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高等几何习题解答
习题一
1．0设A ，B 为二定点，xy 为定直线。

于xy 上任取P ，Q ，又AP 与BQ 交于L ，AQ 与BP 交于M ，求证：LM 通过AB 上一定点。

解：把直线xy 射影为无穷远直线，则点P ，Q ，2P ，2Q 变为无穷远点1P ∞，
1Q ∞，2P ∞，2Q ∞，所以1A L B M ''''∥，22A L B M ''''∥，11A M B L ''''∥，22A M B L ''''∥，得两个平行四边形。

1
1L B M ''''中，11L M ''，A B ''是对角线，交于1S ，且1S 是A B ''的中点。

22L B M ''''中，22L M ''，A B ''是对角线，交于点1S ，且1S 是A B ''的中点，∴1S '≡2S '＝S '，从而，LM
通过AB 上一定点S 。

1.1 写出下列各直线的绝对坐标：
（1）123320x x -= （2）23230x x -= （3）30x =
答：（1）(3,-；（2）(0,2,3)-；（3）(0,0,1) 1.2 写出下列个点的方程
(3,5,1)a =- (0,1,0)b = 1,0)c =-
答：123:350a ξξξ-+= 2:0b ξ= 120c ξ-=
1.3 求下列三点中每两点连线的方程和坐标：(1,4,1)x =，(2,0,1)y =，(1,1,2)z =- 答：),8,1,4(=⨯y x 084321=++x x x ),2,3,1(--=⨯z y 023321=--x x x ),5,1,9(--=⨯x z 059321=--x x x
1.4 求下列三直线中每两条的交点的方程和坐标：),4,1,0(=ξ),3,1,2(=η)0,1,1(-=ζ 答：),2,8,1(-=⨯ηξ028321=+-ξξξ ),1,1,1(-=⨯ξη0321=-+ξξξ
),1,4,4(-=⨯ξζ044321=-+ξξξ
1.5 如果直线,ξ,η,ζϕ的方程分别是：,031=-x x ,032=-x x ,02321=-+x x x
,0321=++x x x 求直线)()(ϕζηξ⨯⨯⨯的方程和坐标。

答：),4,1,3()()(-=⨯⨯⨯ϕζηξ方程为043321=-+x x x 。

1.6 把笛卡尔三维空间里经过原点的直线作为“点”；把经过原点的平面作为“直线”，求证：这些“点”和“直线”的集合ω可定义为射影平面。

证明：在笛卡尔三维空间里有下列事实：
)1( 经过原点的任意二不同的直线属于一个而且只属于一个经过原点的平面； )2( 经过原点的任意不同的二平面相交于一条而且只相交于一条经过原点的直线。

因
而集合ω里的“点”和“直线”满足下列条件：
)1( 任意而不同的“点”属于一条而且只属于一条“直线”； )2(任意二不同的“直线”属于一个而且只属于一个“点”。

而且，当经过原点的直线属于经过原点的平面时，可以看作ω的“点”属于“直线”。

所以集合ω可以定义为射影平面。

2.1 试证点),2,3,2(-=*
a ),4,2,1(-=*
b )6,1,0(-=*
c 是共线的，试求λ和μ，使得
,***+=c b a μλ又求b 和c 的一个表示*'b 和,*'c 使得***'-'=c b a
答：,2=λ,1=μ),8,4,2(-='*
b )6,1,0(-='*
c
2.2 试求直线),2,1,3(-=ξ),3,5,1(-=η)2,0,4(-=ζ共点。

并求ξ和η的固定表示*
ξ和*
η，使*
*
+=ηξζ
答：),720,710,730(
-=*ξ)7
6
,710,72(--=η 2.3 写出下列命题的对偶命题
)1(直线上至少有三点。

)2(射影平面上至少存在四条直线，其中任何三条直线不共点。

)3(A 、B 、C 、M 为无任何三点共线的四个点，AM 交BC 于,0A MB 交AC 于,
0B CM 交AB 于,0C 连接,00B A ,00C B 00A C 得一个三点形。

答：)1(线束里至少有三条直线。

)2(射影平面上至少存在四个点，其中任何三点不共线。

)3(α、β、γ、δ为无任三线共点的四条直线，α和δ的交点与β和γ的交点的连结为0α，β和δ的交点与α和γ的交点的连线为0β，γ和δ的交点与α和β的交点的连线为0γ，0α，0β，0γ组成一个三线形。

2.4 写出下面作图题的对偶命题，并画出对偶图形（不必写做法）。

已知三点形的顶点a 、b 、c 和不在三点形任何边上的任意一点x ，并作三点形的每一顶点与点x 的连线x a ⨯，x b ⨯，x c ⨯。

图2
对偶命题：已知三线形的三边α，β，γ，和不通过三线形任何顶点的任意一条直线ξ，求作三线形的每一边与直线ξ的交点ξα⨯，ξβ⨯，ξγ⨯。

对偶图形为右图。

2.5 已知三点形abc 和点p ，而p 不在三点形的边上，令a c b p a '=⨯⨯⨯)()(，
b a
c p b '=⨯⨯⨯)()(，c b a p c '=⨯⨯⨯)()(，a c b c b ''='⨯'⨯⨯)()(，b a c a c ''='⨯'⨯⨯)()(，c b a b a ''='⨯'⨯⨯)()(，试证a ''，b ''，c ''共线。

提示，对三点形abc 和c b a '''应用笛沙格定理。

3.1 在意直线上取点)1,7,5(--=y ，)1,2,1(-=z 作为基础点，
)1,1,1(-=u 作为单位点，建立射影坐标系，试求点)5,1,1(-=x 的齐次和非齐次射影坐标。

答：)31
,37,35(-=*y ，)3
2,34,32(-
=*z ，)2,1(，21
3.2 在一线束里取直线)3,2,1(-=ξ，)6,3,2(-=η为基础直线，取)12,1,4(--=ζ为单位直线，建立射影坐标系，试求)0,1,0(=ϕ的齐次和非齐次射影坐标。

答：)7,9(，
9
7
3.3 如果点)0,1,1(，)1,1,2(，)7,1,0(取作射影坐标系的参考三点形的顶点，)1,2,1(为
单位点，试求点)1,1,1(在这个坐标系里的齐次射影坐标和方程。

