(典型题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，在ABC 中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，将BCD △连续翻折两次，C 点的对应点E 点落在边AB 上，B 点的对应点F 点恰好落在边AC 上，则下列结论正确的是（ ）
A ．18,2A AD BD ∠=︒=
B ．18,A AD B
C B
D ∠=︒=+ C ．20,2A AD BD ∠=︒= D ．20,A AD BC BD ∠=︒=+ 2．如图，在ABC 中，4AB AC ==，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点
E ，过点E 作//MN BC 分别交AB 、AC 于M 、N ，则AMN 的周长为（ ）
A ．12
B ．4
C ．8
D ．不确定 3．下列说法错误的是（ ）
A ．有两边相等的三角形是等腰三角形
B ．直角三角形不可能是等腰三角形
C ．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D ．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
4．如图，在ABD ∆中，AD AB =，90DAB ︒∠=，在ACE ∆中，AC AE =，90EAC ︒∠=，CD ，BE 相交于点F ，有下列四个结论： ①BDC BEC ∠=∠；②FA 平分DFE ∠；③DC BE ⊥；④DC BE =．其中，正确的结论有（ ）
A ．①②③④
B ．①③④
C ．②③
D ．②③④ 5．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，D
E AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
6．如图，在Rt ABC △中，90BAC ︒∠=，AD BC ⊥于点D ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，则下列结论一定成立的是（ ）
A ．AC AE =
B ．E
C AE = C ．BE AE =
D ．AC EC = 7．如图，ABC 中，AB AC =，BD DC =，若80BAC ∠=︒，AD A
E =，则CDE
∠的度数为（ ）
A ．40°
B ．30°
C ．20°
D ．10°
8．如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点D 是底边BC 的中点，以A 、C 为圆心，大于12
AC 的长度为半径分别画圆弧相交于两点E 、F ，若直线EF 上有一个动点P ，则线段PC PD +的最小值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
9．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）
A ．6cm
B ．6.5cm
C ．7cm
D ．8cm
10．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，5cm =BC ，12cm AC =，三个内角的平分线交于点P ，则点P 到AB 的距离PH 为（ ）
A ．1cm
B ．2cm
C ．3013cm
D ．6013
cm 11．如图，在ABC 中，ED //BC ，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点F 、G ，若2FG =，6ED =，则DB EC +的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．9
12．如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作等边△ABD 与等边△ACE ，连接BE 交DC 于点
F ，下列结论：①CD =BE ；②FA 平分∠DFE ；③∠BFC =120°；④
AFE EFC S AF S FC
∆∆=．其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
13．如图，已知ABC ∆中，90,C AC BC ∠=︒=，点D 在BC 上，DE
AB ⊥，点E 为垂足，且DC DE =，联结AD ，则ADB ∠的大小为___________．
14．如图，一副含30和45︒角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，6cm AC =．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC
方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，连接BD ．则ABD △的面积最大值为_________2cm ．
15．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，PD 垂直平分AB 连接BD 并延长，交边AC 于点E ．若BCE 是等腰三角形，则BAC ∠的度数为________．
16．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，有下列结论：①EF BE CF =+；
②点O 到ABC 各边的距离相等；③1902
BOC A ∠=+∠︒；④()12
AD AB AC BC =
+-．其中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上）．
17．如图：已知ABC 是等腰三角形，120BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 是BC 上的中点，点E 是射线AD 上的一动点，点F 是射线CA 上的一动点，且AE CF =，连接BF 、CE ，则BF CE +的最小值______．
18．如图，已知一次函数y ＝﹣x +1的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 在y 轴上（M 不与原点重合），并且使以点A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形，则M 的坐标为_____．
