23.1.2平行线分线段成比例

23.1.2平行线分线段成比例
（难点练）
一、单选题
1．（2019·山东菏泽市·）如图，四边形ABCD 中，6BC =，AB BC ^，BC CD ^，E 为AD 的中点，F 为线段BE 上的点，且1
2
FE BE =
，则点F 到边CD 的距离是（ ）
A ．3
B ．
103
C ．4
D ．
143
2．（2020·陕西九年级）如图，在矩形ABCD 中，∠CBN 的正弦值等于1
3
，BN 与CD 交于点N ，∠
BND 的平分线NM 与AD 交于点M ，若CD ＝7，DM ＝2AM ，则AD 的长为（ ）
A ．
B ．
C ．8
D ．9
二、填空题
3．（2020·浙江温州·九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =．连接BD ，DBC Ð的角平分线BE 交DC 于点E ，现把BCE V 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的BCE V 为
BC E ¢¢△．当射线BE ¢和射线BC ¢都与线段AD 相交时，设交点分别为F ，G ．若BFD △为等腰
三角形，则线段DG 长为______．
4．（2021·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直线1y x =+与x 轴交于点A 与y 轴交于点B ，点O 为坐标原点，C 1为AB 中点，过C 1作C 1A 1⊥OA 于点A 1，连接OC 1，△OA 1C 1面积记为S 1；C 2为
AC 1中点，过C 2作C 2A 2⊥OA 于点A 2，连接OC 2，△OA 2C 2面积记为S 2；C 3为AC 2中点，过C 3作C 3A 3⊥OA 于
点A 3，连接OC 3，△OA 3C 3面积记为S 3……以此类推，面积为S 2021为_____________．
5．（2020·天津和平·九年级）如图，在正方形ABCD 中，点E 是对角线BD 上一点，连接AE ，将DE 绕D 点逆时针方向旋转90°到DF ，连接BF ，交DC 于点G ，若DG =3，CG =2，则线段AE 的长为__．
6．（2020·安徽淮南·）如图，在ABC V 中，ABC Ð和ACB Ð的平分线相交于点O ，过点O 作EF BC ∥交AB 于点E ，交AC 于点F ，OD AC ^交AC 于点D ，连接AO ．给出以下四个结论：
①若80BAC Ð=°，120BOC Ð=°；②
EO FO
AE AF
=；③AO 平分BAC Ð；
④若8AE AF +=，3OD =，则12AEF S =△．
其中正确的有________．(把所有正确结论的序号都选上)
7．（2020·浙江温州·九年级期末）图1是我校闻澜阁前楼梯原设计稿的侧面图，//AD BC ，
90C Ð=°，楼梯AB 的坡比为1：为了增加楼梯的舒适度，将其改造成如图2，测量得
218BD AB m ==，M 为BD 的中点，过点M 分别作//BC MN 交ABD Ð的角平分线于点N ，//MP BN 交AD 于点P ，其中BN 和MP 为楼梯，MN 为平地，则平地MN 的长度为_________
8．（2020·哈尔滨市第四十九中学校九年级学业考试）如图，在ABC D 中，90BAC Ð=°，AB AC =，D 是BC 上一点，E 是BA 延长线上一点，且点E 在线段DC 的垂直平分线上，连接
CE ，若:3:1BD DC =，3AE =，则CD =_______．
三、解答题
9．（2020·吉林九年级）如图，在▱ABCD 中，∠ABD=90°，AD= 5，BD=3，点P 从点A 出发，沿折线AB- B C 以每秒个单位长度的速度向终点C 运动(点P 不与点A 、B 、C 重合)．在点P 运动的过程中，过点P 作AB 所在直线的垂线．交边AD 或边CD 于点Q ，以PQ 为一边作矩形PQMN ，且QM=2．MN 与BD 在PQ 的同侧，设点P 的运动时间为t(秒)，(1)当t= 5时，求线段CP 的长；
(2)求线段PQ 的长(用含t 的代数式表示)；(3)当点M 落在BD 上时，求t 的值；
(4)当矩形PQMN 与▱ABCD 重叠部分圆形为五边形时，直接写出t 的取值范围．
10．（2020·浙江）如图1，已知正方形ABCD ，AB ＝4，以顶点B 为直角顶点的等腰Rt △BEF 绕
点B 旋转，BE ＝BF ，连结AE ，CF ．
（1）求证：△ABE≌△CBF．
的值．
（2）如图2，连结DE，当DE＝BE时，求S
△BCF
（3）如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的
中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP PG的值最小时，求MP的值．
11．（2021·吉林延边·九年级）[感知]如图①，在▱ABCD中，点E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F．求证：点E是BF的中点，点D是AF的中点；
[应用]如图②，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，点E是CD的中点，BE⊥CD，BE、AD的延长线相交于点F，则AF＝ ．
[拓展]如图③，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是AB上一点，
1
=
2
BE
EA
，BD，CE相交于点F，
则EF
FC
＝ ．
12．（2020·上饶市广信区第七中学九年级月考）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
13．（2019·辽宁九年级月考）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE 绕点D逆时针旋转90º，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
