（2）证题步骤:
1。

判断正误：
(1)反证法属于间接证明问题的一种方法。

( )
（2)反证法的实质是否定结论导出矛盾.（)
(3)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( ）
(4）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设应该是至少两个钝角。

( ）
【答案】（1)√（2)√(3）×(4）√
2。

用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°"时，正确的反设是____。

【导学号：01580047】【解析】“至少有一个角不大于60°”的否定为“所有三角形的内角均大于60°”。

【答案】假设三个内角均大于60°
［质疑·手记］
预习完成后，请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1：_______________________________________________
解惑:_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型］
利用反证法证明否定性
命题
(1）用反证法证明：“若方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为________.
(2)已知三个正整数a，b,c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，错误!，错误!不成等差数列。

【自主解答】(1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设:方程存在实数根x0为整数.
【答案】整数
（2)假设错误!, 错误!, 错误!成等差数列，则错误!＋错误!＝2错误!,
即a＋c＋2错误!＝4b。

又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，
即b＝错误!,
所以a＋c＋2错误!＝4错误!，
所以a＋c－2ac＝0,即（a－错误!）2＝0，
所以a＝错误!,从而a＝b＝c，
所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a,b，c不成等差数列”相矛盾.
原假设错误,故a, 错误!，错误!不成等差数列。

1。

用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不"“不是”“不可能"“不存在"等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法。

2。

反证法证明问题的一般步骤
[再练一题］
1。

（2016·晋州高二检测）设数列｛a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和。

求证：数列{S n｝不是等比数列.
【证明】假设数列｛S n}是等比数列，则S错误!＝S1S3，
即a错误!(1＋q）2＝a1·a1(1＋q＋q2),
因为a1≠0，所以（1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾。

所以数列{S n｝不是等比数列。

用反证法证明存在性
问题
已知a，b，c∈（0，1)，求证:(1－a)b，(1－b)c，(1－c）a不能都大于
1
4。

【精彩点拨】“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”。

【自主解答】假设（1－a）b，（1－b）c,（1－c）a都大于错误!。

∵a，b,c∈（0,1），
∴1－a>0，1－b>0，1－c>0。

∴错误!≥错误!〉错误!＝错误!。

同理错误!〉错误!，错误!〉错误!。

三式相加得
错误!＋错误!＋错误!〉错误!，
即
3
2
>错误!，矛盾.
所以（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a不能都大于错误!。

应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时,直接证明不易入手且讨论较复杂。

这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：
结论词反设词结论词反设词
至少有一
个
一个也没有
对所有x
成立
存在某个
x
不成立
至多有一
个
至少有两个
对任意x
不成立
存在某个
x
成立
至少有n个
至多有n－1
个
p或q綈p且綈q
至多有n个至少有n＋1p且q綈p或綈q
个
[再练一题］
2.已知a，b,c，d∈R,且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.
【证明】假设a，b，c,d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1,所以（a＋b)(c＋d）＝1.
又(a＋b)（c＋d）＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1,
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a，b，c，d中至少有一个是负数。

［探究共研型］
利用反证法证明唯一性
命题
探究1
【提示】否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确。

探究2 应用反证法推出矛盾的推导过程中,可以把下列哪些作为条件使用________。

①结论的反设;②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论。

【提示】反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.
【答案】①②③
已知直线m与直线a和b分别交于A,B两点,且a∥b。

求证：过a，b，m有且只有一个平面。

【精彩点拨】“有且只有"表示“存在且惟一”，因此在证明时，要分别从存在性和惟一性两方面来考虑。

【自主解答】因为a∥b，
所以过a，b有一个平面α.
又因为m∩a＝A，m∩b＝B，
所以A∈a，B∈b，
所以A∈α,B∈α.
又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，
即过a,b，m有一个平面α，如图。

假设过a，b,m还有一个平面β异于平面α，
则a⊂α，b⊂α,a⊂β,b⊂β,这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾.
因此，过a,b，m有且只有一个平面。

用反证法证明惟一性命题的一般思路
证明“有且只有一个"的问题，需要证明两个命题,即存在性和惟一性。

当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性"，由于假设“惟一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其惟一性.
[再练一题]
3。

若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续,且f（a)〈0，f（b)〉0，且f（x)在［a,b］上单调递增，求证:f(x)在（a,b)内有且只有一个零点.
【导学号：01580048】【证明】由于f（x)在[a，b］上的图象连续，且f（a）<0,f（b)〉0，即f(a)·f（b)<0，所以f（x）在（a,b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f（m)＝0.
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f（n）＝0,则n≠m。