19．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地四边形ABCD ，经测量，3m AB =，4m BC =，12m CD =，13m DA =，90B ∠=︒．小区美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地需花_________元．
20．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，32AC =，24BC =，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，则AE 的长是__________．
三、解答题
21．如图，四边形ABCD ，BC ∥AD ，P 为CD 上一点，PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ， （1）若∠BAD=80°，求∠ABP 的度数；
（2）求证：BA=BC+AD ；
（3）设BP=3a ，AP=4a ，过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，求AE 的长（用含a 的代数式表示）
22．如图，在四边形ABCD 中，90,A ABC BCD BDC ∠=∠=︒∠=∠，过点C 作CE BD ⊥，垂足为E ．求证：AB CE =
23．如图，等边△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ． （1）如图①，点E 为AB 的中点，求证：AE=DB ．
（2）如图②，点E 在边AB 上时，AE DB （填：“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F （请你完成以下解答过程）．
（3）在等边△ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC ．若AB=1，AE=2时，直接写出CD 的长．
24．如图，△ABC 是等边三角形，点D 在BC 的延长线上，连接AD ，以AD 为边作等边△ADE ，连接CE ．
（1）求证BD ＝CE ；
（2）若AC +CD ＝2，则四边形ACDE 的面积为 ．
25．已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在ABC 中，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠，过点D 作直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，若AE AF =，解答下列问题：
（1）证明：DE DF =；
（2）若60A ∠=︒，8AB =，7BC =，5AC =，求EF 的长．
26．在平面直角坐标系中，已知A（x，y），且满足x2+6x+y2﹣6y+18＝0，过点A作AB⊥y 轴，垂足为B．
（1）求A点坐标；
（2）如图1，若分别以AB、AO为边作等边△ABC和等边△AOD，试判定线段AC和CD的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图2，若在x轴正半轴上取一点M，连接BM并延长至N，以BN为直角边作等腰Rt△BNE，∠BNE＝90°，过点A作AF∥y轴交BE于点F，连接MF，设OM＝a，MF＝b，
AF＝c，试证明：11c
a b ab +=．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
设∠ABC=∠C=2x，根据折叠的性质得到∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°BD=DF，BC=BE=EF，在△BDC中利用内角和定理列出方程，求出x值，可得∠A，再证明AF=EF，从而可得AD =BC+BD．
【详解】
解：∵AB=AC，BD平分∠ABC，
设∠ABC=∠C=2x，则∠A=180°-4x，
∴∠ABD=∠CBD=x，
第一次折叠，可得：
∠BED=∠C=2x，∠BDE=∠BDC，
第二次折叠，可得：
∠BDE=∠FDE，∠EFD=∠ABD=x，∠BED=∠FED=∠C=2x，
∵∠BDE+∠BDC+∠FDE=180°，
∴∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°，
∴x+2x+60°=180°，
∴x=40°，即∠ABC=∠ACB=80°，
∴∠A=20°，
∴∠EFD=∠EDB=40°，
∴∠AEF=∠EFD-∠A=20°，
∴AF=EF=BE=BC，
∴AD=AF+FD=BC+BD，
故选D．
【点睛】
本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
由角平分线的定义和平行线性质易证△BME和△CNE是等腰三角形，即BM＝ME，CN＝NE，由此可得△AMN的周长＝AB+AC．
【详解】
解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，
∵MN//BC，
∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，
∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，
∴BM＝ME，CN＝NE，
∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，
∵AB＝AC＝4，
∴△AMN的周长＝4+4＝8．
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．3．B
解析：B
【分析】
利用等腰三角形和等边三角形的判定解答即可．
【详解】
A.有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A 选项正确；
B.等腰直角三角形就是等腰三角形，故B 选项错误；
C.有两个角为60°的三角形是等边三角形，正确；
D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确．
故选B ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握有关性质． 4．D
解析：D
【分析】