（1）探究线段BE、BF和DB之间的数量关系，写出结论并给出证明；
（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC=60º，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120º，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M．若BE=1，AB=2，直接写出线段GM的长度．
14．（2020·山西）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证
明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设D ，E ，F 依次是△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足
1AD BE CF
DB EC FA
××=．这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线DE 交△ABC 的边AB 于点D ，交边AC 于点F ，交边BC 的延长线与点E ．过点C 作CM ∥DE 交AB 于点M ，则BE BD
EC DM =，AD AF DM FC
=（依据），∴
BE AD EC DM ×＝BD AF
DM FC
×，∴BE •AD •FC ＝BD •AF •EC ，即
1AD BE CF DB EC FA
××=．
情况②：如图2，直线DE 分别交△ABC 的边BA ，BC ，CA 的延长线于点D ，E ，F ．…
（1）情况①中的依据指： ；（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
（3）如图3，D ，F 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，且AD :DB ＝CF :FA ＝2:3，连接DF 并延长，交BC 的延长线于点E ，那么BE :CE ＝ ．
15．（2020·安徽蚌埠市·九年级）如图（1），已知：在菱形ABCD 中，点,E F 分别在边,BC CD 上，,,BE DF AE AF =分别交BD 于点,C H
（1）求证：BG DH =；
（2）连接FE ，如图（2），当EF BG =时，
①求证：AH DF AF AD
=；
②若菱形ABCD的边长为2，求CF的长．
16．（2020·安徽安庆·九年级）如图（1），已知正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE=DF，AE、AF分别交BD于点G、H．
（1）求证：BG=DH；
（2）连接FE，如图（2），当EF=BG时．
①求证：AD•AH=AF•DF；
②直接写出HF
AH
的比值．
17．（2020·吉林九年级）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．D为边BC上一点，且BD＝2CD，过点D作DE//AC交AB于点E，过点E作EF//BC交AC于点F．动点P、Q分别从点A、B同时出发，均以2cm/s的速度匀速运动．点P沿折线AF﹣FE﹣ED向终点D运动，点Q沿BA向终点A运动．过点P作PM⊥AC交AB于点M，以PM与QM为边作▱PMQN．设点P的运动时间为t（s），矩形CDEF与▱PMQN重叠部分图形的面积为S（cm2）
（1）DE的长为 ；
（2）连结PQ，当PQ//BC时，求t的值；
（3）在点Q从点B运动到点E的过程中，当四边形CDEF与▱PMQN重叠部分图形是三角形时，求S 与t之间的函数关系式；
（4）设PN与边DE的交点为G，连结FG，当点E在FG的垂直平分线上时，直接写出t的值．
18．（2020·海南九年级）如图，四边形ABCD是边长为10的菱形，BE⊥AD于点E，AE=6，且BE 交对角线AC于F，连接DF，点P是DC上一点，BP交AC于M．
（1）求证：△ABF≌△ADF；
（2）如图1，若P为CD中点,求CM
MF
的值；
（3）如图2，若S
△BFM ＝S
△CPM
，求PC，并直接判断BP与CD是否垂直（不必说明理由）．
19．（2020·江苏省天一中学）（1）①发现：如图1，G是V ABC的重心，连结BG，CG，并分别延长BG，CG，交AC，BA于D，E连结DE，则DE与BC的位置关系是；
②证明：如图2，AF是△ABC的中线，P是AF上任一点，连结BP，CP，并分别延长交AC，BA于D，E，连结DE，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理
由．
（2）应用：用无刻度直尺根据要求作图：如图3，M是□ABCD边CD上一定点，（ⅰ）在AB边上作一点N，使AN=CM，（ⅱ）如图4中，BA的延长线上作一点Q，使AQ=CM．
20．（2021·河南）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的
=，如图，试确定线段AE与
延长线上，且ED EC
DB的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE_____DB（填“>”，“<”或“=”）．（2）特例启发，解答题目
解：如图2，题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE ____DB （填“>”“<”或“=”）．理由如下：（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =．若ABC V 的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）．。