江苏省启东市高中数学 第二章 数列单元复习学案(无答案)苏教版必修5

第二章 数列
单元复习
【知识点】
（一）等差、等比数列的性质
1.等差数列{a n }的性质 （1）a m =a k +（m －k ）d ，d =
k
m a a k
m --.
（2）若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λ
d 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等
差数列且公差为λ1d +λ2d .
（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md .
（4）若m 、n 、l 、k ∈N *
，且m +n =k +l ，则a m +a n =a k +a l ，反之不成立.
（5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C 成等差数列.
（6）若数列{a n }的项数为2n （n ∈N *
），则S 偶－S 奇=nd ，
奇
偶S S =
n
n a a 1+，S 2n =n （a n +a n +1）（a n 、
a n +1为中间两项）；
若数列{a n }的项数为2n －1（n ∈N *
），则S 奇－S 偶=a n ，奇
偶S S =
n
n 1
-，S 2n －1=（2n －1）a n （a n 为中间项）.
2.等比数列{a n }的性质 （1）a m =a k ·q
m －k
.
（2）若数列{a n }是等比数列，则数列{λ1a n }（λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{b n }也是公比为q 2的等比数列，则{λ1a n ·λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为
q ·q 2.
（3）下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等比数列，公比为q m
.
（4）若m 、n 、l 、k ∈N *
，且m +n =k +l ，则a m ·a n =a k ·a l ，反之不成立.
（5）设A =a 1+a 2+a 3+…+a n ，B =a n +1+a n +2+a n +3+…+a 2n ，C =a 2n +1+a 2n +2+a 2n +3+…+a 3n ，则A 、B 、C
成等比数列，设M =a 1·a 2·…·a n ，N =a n +1·a n +2·…·a 2n ，P =a 2n +1·a 2n +2·…·a 3n ，则M 、N 、P 也成等比数列.
（二）对于等差、等比数列注意以下设法：
如三个数成等差数列，可设为a －d ，a ，a +d ；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a －3d ，a －d ，a +d ，a +3d .三个数成等比数列，可设为
q
a
，a ，aq ，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为
3
q
a ，q a ，aq ，aq 3
. （三）用函数的观点理解等差数列、等比数列
1.对于等差数列，∵a n =a 1+（n －1）d =dn +（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是n 的一次函数，对应的点（n ，a n ）是位于直线上的若干个点.当d ＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d =0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d ＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.
若等差数列的前n 项和为S n ，则S n =pn 2
+qn （p 、q ∈R ）.当p =0时，{a n }为常数列；当
p ≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.
2.对于等比数列：a n =a 1q
n －1
.可用指数函数的性质来理解.
当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列是递增数列； 当a 1＞0，0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n }是递减数列. 当q =1时，是一个常数列.
当q ＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列. 【典型例题】
例1已知数列{a n }，构造一个新数列a 1，（a 2－a 1），（a 3－a 2），…，（a n －a n －1），…，此数列是首项为1，公比为
3
1
的等比数列. （1）求数列{a n }的通项；（2）求数列{a n }的前n 项和S n .
例2在等比数列{a n}（n∈N*）中，a1＞1，公比q＞0.设b n=log2a n，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.
（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）求{b n}的前n项和S n及{a n}的通项a n；
（3）试比较a n与S n的大小.
例3已知{a n}是等比数列，a1=2， a3=18；{b n}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20.
（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和S n的公式；
（3）设P n=b1+b4+b7+…+b3n－2， Q n=b10+b12+b14+…+b2n+8，
其中n=1，2，…，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论.
例4 已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.
（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （2）设数列{c n }对任意正整数n 均有
11b c +22
mb c +323b m c +…+n
n n b m c 1 =（n +1）a n +1成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{c n }的前n 项和S n .。