由△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形得出AB=AD ，AE=AC ，∠BAD=∠CAE=90°，再进一步得出∠DAC=∠BAE 证得△ABE ≌△ADC ，可以判断①③④；作AP ⊥CD 于P ，AQ ⊥BE 于Q ，利用面积相等证得AP= AQ ，再利用角平分线的判定定理即可判断②．
【详解】
∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，
∴AB=AD ，AE=AC ，∠BDA=∠ECA=45︒，
又∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC ，
即：∠DAC=∠BAE ，
在△ABE 和△ADC 中，
AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ADC （SAS ），
∴BE=DC ，故④正确；
∠ADF=∠ABF ，
∴∠BDC=45︒-∠ADF ，∠BEC=45︒-∠AEF ，
而∠ADF=∠ABF ≠∠AEF ，
∴∠BDC ≠∠BEC ，故①错误；
∵∠ADF+∠FDB+∠DBA=90°，
∴∠FDB+∠DBA+∠ABF=90°，
∴∠DFB=90°，
∴CD ⊥BE ，故③正确；
作AP ⊥CD 于P ，AQ ⊥BE 于Q ，
∵△ABE ≌△ADC ，
∴ABE ADC S S =，
∵BE=DC ，
∴AP= AQ ，
∵AP ⊥CD ，AQ ⊥BE ，
∴FA 平分∠DFE ，故②正确；
综上，②③④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，求得212CE DE ==，60CED ∠=︒，再根据条件得出9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，得到122
EF OE =
=，即可得解； 【详解】
连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，
∵2OD =，4OE =，
∴6DE OD OE =+=，
在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，
∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒，
∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，
∴OA OC =，
∵OA OB =，
∴OB OC =，
∵OF BC ⊥， ∴12
CF BF BC ==
， 在Rt △OEF 中，
∵60OEF ∠=︒， ∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒， ∴122EF OE =
=， ∴10CF CE EF =-=，
∴8BE BC CE =-=；
故答案选C ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
根据角平分线的性质得出∠BAE=∠DAE ，再根据∠CEA=∠B+∠BAE ，∠CAE=∠CAD+∠DAE 得出∠CAE=∠CEA 即可得出答案．
【详解】
解：∵90BAC ∠=︒，
∴∠BAE+∠DAE+∠CAD=90°，∠B+∠C=90°
∵AD ⊥BC
∴∠BAE+∠DAE+∠B=90°，∠DAE+∠DEA=90°，∠CAD+∠C=90°
∵AE 平分BAD ∠
∴∠DAE=∠BAE
∵∠B+∠C=90°
∴∠CAD=∠B
∵∠CEA=∠B+∠BAE
∴∠CEA=∠DAE+∠CAD=∠CAE
∴AC=EC ，
其他选项均缺少条件，无法证明一定相等，
故选：D ．
【点睛】
本题考查直角三角形两锐角和为90°，角平分线的定义以及等腰三角形的判定等知识，解
题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．C
解析：C
【分析】
根据已知可求得∠DAC及∠ADE的度数，根据∠CDE=90°-∠ADE即可得到答案．
【详解】
解：∵AB＝AC，BD=DC
∴ AD⊥BC（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠BAD＝∠DAC＝ 80°÷2=40°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝（180°−40°）÷2=70°，
∴∠CDE＝∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°，
故答案为：C.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键.
8．B
解析：B
【分析】
由作法知EF是AC的垂直平分线，可得AP=CP，线段PC PD
+的最小就是PA+PD，当A、P、D三点共线时最短，由点D是底边BC的中点，可BD=CD=6，由AB=AC，可得
AD BC
⊥，在Rt△ABD中，由勾股定理得：8即可．
【详解】
解：连结PA，
由作法知EF是AC的垂直平分线，
∴AP=CP，
∴PC+PD=PA+PD，
线段PC PD
+的最小就是PA+PD，
当A、P、D三点共线时最短，
∵点D是底边BC的中点，
∴BD=CD=11
BC=12=6 22
⨯，
∵AB=AC，
∴AD BC
⊥，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD=22221068AB BD -=-=，
（PC+PD ）最小=（PA+PD ）最小=AD=8．
故选择：B ．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，关键是利用垂直平分线将PC 转化为PA ，找到P 、A 、D 三点共线时最短．
9．D
解析：D
【分析】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．
【详解】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，
AB AC =，AD 平分BAC ∠，
∴AN BC ⊥，BN CN =，
∴90ANB ANC ∠=∠=，
60EBC E ∠=∠=，
∴EBM △是等边三角形，
6BE cm =，
∴6EB EM BM cm ===，
∴60
EFD EBM
∠=∠=，∴EFD
△是等边三角形，
2
DE cm
=，
∴2
EF FD ED cm
===，
∴4
DM cm