若n>m，则f(n）>f(m），即0〉0,矛盾;
若n<m,则f（n)〈f（m)，即0<0,矛盾。

因此假设不正确,即f（x）在(a，b）内有且只有一个零点。

1.“x＝0且y＝0”的否定形式为________.
【解析】“p且q"的否定形式为“綈p或綈q”。

【答案】x≠0或y≠0
2.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_______________________________________________。

【解析】“至少有一个”的否定是“一个也没有"，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形。

【答案】没有一个面是三角形或四边形或五边形
3.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1;②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2〉2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)。

【解析】假设a,b均不大于1，即a≤1，b≤1.
则①②④均有可能成立,故①②④不能推出“a,b中至少有一个大于1”，故选③.
【答案】③
4。

用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C〉180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；
②所以一个三角形不能有两个直角；
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为__________.
【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②。

【答案】③①②
5.若a,b,c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0,bx2＋2cx＋a＝0,cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根。

【证明】假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0,(a－b)2＋（b－c)2＋（c－a）2≤0，∴a＝b＝c。

这与a，b，c互不相等矛盾。

∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
我还有这些不足:
（1）_______________________________________________
(2)_______________________________________________
我的课下提升方案:
（1)_______________________________________________
（2）_______________________________________________
2。

3 数学归纳法
1.了解数学归纳法原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

（重点)
2。

数学归纳法证明几何命题。

（难点）
3。

归纳递推的论证。

(易错点)
[基础·初探］
教材整理数学归纳法
阅读教材P88，完成下列问题.
数学归纳法公理
对于某些与正整数有关的数学命题，可以用数学归纳法公理:如果
(1)当n取第一个值n0（例如n0＝1,2等)时结论正确;
(2）假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0）时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确。

那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.
1。

判断正误：
（1）数学归纳法的两个步骤缺一不可。

( )
（2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1。

（)
（3)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法。

（）
(4)应用数学归纳法证明2n＞n3时所取的第一个n的值为1。

（)
【答案】(1)√(2)×（3)×（4）×
2.若f（n)＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!,则当n＝1时f（n)为________.
【解析】当n＝1时，f（n)＝1＋错误!＋错误!＝错误!。

【答案】错误!
［质疑·手记］
预习完成后，请将你的疑问记录,并与“小伙伴们"探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑:_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑:_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
［小组合作型]
用数学归纳法证明等
式
(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋（n＋3）＝错误!(n∈N*)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是________。

(填序号)
①1；
②1＋2；
③1＋2＋3；
④1＋2＋3＋4。

（2）用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2）·…·（n＋n）＝2n×1×3×…×(2n－1）(n∈N ＊)，“从k到k＋1"左端增乘的代数式为__________.
【自主解答】(1）当n＝1时,左边应为1＋2＋3＋4，故选D。

(2)令f（n)＝(n＋1）(n＋2）…（n＋n），则f（k)＝(k＋1)(k＋2)…（k＋k)，
f（k＋1）＝（k＋2)(k＋3）…(k＋k）（2k＋1)（2k＋2），所以错误!＝错误!＝2（2k＋1)。

【答案】（1)④(2)2（2k＋1）
数学归纳法证题的三个关键点
1.验证是基础
找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
2.递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.
3.利用假设是核心
在第二步证明n＝k＋1成立时,一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f（k）的式子写出来，尤其是f(k）中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
[再练一题]
1。

下面四个判断中，正确的是________。

（填序号)
①式子1＋k＋k2＋…＋k n（n∈N＊)中,当n＝1时，式子的值为1；
②式子1＋k＋k2＋…＋k n－1(n∈N＊)中,当n＝1时，式子的值为1＋k；
③式子1＋错误!＋错误!＋…＋错误!（n∈N＊)中，当n＝1时,式子的值为1＋错误!＋错误!；
④设f(n)＝
1
n＋1
＋错误!＋…＋错误!(n∈N*),则f（k＋1）＝f(k)＋错误!＋错误!＋错误!.
【解析】①中，n＝1时，式子＝1＋k；
②中,n＝1时，式子＝1；
③中，n＝1时,式子＝1＋错误!＋错误!;
④中，f(k＋1)＝f(k)＋
1
3k＋2
＋错误!＋错误!－错误!。