答：)15,5,9(-，01559321=+-ξξξ
3.4 试写出坐标三点形个边上任意点的坐标和方程；又写出通过各顶点的任意直线的的坐标和方程。

解：设1δ上不同于23,d d 的任意点x
223323232233(0,,),,0,0x d d λλλλλλλξλξ=+=≠+=方程为
2δ上不同于13,d d 的任意点y ，13131133(,0,),,0,0y μμμμμξμξ=≠+=方程为
设3δ上不同于1d ，2d 的任意点121122,(,,0),0z z νννξνξ=+=方程
设通过1d 而不同于2δ，3δ的任意直线为α，则),,0(32λλα''=，方程是03322='+'x x λλ 通过2d 而不同于1δ，3δ的任意直线β，则),0,(31
μμβ''=，方程是0)(3311='+'x x μμ 通过3d 而不同于1δ，2δ的任意直线γ，则)0,,(21
ννγ''=，方程是02211='+'x x νν 3.5 试证：如果1a ，2a ，3a ，b 是四个点，其中没有任何三点共线；而且
)()(1k j i a a a b c ⨯⨯⨯=，其中i ，j ，k 取)3,2,1()1,3,2(和)2,1,3(，则三个点
)()(j i j i a a c c ⨯⨯⨯共线（提示：选择i i d a =，e b =）
证明：选择11d a =，22d a =，33d a =，e b = 则
)1,1,0()0,0,1()1,1,0()()()()(3213211=⨯-=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=d d d e a a a b c
同理)1,0,1(2=c ，)0,1,1(3=c 。

又)0,1,1()1,0,0()1,1,1()()(2121-=⨯-=⨯⨯⨯a a c c 同理)1,1,0()()(3232-=⨯⨯⨯a a c c )1,0,1()()(1313-=⨯⨯⨯a a c c
01
1
110
011
)()(),()(),()(131332322121=---=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯a a c c a a c c a a c c 所以)()(j i j i a a c c ⨯⨯⨯共线。

另证：观察三点形321a a a 和321c c c ，对应顶点的连线11c a ⨯，22c a ⨯，33c a ⨯属于一点
b ，由笛沙格定理，对应边的交点)()(2121a a
c c ⨯⨯⨯，)()(3232a a c c ⨯⨯⨯，
)()(1313a a c c ⨯⨯⨯属于一条直线。

3.6 设两条直线ξ和ξ'上各有三个不同点x ，y ，z 和x '，y '，z '，这些点与ξξ'⨯都不同，那么三个点：)()(z y z y a ⨯'⨯'⨯=，)()(z x x z b ⨯'⨯'⨯=，)()(y x y x c ⨯'⨯'⨯=是共线的。

（pappus 定理）。

又叙述其对偶定理，并画出对偶图形。

证明：建立坐标系),,,(b z y x 'Ω，x ~1d )0,0,1(，y '~2d )0,1,0(，z ~3d )1,0,0(，b ~e
)1,1,1(
y 在z x ⨯上而且不同于x 和z ，所以y 的坐标为),0,1(λ=y
z b ⨯~)0,1,1()1,0,0()1,1,1(-=⨯
点x '在z b ⨯上且不同于b 和z ，所以x '的坐标可设为),1,1(μ='x 。

)1,0,()1,1,0()()(μ-⨯-='⨯'⨯⨯='y x b x z ~),,1(μμ
)0,0,1(),,()()(⨯--=⨯'⨯'⨯=μμλλμz y z y a ~),,0(λμμ- )0,,()1,,()1,0,0()()(λμλλμλ-=-⨯=⨯'⨯'⨯=y x y x c
001
11
00
11
1
,,=--=--=
λ
μμ
λ
μμλμλλ
μμc b a
∴a 、b 、c 共线。

pappus 定理的对偶定理：
设通过两个点p 和p '各有三条不同的直线α，β，γ和α'，β'，γ'，这些直线与直线p p '⨯都不相同，那么三直线)()(γβγβξ⨯'⨯'⨯=，)()(γααγη⨯'⨯'⨯=，
)()(βαβαζ⨯'⨯'⨯=是共点的。

对偶图形：（图4）
图4 图5
3.7 已知三点形abc 和两点a '、b '，确定点c '，使得a a '⨯，c b '⨯和c b ⨯'共点，而且
c a '⨯，b b '⨯和a c '⨯也共点，并求证b a '⨯，a b '⨯和c c '⨯共点。

（如图5） 证明：当两个已知点a '，b '中至少有一个点在已知的三点形abc 的边上时，本题显然成立、因此，假设a '和b '都不在三点形abc 的边上；点c '的作法如下：首先，作
)()(c b a a p ⨯'⨯'⨯=，则点c '又在q b ⨯上；再作)()(a c b b '⨯⨯'⨯，则点c '又在q a ⨯上，
因此，)()(q a q b c ⨯⨯⨯='
为了证明b a '⨯，a b '⨯和c c '⨯共点，可以选择坐标系，计算这三条直线的坐标，然后证明行列式0,,='⨯'⨯'⨯c c a b b a 即可。

由此取)0,0,1(=a ，)0,1,0(=b ，)1,0,0(=c ，)1,1,1(=p ，)1,1,(m a ='，),1,1(n b ='，则直线b b '⨯，a c '⨯的坐标依次为b b '⨯~)1,0,(-n ，a c '⨯~)0,,1(m - 从而)()(a c b b q '⨯⨯'⨯=~),1,(mn m q a ⨯~)1,,0(mn -，q b ⨯~)1,0,1(- )()(p b q a c ⨯⨯⨯='~),1,(mn mn
由此求得b a '⨯~)1,,0(n -，a b '⨯~),0,1(m -，c c '⨯~)0,,1(mn -
00
10
1
10
,,=---='⨯'⨯'⨯mn
m n c c a b b a
所以，a b '⨯，b a '⨯，c c '⨯共点。

本题证明也可以用pappus 定理的对偶定理来证明。

3.8 已知定直线ξ和不在ξ上的两定点a ，b 。

若p ，q 是ξ上的两个动点，p q ≠，而且p ，q 都不与()a b ξ⨯⨯重合。

又点()()r a p b q =⨯⨯⨯，()()S a q b q =⨯⨯⨯，求证
()()t a b r s =⨯⨯⨯是一个定点。

证明：取各点坐标(1,0,0)a =，()0,1,0b =在直线ξ上取点()0,0,1c =和()1,1,1d =，则ξ的坐标()1,1,0ξ=-，设p ，q 的坐标依次为()1,1,p λ=，
()1,1,q μ=，(λμ≠，0λ≠，0μ≠，否则p q =或者p ，q 与()()1,1,0a b ξ⨯⨯=重合)。

于是有 ()0,,1a p λ⨯=-，(,0,1)b p λ⨯=-
(,0,1)b q μ⨯=-，(0,,1)a q μ⨯=- 从而 ()()(,,)r a p b q λμλμ=⨯⨯⨯= ()()(,,)S b p a q μλλμ=⨯⨯⨯=
2
2
((),(),)(,,())r s λμμλλμμλλμλμλμλμ⨯=---=-+ 所以 ()()(,,0)(1,1,0)t r s a b λμλμ=⨯⨯⨯=-=-
t 的坐标不含参数，t 为定点。

3.9 在一条直线上取(1,1,2)-，(3,2,1)和(0,1,1)-作参考点(其中(0,1,1)-作为单位点)，建立射影坐标系，试求点(5,2,3)的其次射影坐标。