=，
EBM
△是等边三角形，
∴60
EMB
∠=，
∴30
NDM
∠=，
∴2
NM cm
=，
∴4
BN BM NM cm
=-=，
∴28
BC BN cm
==．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN的长度是解决问题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
由勾股定理解得13cm
AB=，根据角平分线的性质，可得
,,
CAP PAB ABP CBP ACP BCP
∠=∠∠=∠∠=∠，过点P，分别作Rt ABC
△三边的垂线段，继而证明MAP
△()
HAP ASA
≅△，PMC
△()
PNC ASA
≅△，
BHP()
BNP ASA
≅△，由全等三角形对应边相等的性质得到PM PH
=，
,
PM PN PN PH
==，即可证明PM PH PN
==，最后利用三角形面积公式及等积法解题即可求得PH的值．
【详解】
解：在Rt ABC
△中，90
ACB
∠=︒，5cm
=
BC，12cm
AC=，
13
AB
∴===
P是Rt ABC
△中三个内角的平分线的交点，
,,
CAP PAB ABP CBP ACP BCP
∴∠=∠∠=∠∠=∠
过点P，分别作Rt ABC
△三边的垂线段，如图，
在MAP
△与HAP
△中，
CAP BAP
AP AP
AMP AHP
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴MAP
△()
HAP ASA
≅△
同理得，PMC △()PNC ASA ≅△，BHP ()BNP ASA ≅△
,PM PN PN PH ∴==
PM PH PN ∴== 111222ABC S AC PM AB PH BC PN ∴=⋅+⋅+⋅ 1()2
AC AB BC PH =++⋅ 1(51213)2
PH =⨯++⋅ 15PH =
又115123022
ABC S AC BC =⋅=⨯⨯= 1530PH ∴=
2PH ∴=
故选：B ．
【点睛】
本题考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式及等积法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
11．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG ＝EB ，DF ＝DC 即可求得结果．
【详解】
解：∵ED ∥BC ，
∴∠DFB ＝∠FBC ，∠EGC ＝∠GCB ，
∵∠DBF ＝∠FBC ，∠ECG ＝∠GCB ，
∴∠DFB ＝∠DBF ，∠ECG ＝∠EGC ，
∴BD ＝DF ，CE ＝GE ，
∵FG ＝2，ED ＝6，
∴DB ＋EC ＝DF ＋GE ＝ED−FG ＝6−2＝4，
故选：B ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．
12．A
解析：A
【分析】
过点A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，过点C 作CH ⊥BE 于H ，证明△ADC ≌△ABE ，可判断①，再证明AM =AN ，结合AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，可判断②，证明∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，结合三角形的外角的性质可判断③，证明∠FAN =∠FCH =30°， 利用含30的直角三角形的性质与勾股定理可得： 33
,,AN AF HC FC =
= 再利用三角形的面积公式可判断④．
【详解】
解：过点A 作AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，过点C 作CH ⊥BE 于H ，
∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，
∴AD =AB ，AE =AC ，∠DAB =∠EAC =60°，
∴∠DAC =∠BAE ．
在△ADC 和△ABE 中，
AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADC ≌△ABE （SAS ），
∴CD =BE ，∠AEB =∠ACD ，故①正确
∵△ADC ≌△ABE ，
∴AM =AN ．
∵AM ⊥CD 于M ，AN ⊥BE 于N ，
∴AF 平分∠DFE ，故②正确．
∵∠AEB =∠ACD ，
∴∠AEC +∠ACE =120°=∠AEB +∠BEC +∠ACE ，
∴∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，
∴∠BFC =∠ACF +∠BEC +∠ACE =120°，故③正确，
∴∠DFE=120°，
∴∠DFA=∠EFA=60°=∠CFE．∵AN⊥BE，CH⊥EF，
∴∠FAN=∠FCH=30°，
∴2,,2,, AF FN AN FC FH HC
======
∴,,
AN AF HC FC
==
∴
1
2.
1
2
AEF
EFC
EF AN AF
S AN AF
S CH FC
EF CH
⨯⨯
====
⨯⨯
故④正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
13．5°【分析】首先根据角平分线的判定方法判定AD是∠BAC的平分线然后利用外角性质求∠ADB的度数即可【详解】解：∵∠C＝
90°DE⊥AB∴∠C=∠AED=90°在Rt∆ACD和Rt∆AED中∴Rt∆
解析：5°
【分析】
首先根据角平分线的判定方法判定AD是∠BAC的平分线，然后利用外角性质求∠ADB的度数即可.
【详解】
解：∵∠C＝90°，DE⊥AB
∴∠C=∠AED=90°，
在Rt∆ACD和Rt∆AED中
DE DC
AD AD
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴Rt∆ACD≌Rt∆AED，
∴∠CAD=∠EAD，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝1
2
∠BAC，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∴∠CAD＝22.5°，
∴∠ADB=∠CAD ＋∠C ＝112.5°.