故正确的是③.
【答案】③
用数学归纳法证明不
等式
（1)用数学归纳法证明不等式错误!＋错误!＋…＋错误!>错误!(n≥2，n∈N＊）的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时,不等式的左边增加的式子是__________.
（2）证明:不等式1＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈2错误!（n∈N*).
【精彩点拨】（1）写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子,比较即可.
(2）在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度.
【自主解答】（1)当n＝k＋1时左边的代数式是错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!，增加了两项错误!与错误!,但是少了一项错误!，故不等式的左边增加的式子是错误!＋错误!－错误!＝错误!。

【答案】错误!
(2）①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边〈右边，不等式成立。

②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，不等式成立，
即1＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈2错误!。

则当n＝k＋1时,
1＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!
〈2错误!＋错误!＝错误!
〈错误!＝错误!＝2错误!.
∴当n＝k＋1时，不等式成立。

由①②可知，原不等式对任意n∈N＊都成立.
［再练一题]
2。

试用数学归纳法证明上例（1）中的不等式.
【证明】①当n＝2时，错误!＋错误!＝错误!〉错误!.
②假设当n＝k(k≥2且k∈N＊）时不等式成立,
即
1
k＋1
＋错误!＋…＋错误!〉错误!，
那么当n＝k＋1时，
错误!＋错误!＋…＋错误!
＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!－错误!
＝错误!＋错误!＋错误!－错误!>错误!＋错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!〉错误!。

这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立。

由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立。

归纳—猜想—证
明
已知数列{a n｝的前n项和为S n,其中a n＝错误!且a1＝错误!。

(1)求a2，a3；
(2）猜想数列｛a n｝的通项公式，并证明.
【精彩点拨】（1）令n＝2,3可分别求a2，a3.
（2）根据a1，a2，a3的值，找出规律,猜想a n,再用数学归纳法证明。

【自主解答】（1)a2＝
S
2
22×2－1
＝错误!，a1＝错误!，
则a2＝
1
15
，类似地求得a3＝错误!.
（2）由a1＝错误!，a2＝错误!，a3＝错误!,…，猜得:
a n＝
1
2n－12n＋1
.
证明：①当n＝1时，由(1）可知等式成立；
②假设当n＝k时猜想成立，即a k＝错误!,那么，当n＝k＋1时，由题设a n＝错误!，得a k＝错误!，a k＋1＝错误!，
所以S k＝k(2k－1)a k
＝k（2k－1）错误!＝错误!,
S k
＝(k＋1）（2k＋1)a k＋1，
＋1
a k
＝S k＋1－S k＝(k＋1)（2k＋1)a k＋1－错误!.
＋1
因此，k（2k＋3）a k＋1＝错误!，
所以a k＋1＝错误!
＝错误!.
这就证明了当n＝k＋1时命题成立。

由①②可知命题对任何n∈N*都成立。

1.“归纳—猜想—证明”的一般环节
2。

“归纳—猜想—证明”的主要题型
（1)已知数列的递推公式,求通项或前n项和。

(2）由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在。

（3）给出一些简单的命题（n＝1，2,3，…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.
[再练一题］
3。

已知函数y＝f(n)（n∈N*）,设f(1)＝2,且任意的n1,n2∈N*，有f（n1＋n2）＝f(n1）·f(n2）.
(1）求f（2),f（3),f（4）的值；
（2）试猜想f(n）的解析式，并用数学归纳法给出证明。

【解】(1）因为f(1)＝2，
f（n
＋n2)＝f(n1)·f（n2)，
1
所以f(2）＝f(1＋1)＝f（1)·f(1）＝22＝4，
f（3)＝f（2＋1)＝f（2)·f（1）＝22·2＝23＝8。

f(4)＝f(3＋1)＝f(3)·f(1）＝23·2＝24＝16.
(2）猜想：f（n)＝2n（n∈N*）.
用数学归纳法证明如下:
①当n＝1时，f(1）＝21＝2，所以猜想正确。

②假设当n＝k（k≥1，k∈N＊)时猜想正确，即f（k)＝2k,
那么当n＝k＋1时，f（k＋1）＝f(k）·f(1）＝2k·2＝2k＋1，
所以，当n＝k＋1时，猜想正确。