如果(1,1,0)和(1,2,3)--与(1,3,4)-是第二个射影坐标系的参考点(其中(1,3,4)-作为单位点)，试求这两个坐标系的关系方程。

解：在1(;)y z u Ω中，(0,1,1)u •
=-，3
36(,,)555y •=-，321(,,)555
z •=--，在点(5,2,3)
的坐标为(4,21)-。

在(,;)r s t 'Ω中，11(,,0)33r •=--，4812
(,,
)333
s •=-，(1,3,4)t •=- 631010
81520y r s z r s •
•••••
⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
从(,;)y z u Ω到(,;)r s t 'Ω=的坐标变换公式为：
68105311020u ρλλμρλμ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
3.10 设直线上从一个射影坐标系到第二个射影坐标系的坐标变换把点(0,1)，(1,1)，
(2,1)分别映射为点(0,1)，(4,1)和(3,1)，试求这个坐标变换公式。

答：12512u ρλλρλμ⎧=⎨=-⎩
1200512ρ=≠-
3.11 试求112321233123234263σξξξξσξξξξσξξξξ
=-+⎧⎪
=+-⎨⎪=++⎩诱导出来的点变换公式，并求这个变换的逆变换。

答：1
12
233121821055161616x x x x x x ρ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪'=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
'⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ 1122
33121016185162516ξξσξξξξ'⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12
22
33241321163x x x x x x ρ'⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪''=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
'-⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
3.12 设平面坐标变换把点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)和(1,1,1)依次变为点(1,1,1)-，
(1,1,1)-，(1,1,1)-和(1,2,3)，试求这个坐标变换公式
答：555444333x x ρ-⎛⎫
⎪
'=- ⎪ ⎪-⎝⎭
5554442400333--=≠-
4.1 设射影变换Φ把直线ξ上射影坐标为(1,0)，(1,1)-和(2,1)的三个点依次变为直线ξ'上射影坐标为(0,1)，(1,2)，(4,1)三个点，求Φ的变换公式。

答：1
2212
12717x x x x x ρρ'=⎧⎨
'=-+⎩ 0120717≠-
4.2 确定直线ξ到ξ'闪果断射影变换公式，它分别把 （1）0，1，2变换为0，4，3
（2）0，1，2变换为2，1，3
（3）0，1，∝变换为1，∝，0，并写出各变换的逆变换
答：（1）1252λλλ'=
-，（2）73
34
λλλ-'=-
（3）1
1λλ
'=-
逆变换分别为（1）2512λλλ'='-，（2）48
37λλλ'-='-
（3）1
λλλ'-='
4.3 叙述直线ξ到ξ'上射影变换定义的对偶定义和§4中定理10、15、16的对偶定理。

（略）
4.4 试求把点(1,0,1)，(2,0,1)，(0,1,1)和(0,2,1)分别映射为1d ，2d ，3d 和e 的直射变换，并且诱导出线变换和逆变换。

答：1
202
21220x x ρ⎛⎫ ⎪
'= ⎪ ⎪--⎝⎭ 1202210220ρ≠-- 诱导变换：220002212σξ-⎛⎫
⎪
'=- ⎪ ⎪--⎝⎭
逆变换：202201022x x ρ⎛⎫ ⎪'=-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 122222010σξξ-⎛⎫ ⎪
''=- ⎪ ⎪⎝⎭
4.5试求射影变换，它依次把
（1）1d ，2d ，3d 和e 变为(1,1,1)-，(1,1,1)-，(1,1,1)-，(1,2,3) （2）1d ，2d ，3d 变为(3,1,1)-，(1,2,1)-，(1,1,1)-，而e 保持不变。

答：（1）555444333x x ρ-+⎛⎫ ⎪
'=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 5554440333ρ--≠-
（2 ）933484666x x ρ-⎛⎫ ⎪
'=- ⎪ ⎪-⎝⎭
9334840666ρ--≠-
5.1 求交比(,;,)R y z u v ，已知y ，z ，u ，v 依次是： （1）(1,1,1)--，(2,1,8)-，(1,0,3)-，(0,1,2)-； （2）(0,2,1)-，(2,1,1)-，(6,1,1)-，(2,1,0)- 答：（1）2-；（2）
32。

5.2 证明：点(1,4,1)x =，(0,1,1)y =，(2,3,3)z =-在一条直线ξ上，并求ξ上的一个点w ，使得
(,;,)4R x y z w =-
证明：设z x y λμ=+，则2λ=，5μ=，所以x ，y ，z 共线。

若11w x y λμ=+，则12(,;,)4R x y z w μλμλ=
=-，∴1128
4()55
λμ=--= 所以 858(1,4,1)5(0,1,1)(8,37,13)w x y =+=+=
5.3 试证：一直线上的四个不同点的交比经过中心射影保持不变。

证明：设y ，z ，u ，v 是直线ξ上的四个不相同的点，而ξ'是与ξ不同的直线，a 是不在ξ上也不在ξ'上的任一点，以a 为中心，用中心射影法，把y ，z ，u 和v 映射为ξ'上的点y '，z '，u '和v '，四条射线一次是η，ξ，ϕ，ψ，根据定理19，
有(,;,)(,,,)R y z u v R ηξϕψ= (,;,)(,,,)R y z u v R ηξϕψ''''= ∴ (,;,)(,;,)R y z u v R y z u v ''''=
5.4 设a ，b ，c ，d 是直线上四个不同点，已知(,;,)3R a b c d =，求这四点交比的其他可能值。

答：
13，2-，12-，23，32。

5.5 设y ，z ，u 是直线上射影直线上的参考点，（u 是单位点），若(,;,)R y z u v 的值为（1
；（2）
3
2
，求点v 的齐次射影坐标。

答：（1
） （2）(3,2)
5.6 设直线上四个点的齐次射影坐标为(2,1)y =，(1,2)z =，(1,1)u =-，(1,0)v =，求(,;,)R y z u v
答：2
5.7 设直线上三个点的齐次射影坐标为(2,1)y =，(1,2)z =，(1,1)u =-，
(,;,)2R y z u v =，求v 点的坐标。

答：(1,0)
(,0)λ，λ为任意非零常数。

5.8 已知直线上四点的非齐次射影坐标为0x =，5y =，2z =，3w =，试求交比的
所有可能值。

答：
49，94，59，95，54-，45
-。

5.9 已知线束里直线的非齐次射影坐标为1
2
ξ=
，1η=，3ζ=，2ϕ=-，求(,;,)R ξηζϕ
答：
32
5.10 一直直线上五个不同的点i a ，1,2,3,4,5i =，求证：
1234(,;,)R a a a a ·1245(,;,)R a a a a ·1253(,;,)1R a a a a =（利用定理23）
5.11 试证笛卡儿平面上共点a 的四条直线η，ξ，ϕ，ψ的交比为(,;,)
R ηξϕψsin(,)sin(,)
sin(,)sin(,)
ηϕζψζϕηψ⋅=
⋅
这里(,)ηϕ表示以a 为顶点，η为始边，ϕ为终边的有向角，
它的方向从η到ϕ，(,)ζψ等记号的意义与此相同。