故答案为：112.5°．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定方法以及三角形外角的性质，角平分线的判定方法是：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
14．cm2【分析】过点作于点作于点连接由直角三角形的性质可得cmcmcm 由可证△△可得由三角形面积公式可求则时有最大值【详解】解：cmcmcmcm 当点从点滑动到点时得△过点作于点作于点连接且且△△当时有 解析：(1239236)+-cm 2 【分析】 过点D 作D N AC '⊥于点N ，作D M BC '⊥于点M ，连接BD '，AD '，由直角三角形的性质可得23BC =cm ，43AB =cm ，32ED DF ==cm ，由“AAS ”可证△D NE ''≅△D MF ''，可得D N D M ''=，由三角形面积公式可求
111222
AD B S BC AC AC D N BC D M '''=⨯+⨯⨯-⨯⨯△，则E D AC ''⊥时，AD B S '△有最大值． 【详解】
解：
6AC =cm ，30A ∠=︒，45DEF ∠=︒， 233BC ∴==cm ，43AB =cm ，32ED DF ==cm ，
当点E 从点A 滑动到点C 时，得△E D F '''，过点D 作D N AC '⊥于点N ，作D M BC '⊥于点M ，连接BD '，AD '，
90MD N '∴∠=︒，且90E D F '''∠=︒，
E D N
F D M ''''∴∠=∠，且90D NE D MF ''''∠=∠=︒，E D D F ''''=，
∴△D NE ''≅△()D MF AAS ''，
D N D M ''∴=，
AD B ABC AD C BD C S S S S '''=+-△△△△
当E D AC ''⊥时，AD B S '△有最大值，
1111123(623)2222
AD B S BC AC AC D N BC D M D N ''''∴=⨯+⨯⨯-⨯⨯=-⨯△
AD B S '∴△最大值1(62
=-⨯=cm 2．
故答案为：cm 2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定AD B S '△有最大值时的图形位置是本题的关键．
15．45°或36°【分析】设∠BAD=∠CAD=α根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示∠EBC ∠BEC 和∠C 再分三种情况讨论即可【详解】解：∵AD 平分∴设∠BAD=∠CAD=α∵AB=AC ∴∠AB
解析：45°或36°．
【分析】
设∠BAD=∠CAD =α，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示∠EBC 、∠BEC 和∠C ，再分三种情况讨论即可．
【详解】
解：∵AD 平分BAC ∠，
∴设∠BAD=∠CAD=α，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠C=
1802902
αα︒-=︒-， ∵PD 垂直平分AB ，
∴AD=BD ， ∴∠ABD=∠BAD=α,∠EBC=∠ABC-∠ABE=902α︒-，
∴∠BEC=∠ABE+∠BAC=3α,
当BE=BC 时，
∴∠BEC=∠C ，即903αα︒-=，解得22.5α=︒，
∴245BAC α∠==︒；
当BE=CE 时，∠EBC=∠C ，此时E 点和A 点重合，舍去；
当BC=CE 时，
∴∠EBC=∠BEC ，即9023αα︒-=，解得18α=︒，
∴236BAC α∠==︒，
故答案为：45°或36°．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理,垂直平分线的性质．掌握方程思想，能正确表示相关角是解题关键．
16．①②③④【分析】由在△ABC 中∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O 根据角平分线的定义与三角形内角和定理即可求得③正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰三角形得出EF=BE+
解析：①②③④
【分析】
由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角
和定理，即可求得③
1
90
2
BOC A
∠=+∠
︒正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出
△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到
△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④根据求得答案，即可得到④正确．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=1
2∠ABC，∠OCB=1
2
∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°1
2
-∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+1
2
∠A；故③正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确．
∴AM=AD，BM=BN，CD=CN，
∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，
∴AD=1
2
（AB+AC-BC）故④正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】
