华师大版初中数学七年级下册全册教案-第八章

第8章一元一次不等式 (1)
8.1 认识不等式 (1)
8.2 解一元一次不等式 (3)
1．不等式的解集 (3)
2．不等式的简单变形 (4)
3．解一元一次不等式 (6)
8.3 一元一次不等式组 (8)
小结 (11)
复习题 (12)
A组 (12)
B组 (13)
C组 (14)
第8章一元一次不等式
8.1 认识不等式
问题1
世纪公园的票价是：每人5元；一次购票满30张，每张可少收1元。

某班有27名少先队员去世纪公园进行活动。

当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票。

但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？
那么，究竟李敏的提议对不对呢？是不是真的“浪费”呢？
我们不妨一起来算一算：
买27张票，要付款
5×27＝135（元）
买30张票，要付款
4×30＝120（元）
显然120<135
这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面上看是“浪费”了3张票，而实际上反而节省了。

当然，如果去世纪公园的人数较少（例如10个人），显然不值得去买30张票，还是按实际人数买票为好。

现在的问题是：至少要有多少人去世纪公园，多买票反而合算呢？
探索
我们一起来分析上面提出的问题。

设有x人要进世纪公园，如果x≧30，显然按实际人数买票，每张票只要付4元。

如果x<30，那么：
按实际人数买票x张，要付款5x（元）
买30张票，要付款4×30＝120（元）
如果买30张票合算，那么应有
120<5 x
现在的问题就是：x 取哪些数值时，上式成立？
由上表可见，当x ＝___________时，不等式120<5x 成立。

也就是说，少于30人时，至少要有_____人进公园时，买30张票反而合算。

概括 像上面出现的120<135，x<30，120<5x 那样用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫做不等式（inequality ）。

不等式120<5x 中含有未知数x 。

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解（solution of inequality ）。

如上例中，x ＝25，26，27，…都是不等式120<5x 的解，而x ＝24，23，22，21则不是它的解。

例 用不等式表示： （1）x 的一半小于－1 （2）y 与4的和大于0.5 （3）a 是负数； （4）b 是非负数； 解 （1）21
x<－1
（2）y ＋4>0.5 （3）a<0 （4）b 是非负数，就是b 不是负数，它可以是正数或零，即b>0或b ＝0，通常可表示成b≥0。

练习
1．用不等式表示： （1）x 的3倍大于5； （2）y 与2的差小于－1。

（3）x 的2倍大于x ；
（4）y 的21
与3的差是负数。

（5）a 是正数； （6）b 不是正数；
2．用“<”或“>”号填空： （1）7＋3________4＋3； （2）7＋（－1）______4＋（－1）； （3）7×3________4×3； （4）7×（－3）______4×（－3）。

3．下列各数中，哪些是不等式x ＋2>5的解？哪些不是？ －3，－2，－1，0，1.5，2.5，3，3.5，5，7。

习题8.1
1．比较下列各数的大小，用“<”或“>”填空： （1）－3______-2； （2）－1______0； （3）3______－4； （4）－5______－6； （5）21
______32
；
（6）－21
______－32。

2．用不等式表示：
（1）x 的21与3的差大于2； （2）2x 与1的和小于零； （3）a 的2倍与4的差是正数； （4）b 的21
与c 的和是负数；
（5）a 与b 的差是非负数； （6）x 的绝对值与1的和不小于1。

3．向阳小队10人到学校图书馆参加装订杂志的劳动，开始两天，每人每天完成5本杂志。

问以后3天，每人每天必须完成几本杂志，才能超额完成300本杂志的装订任务？试列出不等式，找出符合题意的一些解。

8.2 解一元一次不等式 1． 不等式的解集
回忆
在上一节练习第3题中，我们发现，－3、－2、－1、0、1.5、2.5、3都不是不等式x
＋2>5的解。

由此可以看出，不等式x ＋2>5有许多个解。

进而看出，大于3的每一个数都是不等式x ＋2>5的解，而不大于3的每一个数都不是
不等式x ＋2>5的解。

由此可见，不等式x ＋2>5的解有无限多个，它们组成一个集合，称为不等式x ＋2>5的解集。

概括
一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集（solution
set ）。

研究不等式的一个重要任务，就是求出不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解
不等式（solving inequality ）。