证明：由a 作ξ的垂线段，记它的长为0h >，应用三角形的面积公式。

11
sin(,)22agu
S
yu h ay au ηϕ=
⋅= ① 11
sin(,)22azv S zv h az av ζψ=⋅= ②
11
sin(,)22azu S zu h az au ζϕ=⋅= ③
11
sin(,)22
ayv S gv h ay av ηψ=⋅= ④
⨯⨯①②③④：得 sin(,)sin(,)
sin(,)sin(,)
yu zv zu yv ηϕζψζϕηψ⋅⋅=⋅⋅
而
(,;,)(,;,)yu zv
R y z u v R zu yv
ηζϕψ⋅==⋅
∴(,;,)R ηζϕψ=
sin(,)sin(,)
sin(,)sin(,)
ηϕζψζϕηψ⋅⋅
5.12 试证y z λ+关于y 、z 的调和共轭点是y-λz.
证明：设所求的第四调点是12v y z μμ=+，则
R （y,z ; y+λz,12y z μμ+）=-1 (10μ≠、20μ≠) ∴
1
2
1λμμ=-,∴21μλμ=- ∴ 111()v y z y z y z μλμμλλ=-=-=-.
5.13 试证：123:0x x x ε--= 123:30x x x η-+=,23:20x x ε+=共点，求ξ关于ε
和η的调和共轭直线ϕ。

答：123320x x x --=
5.14 已知线束a 里的三条直线η，ζ，ϕ，试画出第四调和直线。

解：作任意直线ε（不过a ），ε交η，ζ，ϕ，于点y,z,u,在ε上作y,z,u 的第四调和点v,连结av ψ=就是所求的直线。

5.5
判别下列个点对哪些是不分隔的？哪些是分隔的？
（1） (1,0),(0,1)和（1,1），（1,2） （2） （1,0），（0,1）和（3,2），（2，-5） （3） （3,2），（2,4）和（-1,1），（1,3） （4） （3,1），（1,2）和（2,1），（0,1）
答：（1）不分隔；（2）分隔；（3）不分隔；（4）分隔。

5.6 设,,,y z u v 是直线ε上的四个不同点，如果y 、z u ÷、v ，试证：y 、u z -、v ，
y 、v z -、u
证明：∵(,;,)0R y z u v α=<， ∴(,;,)10R y u z v a =-> ∴y ，u z -，u 1
(,;,)10R y v z u α
=-
>，∴y 、v z -、u 。

6.1 利用迪沙格定理证明下列初等几何中问题。

、
（1） 设平行四边形EFGH 的顶点在另一个平行四边形ABCD 各边上，试证这两个平
行四边形的四条对角线相交于一点。

（2） 四边形的边AB,BC,CD 和DA 上各有一点，
顺次是E,F,G 和H 。

如果BD ，EH 和FG 相交于一点M ，则AC ，EF 和HG 也相交于一点。

证明：（1）观察AEH ∆和CGF ∆，||AE CG ,||EH GF ,||HA FC ,就是说，三对对应边的交点在一条直线上，即无穷远直线上，由笛沙格定理的逆定理，AC 、EG 、HF 共点。

再看BFE ∆和DHG ∆,BD 、EH 、FG 交于一点M ，BE DH A ⨯=,EF HG M ⨯=,BF DG C ⨯=三点共线。

所以，AC 通过EF ，HG 的交点N 。

6.2 设A,B,C,D 共线。

O 是AC 的中点，若OC 是OB 和OD 的比例中项，则
(,;,)1R A B C D =-
证明：按题设，AO=OC,2OC OB OD =⋅ (,;,)AB CD
R A B C D CB AD
⋅=⋅
∵AB ⋅CD=(AO+OB)(CO+OD)=(OB+OC)(OD-OC)
=2OB OD OC OB OC OC OD ⋅--⋅+⋅=()OC OD OB OC BD -=⋅ ()()()()CB AD CO OB AO OD OB OC OD OC =++=-+
2
()OB OD OC OB OC OC OD OC OB OD OC BD =⋅-+⋅-⋅=-=-⋅
∴(,;,)1OC BD
R A B C D OC BD
⋅=
=--⋅
6.3 设(,;,)1R A B C D =-,试证1111
()2CD CA CB =+
证明：(,;,)1AC BD
R A B C D AD BC
⋅==-⋅
∴CA BD CB AD ⋅=-⋅
()CA BD CA BC CD CA BC CA CD ⋅=+=⋅+⋅ ()CB AD CB AC CD CA CB CB CD -⋅=-+=⋅-⋅
∴CA BC CA CD CA CB CB CD ⋅+⋅=⋅-⋅ ∴
1111()2CD CA CB
=+ 6.4 已知一直线上的四点A,B,C,D,其中相邻两点的距离相等，试计算这四点交比的所有可
能值。

答：43，34，13-，-3，4，14
习题二
1.1 叙述并证明第二章§1透视中定理5的对偶定理。

解：对偶定理：“线束x 到线束x '上的透视变换是射影变换，它把公共直线x x '⨯映射到这条直线自身。

” 证明：设ε是线束x 和'x 的透视轴，如果,,,y z u v 是点列ε上的任意四点，依次属于
线束x 的四条直线,,,αβγδ；同时这四点又依次属于线束'
x 的四条直线''''
,,,αβγδ。

那么''''
(,;,)(,;,)(,;,)R R y z u v R αβγδαβγδ==所以线束x 到'
x 的透视变换保持交
比不变，所以是射影变换。

若'
()x x εω⨯⨯=，则x ω⨯于'
x ω⨯是对应直线，而''x x x x ω
ω⨯⨯⨯，所
以'
x x ⨯自身对应。

1.2 已知两个射影点列的三对对应点，试作这两个点列的公共点所对应的点。

首先把这个公
共点看作第一个点列的点，然后看作第二个点列的点。

再就线束研究类似的问题。

已知ε和'ε里的三对对应''
,;,a a b b 和c ，'c ，'d εε⨯=。

（1） 把d 看作是ε里的点，在'a a ⨯上任取点s 和's ，作''
0()()b s b s b =⨯⨯，
''
0()()c s c s c =⨯⨯⨯，000b c ε⨯=，把d 看作是ε里的点，做00()s b d ε⨯⨯= '''
0()s d d ε⨯⨯=，'d 就是d 的对应点。

（2）把d 看作是'ε的点'd ，'
00()s d d ε⨯⨯=，0()s d d ε⨯⨯=，d 就是把d 看作第
二个点列内的点'
()d 在第一个点列内的对应点。