此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
17．12【分析】延长BA到G使AG=AC=6先证明△ACG是等边三角形得AC=GC
再证明△ACE≌△CGF得CE=GF可得BF+CE=BF+GF最后根据两点之间线段最短可得结论【详解】解：延长BA到G使
解析：12
【分析】
延长BA到G，使AG=AC=6，先证明△ACG是等边三角形得AC=GC，再证明△ACE≌△CGF 得CE=GF，可得BF+CE=BF+GF，最后根据两点之间线段最短可得结论．
【详解】
解：延长BA到G，使AG=AC=6，如图，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠GAC=60°,∠ABC=∠ACB=30°，
∵AG=AC
∴△ACG是等边三角形
∴CG=AC=6，∠ACG=60°，
∵D是BC的中点，AB=AC
∠BAC=60°=∠ACG，
∴∠DAC=1
2
又AE=CF
∴△ACE≌△CGF
∴CE=GF
∴BF+CE=BF+GF
要使BF+CE最小，只要使BF+GF最小即可，
根据两点之间线段最短可得：BF+GF≥BG=AB+AG=6+6=12
即BF+CE的最小值为12，
故答案为：12．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识，作辅助线构造等边三角形是解答此题的关键．
18．（01+）（01-）（0-1）【分析】分别以点AB为圆心以AB的长为半径画圆两圆与y轴的交点即为M点再由OA=OB可知原点也符合题意【详解】解：分别以点AB为圆心以AB的长为半径画圆如图共有4个点对
解析：（0，1+2），（0，1-2），（0，-1）．
【分析】
分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画圆，两圆与y轴的交点即为M点，再由
OA=OB可知原点也符合题意．
【详解】
解：分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画圆，如图，
共有4个点
对于y=-x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=1
∴A（1，0），B（0，1）
∴OA=OB=1
∴2
∴当AB为腰时，BM12
∴OM12
∴点M1的坐标为（0，2），
∵OA=1，2
∴OM3=1
∴点M3的坐标为（0，-1）
∵BM22
∴OM22
∴点M2的坐标为（0，2+1）
∵OA=OB
∴点M4的坐标为（0，0）（舍去）
综上，点M的坐标为：（0，20，2），（0，-1）．
故答案为：（0，2），（0，2），（0，-1）．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结
合及分类讨论的思想，在分类讨论分情况解决数学问题时，必须认真审题，全面考虑，做到不重不漏，一次分类必须按同标准进行，分出的每一部分必需都是相互独立的．本题要求学生求出相应线段后，注意根据点在坐标轴上的位置选择合适的符号，进而写出坐标． 19．3600【分析】连接AC 根据勾股定理的性质计算得AC ；根据勾股定理的逆定理推导得计算得从而得四边形面积；结合草坪每平方米100元通过计算即可得到答案【详解】如图连接AC ∵∴∵∴∴∴∴四边形面积为：∵
解析：3600
【分析】
连接AC ，根据勾股定理的性质，计算得AC 、ABC S ；根据勾股定理的逆定理，推导得90ACD ∠=︒，计算得ACD S
，从而得四边形ABCD 面积；结合草坪每平方米100元，通
过计算即可得到答案．
【详解】
如图，连接AC
∵3m AB =，4m BC =，90B ∠=︒ ∴225AC AB BC m +=，2162
ABC S AB BC m =⨯=△ ∵12m CD =，13m DA =
∴22222512169DA AC CD =+=+=
∴90ACD ∠=︒ ∴21302
ACD S AC CD m =⨯=△ ∴四边形ABCD 面积为：236ABC ACD S S m +=△△
∵草坪每平方米100元
∴铺满这块空地需花：361003600⨯=元，
故答案为：3600．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理，从而完成求解．
20．25【分析】首先连接BE 根据线段垂直平分线的性质可得AE ＝BE 然后设AE ＝x 由勾股定理可得方程：x2＝242＋（32−x ）2继而求得答案【详解】解：连
接BE∵AB的垂直平分线分别交ABAC于点DE∴
解析：25
【分析】
首先连接BE，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，然后设AE＝x，由勾股定理可得方程：x2＝242＋（32−x）2，继而求得答案．
【详解】
解：连接BE，
∵AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，
∴AE＝BE，
设AE＝x，则BE＝x，EC＝AC−AE＝32−x，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，BC＝24，
∴x2＝242＋（32−x）2，
解得：x＝25，
故答案为：25，
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
三、解答题
21．（1）∠ABP=50°；（2）见解析；（3）①EA=5
2
a或EA=
39
10
a
【分析】
（1）由PA平分∠BAD且BP⊥AP，∠BAD=80°，在Rt APB
中即可求得．
（2）延长BP交AD延长线于H，可得AB=AH，可证△BCP≌△HDP，可得BC=DH，从而结论可证．