由①②知，对任意的n∈N＊,都有f（n)＝2n。

［探究共研型］
用数学归纳法证明整除性
问题
探究1
【提示】不一定,如证明n边形的内角和为（n－2）·180°时，第一个值为n0＝3.
探究2 数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系?
【提示】第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步骤（2)就作出判断，可能得出不正确的结论.因为单靠步骤(1），无法递推下去，即n取n0以后的数列命题是否正确,我们无法判定，同样只有步骤（2）而缺少步骤（1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1）这个基础，假设就失去了成立的前提,步骤（2)也就没有意义了。

用数学归纳法证明：n3＋(n＋1）3＋(n＋2）3能被9整除(n∈N*）.
【精彩点拨】在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑。

【自主解答】(1）当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；
(2）假设当n＝k(k∈N*,k≥1）时结论成立，
即k3＋（k＋1)3＋（k＋2)3能被9整除.
则当n＝k＋1时,
(k＋1)3＋（k＋2)3＋(k＋3)3＝［k3＋（k＋1)3＋(k＋2）3]＋［（k＋3)3－k3］
＝[k3＋（k＋1）3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27
＝［k3＋（k＋1）3＋(k＋2)3]＋9（k2＋3k＋3）。

因为k3＋(k＋1）3＋(k＋2）3能被9整除，9（k2＋3k＋3）也能被9整除，
所以(k＋1）3＋(k＋2）3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立。

由(1）（2)知命题对一切n∈N*成立。

与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步，根据归纳假设，将n＝k＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来。

［再练一题]
4。

用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中,当n＝k＋1时，对式子(k＋1）3＋5(k＋1）应变形为__________。

【导学号：01580051】【解析】由n＝k成立推证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设,∴(k＋1)3＋5(k＋1）＝(k3＋5k）＋3k(k＋1)＋6。

【答案】(k3＋5k）＋3k（k＋1)＋6
1.（2016·成都高二检测)在用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝错误!(a≠1，n∈N＊)时，在验证当n＝1时,等式左边为________。

【答案】1＋a＋a2
2.在用数学归纳法证明时，用到错误!＋错误!＋…＋错误!，若设f(k）＝错误!＋错误!＋错误!
＋…＋1
2k
（k∈N＊），则f（k＋1）－f（k）＝________.
【解析】由题意f(k)＝错误!＋错误!＋…＋错误!,
f(k＋1)＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误!,
则f（k＋1）－f(k）
＝错误!＋错误!－错误!
＝错误!－错误!。

【答案】错误!－错误!
3。

用数学归纳法证明关于n的恒等式时,当n＝k时,表达式为1×4＋2×7＋…＋k（3k＋1）＝k(k＋1）2，则当n＝k＋1时,表达式为________。

【导学号：01580052】【解析】当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k（k＋1)2中的k更换为k＋1.
【答案】1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1）＋（k＋1）（3k＋4)＝(k＋1）(k＋2)2
4.对于不等式错误!≤n＋1（n∈N*），某人的证明过程如下:
1°当n＝1时，错误!≤1＋1,不等式成立。

2°假设n＝k（k∈N＊)时不等式成立,即错误!〈k＋1,则n＝k＋1时，错误!＝错误!〈
错误!＝错误!＝（k＋1)＋1.
∴当n＝k＋1时，不等式成立.
上述证法________。

(填序号）
①过程全都正确；
②n＝1验得不正确；
③归纳假设不正确；
④从n＝k到n＝k＋1的推理不正确.
【解析】没用归纳假设。

【答案】④
5.用数学归纳法证明：对于任意正整数n，（n2－1）＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝错误!。

【证明】(1)当n＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝错误!＝0，所以等式成立。

（2)假设当n＝k(k∈N*）时等式成立，即（k2－1）＋2(k2－22)＋…＋k（k2－k2)＝错误!.
那么当n＝k＋1时，有［（k＋1)2－1]＋2[（k＋1）2－22]＋…＋k·[(k＋1)2－k2]＋(k＋1）
[(k＋1）2－(k＋1）2]
＝（k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k（k2－k2)＋（2k＋1）（1＋2＋…＋k)
＝k2k－1k＋1
4
＋（2k＋1）错误!
＝错误!k（k＋1）[k（k－1)＋2（2k＋1）］
＝1
4
k(k＋1)（k2＋3k＋2）
＝错误!.
所以当n＝k＋1时等式成立.
由(1)（2)知，对任意n∈N*等式成立.
我还有这些不足：
(1）_______________________________________________ (2）_______________________________________________我的课下提升方案：
(1）_______________________________________________（2）_______________________________________________。