1.3 叙述并证明巴普斯定理的对偶定理。

解：巴普斯定理的对偶定理是：
设,,αβγ是通过点x 的三条不同的直线；,αβ''和γ'是通过点x '的三条不同直线； x x '/，那么三条直线0
()()a βγβγ''⨯⨯⨯，0
()()a a βγγ''⨯⨯⨯，
()()γαβαβ''⨯⨯⨯是共点的。

证明：设x x σ'⨯= ()()a ϕβαγ''=⨯⨯⨯ ()()ψαγβγ''=⨯⨯⨯
b
αβ'⨯，b βγ''⨯ 00(,,,)(,,,)(,,,)b x b γ
α
αγϕβαβγσψαγβ∆
∆
'''''''==
∴00(,,,)(,,,)b b αγϕβψαγβ-
'''∧
β是线束b 和b '的公共直线切自对应，所以00(,,,)(,,,)b b a αγϕβϕγβ=
'''∧
因而存在透视轴，即三点αψ'⨯，00γα⨯，ϕγ'⨯的公共直线，
也就是说三个点αγ'⨯，00γα⨯，ϕγ'⨯共线，所以0α，0β，0γ共点。

2.1 已知线束x 里的三条直线α，β和ϕ，求作直线ϕ关于α和β的调和共轭直线。

（利用完全四线形的调和性质或透视到一个点列中利用作第四调和点的方法作）
2.2 过三点形abc 的顶点各作一直线a a '⨯，b b '⨯，c c '⨯，使它们相交于一点d ，并分别交对边于a '，b '，c '；又()()b c b c a ''''⨯⨯⨯=，()()c a c a b ''''⨯⨯⨯=，
()()a b a b c ''''⨯⨯⨯=，求证(,;,)1R b c a a ''=-，(,;,)1R c a b b ''=-，(,;,)1R a b c c ''=-
证明：由完全四点形ac db ''，b c ⨯是它的一条对角线，b 、c 是两个对角线点；a '，a ''是通过第三个对角线点的一对对边与b c ⨯的交点，所以(,;,)1R b c a a '''=- 其余部分用类似方法证明。

2.3 完全四线形是完全四点形的对偶图形，试利用平面对偶原理，写出完全四线形的定义
（包括顶点、边、对角点三线性等概念）及其调和性质。

解：任何三条都不共点的四条直线α，β，γ，δ以及这四条直线中每两条决定的六个交点所构成的集合称为完全四线形，这四条直线α，β，γ，δ称为完全四线形的边，这六个点称为顶点，在同一条边上的二顶点称为相邻的顶点；不在同一条边上的两个顶点称为对顶点，有三对对顶点：αβ⨯与γδ⨯，αδ⨯与βγ⨯，αγ⨯与
βδ⨯。

对顶点的连线 ()()εαδβγ=⨯⨯⨯ ()()ηαβγδ=⨯⨯⨯ ()()ϕαγβδ=⨯⨯⨯
称为对角线。

对角线的交点：εη⨯，ηϕ⨯，ϕε⨯称为对角点，以及对角线喂边的三线形。

调和性质：过完全四线形的每一个对角点有一个调和直线集，它包括两条对角线，和这个对角点与在第三条对角线上一对对顶点的连线。

过完全四线形没一个顶点有一个调和直线集，它包括两条边，一条对角线，和这个顶点跟另外二对角线交点的连线。

3.1
试求直线ε到它自身的射影变换：
112
212
252ρλλλρλλλ⎧'=+⎪⎨'=-⎪⎩的二重点。

答：（5,2），（1，-1）
3.2 直线ε到它自身的射影变换把1,3变为5,4，并保持∞不变，试求这个射影变换。

答：非齐次射影坐标11
2
λλ-+'= 3.3
直线ε到它自身的抛物型射影变换有二重点（2,1），并把（2,3）变为（1,0），试求变换方程。

解：设所求抛物型变换为a b c d λλλ+'=+，0a b c d
≠，21为二重点，2
3对应于∞（即
（1,0），故有
22a b c d α+=
+ 2
03
c d +=
因它是抛物型，∴2
()40d a dc -+=，c 、d 不全为0，否则
a b c d
，故令0c ≠，从
而解得103a c =
，4b c =-，23
d c =- 令3c =，则10a =，12b =-，2d =-
得101232
λλλ-'=-
3.4 已知直线ξ到它自身的双型射影的两个二重点v ，w 和一对对应点x ，x '，求作任一
点y 的对应点y '
作法：通过v 和w 分别作直线η和ζ，在直线ζ上取适当的点s ，作0()x s x η=⨯⨯，
0()s x x ζ''=⨯⨯，再作0()y s y η=⨯⨯，则0()y s y ξ''=⨯⨯，y '即为所求的y 的对
应点。

4.1 试求变换Φ：x ax b '=+，0a ≠，已知I Φ≠，2I Φ=
解：I Φ=的充要条件是1a =，0b =，2Φ的表达式为：
2()(1)x a ax b b a x b a '=++=++
∴2
I Φ=的充要条件是21a =，(1)0b a += 若1a =，则0b =，此时I Φ=，应除外
若1a =-，则不论b 取什么值，总有2
I Φ=，而I Φ≠，所以满足2
I Φ=，I Φ≠的Φ是 x x b '=-+（b 可取任何值）。

4.2 设一个对合的两对对应点对的非齐次坐标是1，-1和-2,3，求这个对合方程
答：51
5
λλλ+'=
--
4.3 设一直线上的对合有二重点（1,1）和（2,0），试求这个对合的方程。

答：112
22
2ρλλλρλλ⎧'=-+⎪⎨'=⎪⎩
4.4设对合的两个二重点的非齐次坐标为1和-2，求这个对合的方程。

答：4
21
λλλ-'=
--
4.4 假设一个对合的两对彼此对应的点的非齐次坐标分别是二次方程（1）
21110a x b x c ++=（10a ≠）和（2）22220a x b x c ++=（20a ≠）的根，试求这个
对合的方程。

解 设所求的对合方程式a b
c d
λλλ+'=
+
或写作 ()0c a b λλλλ''-+-=
若方程（1）和（2）的根分别为1λ，1λ'和2λ，2λ'，则
1111c a λλ'=
1111b a λλ'+=- 2
2
22c a λλ'=
2222b a λλ'+=-
代入（1）得1110c c b a a b +-= 2220c c b a a b +-=
因a ，b ，c 不全为0，由（1），（2）消去a ，b ，c
1
112
2
2
()
1
0c b a c b a λλλλ''-+=这就是所求的对合方程。

4.6 试证直线上的椭圆型对合的任意两对对应点是互相分隔的。

证明：设y ，z 和u ，v 是直线上椭圆型对合的任意两对对应点，如果y 、z u -、v ，则y ，z 和u ，v 所决定的对合是双曲型的，与假设矛盾。

所以y 、z u -、v 。

4.7 试证：直线上两对点y ，z 和u ，v 有公共调和点的充要条件是y 、z u -、v 。

证：充分性，设y 、z u -、v ，以y ，z 和u ，v 为两对彼此对应点对确定一个双曲型对合，如果m ，n 是这个对合的两个二重点，那么由定理10， (,;,)1R m n y z =-，(,;,)1R m n u v =-
所以，y ，z 和u ，v 有公共的调和共轭点对m ，n 。