（3）过点P作一条直线，分别与AD，BC所在直线交于点E，点F．若AB=EF，可能有两种情况，延长BP交AE延长线于H，每种情况都可依据角平分线的性质，过P点分别做PI 和PG垂直于AB和AH，则PI=PG；然后通过解直角三角形即可求解．
【详解】
解：（1）∵PA平分∠BAD且∠BAD=80°，
∴∠BAP=∠DAP=40°；
又∵∠BPA=90°
∴∠ABP+∠BAP=90°，
故∠ABP=50°．
（2）延长BP交AD延长线于H，
∵PA平分∠BAD，
∴∠BAP=∠DAP而∠BPA=90°=∠HPA，
∴∠ABP=∠AHP，
∴AB=AH；
∵AP⊥BH，
∴BP=PH；
∵BC//AH，
∴∠PBC=∠H；
而∠BPC=∠HPD；
∴△BCP≌△HDP（ASA）；
∴BC=DH，
故AB=AH=AD+DH=AD+BC．
（3）①延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，则PI=PG；
易得△BFP≌△HEP，∴ BP=HP=3a，FP=EP=1
2 EF；
在直角三角形ABP中，BP2+AP2=AB2；
∴ AB=5a，EP=5
2
a；
∵在直角三角形ABP中AB PI BP AP
⋅=⋅，
∴ PI=12
5
a=PG；
在直角三角形EPG中，GP2+EG2=EP2，
∴ EG=7
10
a；
在直角三角形HPG中，GP2+HG2=HP2，
∴ GH=9
5
a；
∴ EH=5
2
a；
∴ EA=AH-EH=5
2
a．
②延长BP 交AE 延长线于H ，过P 点分别做PI 和PG 垂直于AB 和AH ，
由①得GH=95a ，EG=710a ； ∴ EH=1110
a ； ∴ EA=3910
a ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是准确作出辅助线．
22．证明见解析．
【分析】
用“角角边”证明△ABD ≌ECB 即可．
【详解】
证明：∵90A ABC ∠=∠=︒，
∴∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠ADB=∠DBC ，
∵BCD BDC ∠=∠，
∴BD=BC ，
∵∠A=∠BEC=90°，
∴△ABD ≌△ECB
∴AB CE =．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质，解题关键是找准全等三角形，依据等腰三角形的判定和同角的余角相等证明全等．
23．（1）见解析；（2）=，理由见解析；（3）1或3
【分析】
（1）根据等腰三角形的三线合一得到CE为∠ACB的平分线，证明BD=BE，等量代换证明结论；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明△DBE≌△EFC，根据全等三角形的性质证明；（3）分点E在AB的延长线上和点E在BA的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答．
【详解】
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，点E为AB的中点，
∴CE为∠ACB的平分线，
∴∠BCE=1
2∠ACB=1
2
×60°=30°．
∵ED=EC，
∴∠D=∠DCE=30°，
∵∠ABC=60°，∠D+∠DEB=∠ABC，
∴∠DEB=30°，
∴BD=BE，
∵AE=BE，
∴AE=BD；
（2）解：AE=BD，
理由如下：如图，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AB=AC，
∴BE=CF，
∴∠DBE=∠EFC=120°，
在△DBE和△EFC中，
DE EC DBE EFC BE FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DBE ≌△EFC （SAS ），
∴EF=DB ，
∵AE=EF ，
∴AE=DB ；
故答案为：=；
（3）当点E 在BA 的延长线上时，如图③，作EF ∥BC 交CA 的延长线于F ，
则△AEF 为等边三角形，
∴AF=AE=EF=2，∠BEF=60°，
∴∠CEF=60°+∠BEC ，
∵∠EDC=∠ECD=∠B+∠BEC=60°+∠BEC ，
∴∠CEF=∠EDB ，
在△CEF 和△EDB 中，
603CEF EDB F B EB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩
，
∴△CEF ≌△EDB （AAS ），
∴BD=EF=2，
∴CD=BD-BC=1，
当点E 在AB 的延长线上时，如图，作EF ∥BC 交AC 的延长线于F ，
则△AEF 为等边三角形，
∴AF=AE=EF=2，∠AEF=60°，
∴∠CEF=60°-∠AEC ，
∵∠D=∠ECD=∠ABC+∠AEC=60°+∠AEC ，
∴∠CEF=∠D ，
在△CEF 和△EDB 中，
601CEF D F DBE EB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩
，
∴△CEF ≌△EDB （AAS ），
∴BD=EF=2，
∴CD=BD+BC=3，
综上所述，CD=1或3．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（1）详见解析；（2
【分析】
（1）由题意可以得到△ABD ≌△ACE ，从而得到BD=CE ；
（2）分别过E 作AC 、CD 的垂线EM 、EN ，由（1）及勾股定理可以求得EM 、EN 的值，然后根据三角形面积计算方法及AC+CD=2可以得到四边形ACDE 的面积 ．
【详解】
证明：（1）∵△ABC 和△ADE 为等边三角形，
∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