不等式x ＋2>5的解集，可以表示成x>3，它也可以在数轴上直观地表示出来，如图8.2.1
所示。

同样，如果某个不等式的解集为x≤－2，也可以在数轴上直观地表示出来，如图8.2.2所示。

练习
1．根据“当x为任何正数时，都能使不等式x＋3>2成立”，能不能说“不等式x＋3>2的解集是x>0”？为什么？
2．两个不等式的解集分别为x<2和x≤2，它们有什么不同？在数轴上怎样表示它们的区别？
3．两个不等式的解集分别为x<1和x≥1，分别在数轴上将它们表示出来。

2．不等式的简单变形
回顾与探索
在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形。

在研究解不等式时，我们同样应先探究不等式的变形规律。

如图8.2.3所示，一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然a>b），如果在两边盘内分别加上等量的砝码c，那么盘子仍然像原来那样倾斜（即a＋c>b＋c）。

概括
不等式的性质1 如果a>b，那么
a＋c>b＋c，a－c>b－c
这就是说，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等式的方向不变。

思考
不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？
试一试
将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小，用“<”或“>”填空： 7×3_______4×3， 7×2_______4×2， 7×1_______4×1， 7×0_______4×0， 7×（－1）_______4×（－1）， 7×（－2）_______4×（－2）， 7×（－3）_______4×（－3），
……………………………………………… 从中你能发现什么？ 概括 不等式的性质2 如果a>b ，并且c>0，那么ac>bc 。

不等式的性质3 如果a>b ，并且c<0，那么ac<bc 。

这就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

与解方程一样，解不等式的过程，就是要将不等式变形成x>a 或x<a 的形式。

例1解不等式： （1）x －7<8 （2）3x<2x-3
解（1）不等式的两边都加上7，不等式的方向不变，所以 x －7＋7<8＋7， 得 x<15
（2）不等式的两边都减去2x （即加上－2x ），不等号的方向不变，所以 3x －2x<2x －3－2x 得 x<－3 这里的变形，与方程变形中的移项相类似，你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗？
例2 解不等式： （1）21
x>－3；
（2）－2x<6。

解 （1）不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，所以 21
x×
2>（－3）×2，
得
x>－6。

（2）不等式的两边都除以－2（即乘以－21
），不等式的方向改变，所以
－2x×（－21）>6×（－21
），
得 x>－3。

这里的变形，与方程变形中的“将未知数的系数化为1”相类似，它依据的是不等式的性质2或3，要注意不等式两边乘以（或除以）的数是正数还是负数，确定变形时不等号的方向是否需要改变。

练习
解下列不等式，并在数轴上表示出来： 1．X －2>0 2．X ＋1>0 3．－2x<4 4．3x≤0
3． 解一元一次不等式
前面遇到的不等式有一个共同的特点：它们都只含有一个未知数，且含未知 数的式子是整式，未知数的次数是1。

像这样的不等式叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown ）。

我们再来解一些一元一次不等式。

例3 解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： （1） 2x －1<4x ＋13；
（2） 2（5x ＋3）≤x －3（1－2x ）. 解 （1）2x －1<4x ＋13， 2x －4x<13＋1， －2x<14， x>－7. 它在数轴上的表示如图8.2.4.
（2）2（5x ＋3）≤x －3（1－2x ）， 10x ＋6≤x －3＋6x ， 3x≤－9， x≤－3. 它在数轴上的表示如图8.2.5
例4当x 取何值时，代数式34
x ＋与与213x －的值的差大于1？ 解 根据题意，得34
x ＋－2
13x －>1， 2（x ＋4）－3（3x －1）>6， 2x ＋8－9x ＋3>6， －7x ＋11>6，
－7x>－5，
得
x<75
所以，当x 取小于75
的任何数时，代数式34x ＋与与
21
3x －的值的差大于1。

讨论
试从例4的解答中总结一下解一元一次不等式的步骤，与你的同伴讨论和交流。

练习
1．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1）2x ＋1>3； （2）2－x<1； （3）2（x+1）<3x ； （4）3（x ＋2）≥4（x －1）＋7.
2．解不等式：3
3-2x >
2
2
3x － 3．一个工程队原定在10天内至少要挖土600m 3，在前两天一共完成了120 m 3，
由于整个工
程调整工期，要求提前两天完成挖土任务。