必要性 假设y ，z 和u ，v 有公共的调和点对m ，n ，那么以m ，n 为两个二重点作成一个双曲型对合Φ。

由定理10和推论，双曲型对合Φ是完全确定的。

而且Φ下的每一对对应点都是关于二重点m ，n 的调和共轭点。

既然y ，z 和u ，v 都被m ，n 调和分隔，那么y ，z 和u ，v 都是Φ下的对应点对，可是双曲型对合的任意两对对应点互相不分隔，所以y 、z u -、v 。

4.8 同一直线上两个不相同的双曲型对合有公共的对应点对的充要条件是什么？
解：设直线上两个不同的双曲型对合1Φ和2Φ，它们的二重点依次是1m ，1n 和2m ，
2n ，如果1Φ和2Φ有公共的对应点对x ，y ，那么x ，y 就是1m ，1n 和2m ，2n 的公
共调和点对。

反过来说也对。

因此问题就转化为“直线上两个点对1m ，1n 和2m ，2n 有公共调和点对的充要条件是什么？”由前4.8题可知这个充分条件是1m ，22n m -，
2n 。

所以，同一直线上两个不相同的双曲型对合有公共的对应点对的充要条件是它们的两对二重点互相不分隔。

4.9 如果直线ξ交三点形pqs 的三边p q ⨯，q s ⨯，s p ⨯于点a '，c '，b '，这些点与ξ上另三个点a ，b ，c 是直线ξ上一个对合的三对对应点，求证：a s ⨯，b q ⨯，
c p ⨯共点。

证明：设()()a s b q r ⨯⨯⨯=，则pqrs 是完全四点形，若()p r c ξ''⨯⨯=，由第二笛沙格定理a ，a '；b ，b '和c ''，c 是属于同一个对合的三对对应点，记此对合为Φ，则Φ有两对对应点对a ，a '；b ，b '完全确定，∴c c Φ'''=。

而按已知条件，c ，c '也是Φ的一对对应点，c c Φ'=，因为在对合Φ下，c '的对应点是唯一的，所以c c ''，从而p r p c ⨯⨯，
就是说a s ⨯，b q ⨯，c p ⨯共点r 。

4．10设三点形abc 的三边b c α⨯=，c a β⨯=，a b λ⨯=，α'，β'，γ'是分别通过a ，
b ，
c 而与各边不相同的直线，而且ϕ是不同于α，β，γ，α'，β'，γ'的任一直线，
置a αϕ'⨯=，a αϕ'''⨯=，b βϕ'⨯=，b βϕ'''⨯=，c γϕ'⨯=，c γϕ'''⨯=，试证：当且仅当a '，a ''；b '，b ''；c '，c ''是一个完全四点形的三对对边与直线ϕ的交点时，三直线α'，β'，γ'共点。

（提示：假设α'，β'相交于点p ，考察完全四点形abcp ）。

证明：设p αβ'⨯=，0()c p c ϕ⨯⨯=，则abcp 是一个完全四点形，由第二笛沙格定理，三对对应点a '，a ''；b '，b ''；c '，0c 属于同一个对合的三对对应点，然而由假设a '，a ''；b '，b ''；c '，c ''也是同一个对合的三对对应点，所以0c 和c ''是同一对合里c '的对应点，所以0
c c ''，从而c p γ'⨯，所以α'，β'，γ'共点p 。

5．1试求直射
112
212312383x x x
x x x x x x x ρρρ⎧'=+⎪⎪
'=+⎨⎪
'=++⎪⎩
的二重点和二重直线。

答：二重点(1)
(3,6,1)x
=-，(2)(0,0,1)x =，(3)(3,12,5)x =
二重直线 (1)
(4,1,0)ξ=-，(2)(7,2,9)ξ=-，(3)(2,1,0)ξ=
5．2 试求下列各直射的二重元素，并画出相关的位置的示意图。