在△ABD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴BD ＝CE ；
（2）∵△ABD ≌△ACE ，
∴∠ACE ＝∠ABD ＝60°，
∴∠DCE ＝180°﹣∠ACE ﹣∠ACB ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
过点E 作EM ⊥AC 于M ，过E 作EN ⊥BC ，交BC 延长线于N ，
∴EM ＝EN ，
∵CE ＝BD ＝AC +CD ＝2，
∴EM ＝EN 3
∴ACE DCE ACDE S S S =+四边形
1122AC EM CD EN =
⨯+⨯ ()1132322
EM AC CD =+== 3
【点睛】
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定及应用、勾股定理、三角形面积的计算方法及角平分线的性质是解题关键．
25．（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）连接AD 由AE AF =可得AEF 是等腰三角形，由三条角平分线交于一点可证AD 平分BAC ∠即可；
（2）在BC 上取点M N 、，使得BE BM CF CN ==，，设2EF x =，则DE DF x ==，易证AEF 为等边三角形，可得2AE AF EF x ===，60AEF ∠=︒，可证BED ≌BMD （SAS ）可得DM DE =，82BM BE x ==-，BED BMD ∠=∠
60DMN AEF ∠=∠=︒，再证NCD ≌FCD （SAS ）可得,52DN DF CN CF x ===-，可证DMN 为等边三角形，由BC BM MN NC =++构造方程解之即可．
【详解】
（1）证明：连接AD ，
AE AF =，
∴AEF 是等腰三角形，
BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠，
∴AD 平分BAC ∠，
∴DE DF =；
（2）解：在BC 上取点M N 、，使得BE BM CF CN ==，，设2EF x =，则DE DF x ==，
60A AE AF ∠=︒=， ，
∴AEF 为等边三角形，
∴2AE AF EF x ===，60AEF ∠=︒，
在BED 和BMD 中，
BE BM EBD MBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴BED ≌BMD （SAS ），
∴DM DE =，82BM BE x ==-，BED BMD ∠=∠，
60DMN AEF ∴∠=∠=︒，
在CND △和CFD △中，
CN CFBM NCD FCD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴NCD ≌FCD （SAS ），
∴ ,52DN DF CN CF x ===-， 又
DE DF =， ∴DM DN DE x ===，
又60DMN ∠=︒， ∴DMN 为等边三角形，
∴MN DM x ==，
∴(82)(52)7BC BM MN NC x x x =++=-++-=，
即2x =，
∴24EF x ==．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质，角平分线性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，利用BC BM MN NC =++构造方程是解题关键．
26．（1）点A 的坐标为（﹣3，3）；（2）CD ＝AC ，CD ⊥AC ．理由见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）由非负数的性质可求出x ＝﹣3，y ＝3，则可得出答案；
（2）由等边三角形的性质得出AB ＝AC ，AO ＝AD ，∠DAO ＝∠CAB ＝60°，证明△DAC ≌△OAB ，由全等三角形的性质可得出CD ＝OB ，∠ACD ＝∠ABO ＝90°，则可得出结论；
（3）在AF上取一点P，使得AP＝OM＝a，连接BP，证明△BAP≌△BOM，由全等三角形的性质得出∠ABP＝∠OBM，BP＝BM，证明△FBP≌△FMB，由全等三角形的性质得出FP ＝FM＝b，即可得出结论；
【详解】
（1）∵x2+6x+y2﹣6y+18＝0，
∴（x+3）2+（y﹣3）2＝0，
∴x+3＝0，y﹣3＝0，
∴x＝﹣3，y＝3，
∴点A的坐标为(﹣3，3)；
（2）CD＝AC，CD⊥AC．
理由如下：
∵△ABC和△AOD为等边三角形，
∴AB＝AC，AO＝AD，∠DAO＝∠CAB＝60°，
∴∠DAO﹣∠CAO＝∠CAB﹣∠CAO，
∴∠DAC＝∠OAB，
∴△DAC≌△OAB（SAS），
∴CD＝OB，∠ACD＝∠ABO＝90°，
由（1）可知BO＝AB＝3，
又∵AB＝AC，
∴CD＝OB＝AB＝AC，且CD⊥AC，
（3）证明：在AF上取一点P，使得AP＝OM＝a，连接BP，
∵AB＝BO，AP＝OM，∠PAB＝∠MOB＝90°，
∴△BAP≌△BOM（SAS），
∴∠ABP＝∠OBM，BP＝BM，
∵∠ABP+∠PBO＝90°，
∴∠OBM+∠PBO＝90°，
又∵△BEN为等腰直角三角形，
∴∠FBN＝45°，
∴∠PBF＝90°﹣45°＝45°＝∠FBN，
又∵BF ＝BF ，
∴△FBP ≌△FBM （SAS ），
∴FP ＝FM ＝b ，
∴AF ＝FP+AP ，
即c ＝a+b ． ∴
11b a c a b ab ab
++== ． 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查了完全平方公式及非负数的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及等边三角形的性质是解题的关键；。