问以后几天内，平均每天至少要挖土多少m 3？
问题2 在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。

育才中学25名学生通过了预选赛，它们分别可能答对了多少道题？ 实践与探索
试解决这个问题（不限定方法）。

你是用什么方法解决的？有没有其他方法？与你的同伴讨论和交流一下。

如果你是利用不等式的知识解决这个问题的，在得到不等式的解集以后，如何给出原问题的答案？应该如何表述？ 练习
1．求下列不等式的正整数解： （1）－4x≥－12； （2）3x －11<0.
2．学校图书馆搬迁，有15万册图书，原准备每天在一个班级的劳动课上，安排一个小组同学帮助搬运图书，两天共搬了1.8万册。

如果要求在一周内搬完，设每个小组搬运图书数相同，则在以后五天内，每天至少安排几个小组搬书？
习题8.2
1．解不等式： （1）x －5<0 （2）3x≥2x －6 （3）2x<－3
（4）－2x>31
2．写出下图所表示的不等式的解集
3．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

（1）3x≥－3； （2）－3x ＋3<0 （3）2x ＋2≤3x ＋3 （4）5x －1>8x ＋3 4．a 取什么值时，代数式4a ＋2的值： （1）大于1？ （2）等于1？ （3）小于1？ 5．解下列不等式： （1）2x
＋1>x ；
（2）3（x ＋2）<4（x －1）＋7；
（3）21
（x －3）<31－2x ； （4）
31
x －－2
4x ＋>－2. 6．求不等式1－2x<6的负整数解。

7．某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域。

已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，人跑步的速度是5米/秒。

问导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全？
8.3 一元一次不等式组
问题3 用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水不少于1200吨且不超过1500吨，那么大约需要多少时间才能将污水抽完？ 分析 设需要x 分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量为30x 吨。

由题意，积存的污水在1200吨到1500吨之间，应有 1200≤30x≤1500 上式实际上包括了两个不等式 30≥1200 和 30x≤1500 它说明了在这个实际问题中，未知量x 应同时满足这两个条件。

我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组：
⎩⎨
⎧≤≥.150030,
120030X X 分别求这两个不等式的解集，得
⎩
⎨
⎧≤≥.50,
40X X
同时满足不等式①、②的未知数x 应是这两个不等式解集的公共部分。

在数轴上表示这两个不等式的解集（图8.3.1），可知其公共部分是40和50之间的数（包括40和50），记作40≤x≤50。

这就是所列不等式组的解集。

所提问题的答案为：大约需要40到50分钟才能将污水抽完。

概括 几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。

解一元一次不等式组，通常可以先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分。

利用数轴可以直观地帮助我们求出不等式组的解集。

例1解不等式组：
⎩⎨⎧>+>-.
8 2,
1213x x x
解 解不等式①，得 x>2
解不等式②，得 x>4
在数轴上表示不等式①、②的解集，如图8.3.2，可知所求不等式组的解集是
x>4
练习
1．解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来。

（1）⎩⎨⎧<-<-.
152,01x x
（2）⎩⎨⎧<->+.
01,-1
95x x
①
②
① ②
①
②
（3）⎩⎨⎧>->-.
04,012x x
（4）⎩⎨⎧>+≤-.
074,03x x
2．一木工有两根长分别为40厘米和60厘米的木条，要另找一根木条，钉成一个三角形木驾。

问第三根木条的长度应在什么范围内？
例2 解不等式组：
⎩⎨
⎧≤-<+.
13,
-112x x 解 解不等式①，得 x<－1
解不等式②，得 x≥2 在数轴上表示不等式①、②的解集，如图
8.3.3
可见，这令不等式的解集没有公共部分，这时，我们说这个不等式组无解。

问题4 小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐在跷跷板的一端；体重只有妈妈一般的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的一端。

这时，爸爸的一端仍然着地。

后来，小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果，爸爸被高高地跷起。

猜猜看，小宝的体重约多少千克（精确到1千克）？
探索与讨论 问题的已知条件有哪些？从跷跷板的状况可以概括出怎样的不等关系？用什么方法可以解决这个问题？试一试，并与你的同伴讨论和交流。