（1）2110
21323x x ρ-⎛⎫ ⎪
'=- ⎪ ⎪--⎝⎭ （2）01000
1133x x ρ⎛⎫ ⎪
'= ⎪ ⎪--⎝⎭
答：（1）(1)
(1,1,1)x
=- (2)(3)(3,1,1)x x =-
(1)
(4,3,9)ξ
= (2)
(3)(0,1,1)ξξ=
(1)(2)(3)
(1)
(2)
(3)
(1)(2)(3)
(1)
(2)
(3)
(2)~~(1,2,1)
~
~
(1,1,1)
~~~
~
x x x x x x
图19
5. 3 试求以(2,1,1)a
为中心，直线
3
(0,0,1)为轴，(2,0,1)z
和'(2,1,1)z 为
一对对应点的透射变换。

'
200020211x ρ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
答： 5.4下图中已画出透射变换的两对对应点z ，'
z 和y ，'
y ,透射轴上的一个点b ，点b 不在'
z z ，也不在'y
y 上，试画出透射轴和透射中心，若x 是平面上一个点（不在轴上），
试画出x 的对应点'x 。

解：透射中心''())a y y z z =⨯⨯⨯（，透射轴''
[())]y z y z b α=⨯⨯
⨯⨯（，_
()x z x α=⨯⨯，_
''
()()x a x z x =⨯⨯⨯
5． 5 证明：一个透射变换在通过它的中心的每一条直线上导出一个双曲型射影变换。

证明：设透射H 的透射中心为a ，投射轴为，若
是通过a 的任一直线，则
是H
的二重直线。

设Z 是上的一点，但不同于_
Z
，也不同于a ，则'
H Z Z 必现在
上。

以
上的任何三个点y ，z ，u 及其在H 下的对应点'
y ，'z ，'u ，可以确定直线
到
它自身的射影变换，如果我们能够证明的任何一对对应点v ，v 也是H 的对应点对，即H v =v ,那么就是H 在直线
上诱导出的射影变换。

事实上，在下，有
'''(,;,)
((,;,)R y z u v R y z u v
在H 下则有'''(,;,)
((,;,)H R y z u v R y z u v
''''''((,;,)((,;,)H R y z u v R y z u v φ∴= H v v φ∴=
然而，a 和z 是H 的二重点，那么它们也是的二重点，而且~a ⨯_
Z ，所以是一个摄影变换。

5.6 设a ，b ，c 和'a ，'b ，'c 是两个三点形的顶点，而且'a a ，'b b ，'c c 共点S ,
S 不同于任何一个顶点，试证：存在一个透射变换，把a ，b ，c 分别映射为'a ，'b ，'c 。

证明：两个三角形abc 和'''a b c 对应顶点的连线'a a ，'b b ，'c c 共点S ,由笛沙格定理，对应边的交线_
''
()()a b c b c =⨯⨯⨯，_
''
()()b c a c a =⨯⨯⨯，_
''
()()c a b a b =⨯⨯⨯共线，设此直线为。

如果'a a ，'b b ，'c c 互不相同，如图21，则abcs 和'''a b c s 是两个四角形点集，确定一个直射，分别把a ，b ，c 变为'a ，'b ，'c 。

直射里有一个二重点S ，诱导出线来S 到它自身的射影变换，这个诱导出来的射影变换有三条不同的二重直线：'a a ，'b b ，'c c ，所以线束S 是线态不变的，线束S 的每条直线与的交点都是下的二重点，是点态不变的直线，当S 不属于时，是一个透射。

如果'a a ，'b b ，'c c 中有两条重合，例如'b b ~'
c c ，如图22，这时，abcs 和
'''
a b c s 都不是四角形点集，不能用它们确定直射，但可在上任取一个不同于_a ，_b ，_
c 的
点t ，则abcs 和'''a b c s 都是四角形点集，用'''
abct a b c t →可以确定一个直射，这个直射当
S 不在上时，同样是一个透射。

当S 在上时，用上述方法确定的直射是合射。

但是有些作者认为合射是中心在轴上的
透射。

根据这个观点，对于题设的两个三点形abc 和'''a b c 总存在一个透射把a ，b ，c 分别映射为'''a b c 。

5． 7 试证直射变换：'
4152110112x ρ-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦是调和透射。

证：415()2110112ki a -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
2
415415900()21102110090112112009ki a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦
因此
I ，
2
I ，所以直射是平面上的对合，由定理22，直射φ是调和透射。

5．8试求使直线(1,1,1)e 为点态不变的直射变换
解：在(1,1,1)e
上取三点(0,1,1)、(1,0,1)和(1,1,0)，它们都是二重点，代入直
射'
()ki x x a ρ=，解得：
'0x x τλ
μνρλτμντλμτν+⎡⎤⎢⎥=+≠⎢⎥
⎢⎥+⎣⎦
5． 9试求以1为轴，把
(2,1,1)变为(3,2,0)的合射变换的方程
解 令(2,1,1)Z ，'
(3,2,0)Z
则'1
()(0,1,3)a
Z Z 是合射中心
'613060006x x ρ-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
5．10 试证：把点2
(0,1,0)d ，(0,1,1)q ，(1,1,0)h 依次变为(1,1,1)l ，
(1,1,1)f ，(2,0,1)k ，而点(1,1,1)r
不变的直射是合射。

证明：设满足题设条件的直射为
'
()ki x x a ，|(|0ki a ，点2d ，g ，h ，r 中
无任何三点共线，l ，f ，k ，r 中也无任何三点共线，由 1
(1,1,1)(0,1,0)()ki a 2
(1,1,1)(0,1,1)()ki a 3
(2,0,1)(1,1,0)()ki a
4
(1,1,1)(1,1,1)()ki a
解得直射的方程：'
311111002x x ρ-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
求此直射的二重元素，可得直线(1,1,0)是点态不变的直线，点(1,1,1)a 是线态不变的点，且0a
，所以是以
(1,1,0)为轴，(1,1,1)a 为中心的合射。

6.1 三角形的顶点是一个已知三角形的高的垂足，这种三角形叫做垂足三角形。

试已知
三角形的每一高平分对应的垂足三角形的一个角。

证明：设DEF 是ABC 的垂足三角形，H 是垂心，DF 交CA 的延长线于G ,那么，AC 就是完全四点形BDEF 的一条对角线，由完全四点形的调和性质，(,;,)1R G E A C ,
又ADC 是直角，AD 平分GDE
同理 BE 平分DEF ,CF 平分EFD 。

6.2 设M 是线段AB 的中点，P 是不在AB 上的一个已知点，限用直尺作过P 而平行于AB 的直线。

作法：通过A 作任意直线交BP 于点Q ,点Q 不同于P 和B ,连结AP MQ
S ,连结
BS AQ T ,连结PT ，即为所求作的直线。

6.3 已知ABC 的顶点B 和C ，顶角A 的平分线与对边的交点T ，以及BC 边上中线的长，求作ABC 。

作法：1.作B ，C ，T 的第四调和点P 。

2.以TP 为直径作圆周k 。

3.取BC 的中点D ，以D 为中心，中线长m 。

为半径画弧交k 于A ，则ABC 即为所求三角形。

证明：根据作法，A 在圆周k 上，TAP 是直角，而且B ，C ，T ，P 是调和点列，所以AT 是BAC 的内角平分线。

又BC 的中点为D ，a DA
m ，所以DA 是ABC 底边上等于已知长的中线，所以
ABC 符合条件。

讨论：P 点是唯一确定的，圆周是唯一确定的。

1.若a
DP
m DT ,则以D 为中心，a m 为半径的圆弧与k 除交点A 外还有一个交点'A ,
'A BC 也符合条件，'A BC 与ABC 的形状、大小相同，位置在BC 的两旁，通常把'A BC 和ABC 算作一个解。

2.若a
m DT ,a
m DP ,本题无解。

习题三
1.1已知平面
w
的对射变换210131121x ρε⎛⎫
⎪
'= ⎪ ⎪--⎝⎭
，试求点a （1,0,1）的对应直线和直线
a （0,1,2）的对应点
答：505()125125ki A -⎛⎫
⎪
=-- ⎪
⎪-⎝⎭
a '=（1,3，-1），a '=（3，-6,5）
1.2 判断下列平面ω到它自身的对射中，哪些是ω上的配极变换的诱导变换(x ε→)
(1) 311210011x ρε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2) 112123230x ρε-⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
(3) 120212021x ρε-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ (4)
301110122x ρε-⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪-⎝⎭ 答：(2)、(3)是ω上的配极变，它们的诱导变换是
（2）967645751x σε-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭ （3）324212425x σε---⎛⎫ ⎪
=--- ⎪
⎪---⎝⎭
1.3 对于平面
ω
上的配极变换γ：1212
01113x ρε-⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪--⎝⎭
下列各对应点中哪些是共轭的？ （1）（1,0,1）和（1,4，-1），（,2）（1,1,1）和（1,-5，1），（1）（3,2,0）和（1,-1，1）
答：（1）12111(1,0,1)2014(0,1,4)40
11311-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪-== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
点（1,0,1）共轭于（1,4，-1）
（2）12111(1,1,1)2015(1,3,5)50
11311-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
点（1,1,1）共轭于（1,-5，1）
（3）12111(3,2,0)2
011(1,3,5)11011311-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
--=--=-≠ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
点（3,2,0）与（1,-1，1）不共轭。

1.4 写出配极变换121221112x ρε-⎛⎫
⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
下自共轭点和自共轭直线的轨迹。

答：在γ下的自共轭点轨迹是
222
123121323224220
x x x x x x x x x +--+-=
550531012x σε--⎛⎫
⎪
=--- ⎪ ⎪--⎝⎭
∴自共轭直线的轨迹是22212312235321020εεεεεεε++++=
2.1 已知配极变换
γ
：113
2
233
1322x x x x x x
ρερερε=-⎧⎪
=+⎨⎪=-⎩，求自共轭点的轨迹；求直线(1,1,1)ε=的极
点和在γ
上的诱导对合及这个对合的类型
把γ表示为
201011110x ρε-⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
则
111112122x σε--⎛⎫
⎪
=--- ⎪ ⎪-⎝⎭
在γ下的自共轭点的轨迹为
22
1213232220x x x x x x +-+=
111(1,1,1)112~(1,4,1)122x γεσ--⎛⎫
⎪
==---- ⎪ ⎪-⎝⎭
∴
(1,4,1)x ε•=-≠、（1,1,1）0所以不是自共轭直线。

在ε上取点1y (1,0,1)=-和2y (1,1,0)=-
11201(1,0,1)011~(3,1,1)~110y γη-⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
22201(1,1,0)011~(2,1,2)~110y γ
η-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
1
1(0,1,1)y ηε'=⨯=-，22(1,4,3)y ηε'=⨯=-- 在ε上建立坐标系，使1y ，1y '和2y 为参考点，它们的坐标依次是：（1,0），（0,1）和（1,1），于是2y '的坐标为（1,4），用1y ，1
y '和2为两对彼此对应的点确定对合： 0410ρλλ⎛⎫
'= ⎪⎝⎭
04010ρ≠ 便是所对的对合()γε，又4140=⋅⋅>，所以()γε是双曲型对合。

2.2 当已知自极三点形，并已知不在这个三点形边上的一个点及其极线时配极变换就确定了。

证明：若点d 不在已知的自极三点形abc 的边上，则d 的极线ϕ不通过任一顶点。

若α，β，
η，ϕ中无任何三条直线共点，又a,b,c,d 中无任何三点共线。

因此，以这四点及其极线可
唯一地确定一个极配变换 。

2.3 试证：在射影平面上对于给定的配极变换γ，总能找到一个自极三点形。

证明: 设给定的配极变换为：
()ki x a ρε= 0ki a ρ≠ ik ki a a =
则自共轭点的轨迹为：
222
1112223331212131323232220a x a x a x a x x a x x a x x +++++=
首先，证明平面上至少有一个点不是自共轭的，就是说，至少有一个点的坐标不满足（1）。

事实上，ik a 不能全为 0，否则0ik a =，若ii a ，(1,2,3)i =中有一个不是0，
例如110a ≠，。

则以11x =，20x =，30x =代入（1）式，得到;左边=11a ，右边=0，就是说，这时有点（1,0,0）
不是自共轭点。

若ii a ，(1,2,3)i =而i k ≠时，ik a 中有一个不是0，例如120a ≠，则把点（1,1,0）代入（1）式左边，得到：
112212+2=0a a a + 而112212+2=0a a a + ，∴11221212+2=20a a a a +≠
因此，点（1,1,0）不是自共轭点。

总之，平面上至少有一个非自共轭点。

设x 是γ下的一个非自共轭点，则x 的极线ε是非自共轭直线
如果ε上没有非自共轭点，可在ε上任取一点y ，求得y 的极线η，若z ηε⨯=，则xyz 就是自极三点形。

如果ε上有两个自共轭点b,c.则在ε上任取一不同于b 和c 的一点y ，再求的y 极线η,，若z ηε⨯=，则xyz 就是自极三点形。

3.1 试写出通过坐标三点形的顶点的圆锥曲线在点坐标系里和线坐标系里的方程。

解:设圆锥曲线c 在点坐标系里的方程是：
222
1112223331212131323232220a x a x a x a x x a x x a x x +++++=
把1(1,0,0)d ，2(0,1,0)d ，3(0,0,1)d 的坐标依次带入方程，得到110a =，220a =330a =，因此圆锥曲线在点坐标系里的方程是
1212131323230a x x a x x a x x ++=
确定这个圆锥曲线的配极变换是：121312
2313
23
ˆ0
00a a x a a a a ρε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
1213
12
2312132313
23
00200
ik a a a a a a a a a a ==≠ 诱导变换是
2
231323
122321323131213212231213
12
2a a a a a x a a a a a a a a a a σε⎛⎫
- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝
⎭
所以圆锥曲线在线坐标系里的方程是：
2222222311321231323121223131213132220a a a a a a a a a εεεεεεεεε++---=
3.2 试确定圆锥曲线222
1230x x x --=的配极变换；把直线(1,0,2)ε=上的点划分为无切线
点和两切线点两部分；试求通过一个两切线点的切线；验证这个点的极线交于一个无切线点。

解：确定圆锥曲线222
1230x x x --=的配极变换是100010001x ρε⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
直线(1,0,2)ε=的方程是1320x x -=，解方程组：222231
30
20x x x x x ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩
得ε
到圆锥曲线的交点：(y =-
,(2,Z - 若x 是直线ε上任意一点，则
((2,(2(1),1)x y z λλλλλ=+=-+-=-+-+
这里λ是参数，可取任意实数或∞，由此可求得x 的极线
(2(1,1))x γηλλλ==+-+
圆锥曲线与直线η联立，得方程组：
222
1231230
2(1))(1)0
x x x x x x λλλ⎧--=⎪⎨
+-++=⎪⎩(1) 如果方程线(1)有非零实数解，则η与曲线有两个交点，交点与x 的连线便是由x 向曲线所做的切线，所作x 是两切线点。

如果方程组(1)无非零实数解，则η与曲线没有交点因而x 是无切线点。

为了解方程组，设1λ≠-消去3x ,得：
2221122)1313()011x x x x λλλλ--⎡
⎤+
++=⎢⎥++⎣
⎦ （2）
1x ,2x 不全为零（否则1230x x x ===，应除开）。

可设20x ≠，于是（2）是关于
1
2
x x 的二次方程，判别式
222
23(1112(
313()11(1)λλλλλ--⎡
⎤=-+=⎢⎥+++⎣
⎦ 当0λ-∞<<时，
0>,（
2）由两组实数解，点x 是两切线点；
当0λ<<∞,0<,（2）无实数解，x 是无切线点。

所以，直线ε上的点，可划分为两部分，分别表示如下：
0,
((2,0x λλλ<<∞⎧=-+-=⎨-∞<<⎩
无切线点，若两切线点，若。

（3）
当=-1λ时，x=y-z
(0,1,0)，
它的极线是2x =0，此极线与圆锥曲线相交于点：(1,0,1)μ=和=(1,0,-1)ν，通过y ，z 的两条切线的坐标是(1,0,1)x γ
μμ⨯==-，(1,0,1)x γ
νν⨯==，。