练习
2．结下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）⎩
⎨⎧->++>;148,
2x 2x x x
（2）⎩
⎨⎧>->+;023,
042x x
①
②
（3）⎩
⎨⎧+≤--+>-);1(41)2(5),3(61x x x x （4）⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤-<-;41314,032x x x 3．试求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤->->+06,03,02x x x 的解集。

4．把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果少于3个，问有几个孩子？有多少只苹果？
习题8.3
1．解下列不等式组：
（1）⎩
⎨⎧+<++>+,6354,37x 2x 4x x （2）⎩⎨⎧-<-<x x 3636,53x 52x －－ （3）⎪⎩⎪⎨⎧-≥-+<+,5122
1),1(345x x x x （4）⎪⎩
⎪⎨⎧-≤-+<+,75674,38x 504x x x （5） 2x+1<3x-1
2x-1>x+2
x －4≤0 2．求不等式组2≤3x －7<8的整数解。

3．课外阅读课上，老师将43本书分给各个小组，每组8本，还有剩余；每组9本，却又不够。

问有几个小组。

小结
一、知识结构
二、注意事项
1．不等式的只是源于生活实际。

要学会分析现实世界中量与量的不等关系，并
抽象出不等式。

2．解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，不等式的变形要注意与方
程的变形相对照，特别是注意不等式的性质3：当不等式两边都乘以同一个负数时，不等号要改变方向。

3．将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，可以加深对一元一次不等式和
一元一次不等式组的解集的理解，也便于直观地得到一元一次不等式组的解集。

复习题
A 组
1．下面方程或不等式的解法对不对？为什么？
a) 由－x ＝5，得x ＝－5；
b) 由－x>5，得x>－5；
c) 由2x>4，得x<－2；
d) 由－2
1≤3，得x≥－6。

2．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）－3x<0；
（2）8x ＋1≤5x －3； （3）3（x ＋2）－1≥5－2（x －2）； （4）31（1－2x ）>2
)12(3-x 3．X 取什么值时，代数式5－3x 的值：
（1）是负数？ （2）是0？ （3）是正数？
4．解下列不等式组：
（1）⎩
⎨⎧≤-<+;012,0)1(2x x （2）⎩⎨⎧>+>;42,32x x x （3）⎪⎩⎪⎨⎧-<-<+;173,12121x x
（4）⎪⎩⎪⎨⎧≥--+<-;04152,362x x x x
（5）312
x x -≥ 20x -≤
3122x x -<+
5．求不等式组⎩
⎨⎧-≥--<-;15764,2552x x x x 的自然数解。

6．一次智力测验，有20道选择题。

评分标准为：对1题给5分，错1题扣2
分，不答题不给分也不扣分。

小明有2道题未答。

问至少答对几道题，总分不低于60分？
B 组
7．判断下列不等式的变形是否正确：
（1） 由a<b ，得ac<bc ；
（2） 由x>y ，且m ≠0，得－
m x <m
y -； （3） 由x>y ，得xz 2 > yz 2；
（4） 由xz 2 > yz 2，得x>y
8．三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有几组？把它们分别写出
来。

9．有一个两位数，如果把它的个位和十位上的数字对调，发现得到的两位数比
原来的两位数小，请问原来的两位数中，个位上的数字与十位上的数字，哪个大一些？
10． 某城市的出租汽车起步价为10元（即行驶距离在5千米以内都需付10元车费），达到或超过5千米后，每行驶1千米加1.2元（不足1千米也按1千米计）。

现某人乘车从甲地到乙地，支付车费17.2元，问从甲地到乙地的路程大约是多少？
11． 初二年级秋游，若租用48座客车若干辆，则正好坐满；若租用64座客
车，则能少租1辆，且有一辆车没有坐满，但超过一半。

已知租用48座客车每辆250元，租用64座客车每辆300元，问应租用哪种客车较合算？
C组
12．已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围。

13．已知∣5x-3∣＝3－5x，求x的取值范围。

14．（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，从下面的示意图，你能判断三人的
轻重吗？
（2）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，从下面的示意图，你该如何判断这四人的轻重呢？。