高中数学人教A版选修1-1优化练习2.12.1.1椭圆及其标准方程含解析

[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．椭圆x 225＋y 2
9＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，则M 到另一个焦点F 2的距离为( )
A ．3
B ．6
C ．8
D ．以上都不对
解析：由椭圆的定义知|MF 1|＋|MF 2|＝10， ∴|MF 2|＝10－2＝8，故选C. 答案：C
2．(2015·高考广东卷)已知椭圆x 225＋y 2
m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9 解析：由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4，又a ＝5，∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3，又m ＞0，故m ＝3. 答案：B
3．椭圆x 216＋y 2
7＝1的左、右焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的
周长为( ) A ．32 B ．16 C ．8
D ．4
解析：∵|AF 1|＋|AF 2|＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝8. 又∵|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，
∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝16.故选B. 答案：B
4．方程x 2sin 2＋cos 2－y 2
cos 2－sin 2＝1所表示的曲线是( )
A ．焦点在x 轴上的椭圆
B ．焦点在y 轴上的椭圆
C ．焦点在x 轴上的双曲线
D ．焦点在y 轴上的双曲线
解析：∵π2<2<3π
4，∴sin 2>0，cos 2<0
且|sin 2|>|cos 2|，∴sin 2＋cos 2>0，
cos 2－sin 2<0且sin 2－cos 2>sin 2＋cos 2，故表示焦点在y 轴上的椭圆． 答案：B
5．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→
＝0，则点M 到x
轴的距离为( ) A.233
B. 263
C.33
D. 3
解析：由MF 1→·MF 2→＝0，得MF 1⊥MF 2，可设|MF 1→|＝m ，|MF 2→
|＝n ，在△F 1MF 2中，由m 2＋n 2＝4c 2得(m ＋n )2－2mn ＝4c 2，根据椭圆的定义有m ＋n ＝2a ，所以2mn ＝4a 2－4c 2，故mn ＝2b 2，即mn ＝2，∴S △F 1MF 2＝12·mn ＝1，设点M 到x 轴的距离为h ，则12×|F 1F 2|×h ＝1，又
|F 1F 2|＝23，故h ＝3
3
，故选C. 答案：C
6．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________． 解析：由c ＝23，a ＝2b ，a 2
＝b 2
＋c 2
，∴3b 2
＝12，b 2
＝4，a 2
＝16，∴标准方程为y 216＋x 2
4
＝
1.
答案：y 216＋x 2
4
＝1
7．已知椭圆的两焦点为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，P 为椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项．该椭圆的方程是________．
解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上，c ＝2，|F 1F 2|＝4， 由于|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，
∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝8，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝42－22＝12， 故椭圆的方程为x 216＋y 2
12＝1.
答案：x 216＋y 2
12
＝1
8．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 2
7＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠F 1AF 2＝45°，则△AF 1F 2
的面积为________． 解析：如图所示，
|F 1F 2|＝22， |AF 1|＋|AF 2|＝6， 由|AF 1|＋|AF 2|＝6，
得|AF 1|2＋|AF 2|2＋2|AF 1||AF 2|＝36. 又在△AF 1F 2中，
|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|2＝2|AF 1||AF 2|cos 45°， ∴36－2|AF 1||AF 2|－8＝2|AF 1||AF 2|， ∴|AF 1||AF 2|＝282＋2＝14(2－2)．
∴S △AF 1F 2＝1
2|AF 1||AF 2|sin 45°
＝12×14(2－2)×2
2＝7(2－1)． 答案：7(2－1)
9．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆左、右焦点，若PF 1⊥PF 2，
试求： (1)椭圆方程； (2)△PF 1F 2的面积．
解析：(1)由PF 1⊥PF 2，可得|OP |＝c ，得c ＝5. 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
a 2－25＝1，代入P (3,4)，
得9a 2＋16a 2－25＝1，解得a 2＝45. ∴椭圆方程为x 245＋y 2
20
＝1.
(2)S △PF 1F 2＝1
2
|F 1F 2||y P |＝5×4＝20.
10．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．
解析：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立
直角坐标系xOy ，如图所示．
由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)，c ＝4.
由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但
点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2
＝a 2
－c 2
＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋
y 2
9
＝1(y ≠0)．
[B 组 能力提升]
1．已知方程x 2|m |－1＋y 2
2－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )
A ．m <2
B ．1<m <2
C ．m <－1或1<m <3
2
D ．m <－1或1<m <2
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
|m |－1>0，2－m >0，
|m |－1<2－m ，
解得m <－1或1<m <3
2.故选C.
答案：C
2．椭圆x 212＋y 2
3＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么
|PF 1|是|PF 2|的( ) A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍
D ．3倍
解析：不妨设F 1(－3,0)，F 2(3,0)， 由条件知P ⎝⎛⎭⎫3，±3
2，即|PF 2|＝32，
由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43， 则|PF 1|＝
73
2
， 即|PF 1|＝7|PF 2|，故选A. 答案：A
3．已知曲线C ：x 2k －5＋y 2
3－k ＝－1，则“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的
________条件．
解析：将曲线C 的方程化为：x 25－k ＋y 2
k －3＝1，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则k －3>5
－k >0，即4<k <5，故“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件． 答案：必要不充分
4．在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (－4,0)，且sin A ＋sin B sin C ＝54，则△ABC 的顶点C 的轨迹
方程为________．
解析：在△ABC 中，由正弦定理|BC |＝2R sin A ， |AC |＝2R sin B ，|AB |＝2R sin C ，
∴|BC |＋|AC ||AB |＝5
4，又|AB |＝8，∴|BC |＋|AC |＝10＞8，由椭圆的定义2a ＝10，a ＝5，c ＝4，
∴b 2
＝a 2
－c 2
＝9，又C 与AB 不共线，∴顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 2
9
＝1(y ≠0)．
答案：x 225＋y 2
9
＝1(y ≠0)
5．△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a >b >c ，A ，C 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．
解析：由已知得b ＝2，又a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b ＝4，即|AB |＋|BC |＝4，
∴点B 到定点A ，C 的距离之和为定值4，由椭圆定义知B 点的轨迹为椭圆的一部分，其中a ′＝2，c ′＝1. ∴b ′2＝3. 又a >b >c ，
∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 2
3
＝1(－2<x <0)．
6．动圆C 与定圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝32内切，与定圆C 2：(x －3)2＋y 2＝8外切，A 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，92. (1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程；
(2)若轨迹C 上的两点P ，Q 满足AP →＝5AQ →
，求|PQ |的值．
解析：(1)如图，设动圆C 的半径为R ， 则|CC 1|＝42－R ，① |CC 2|＝22＋R ，②
①＋②得，|CC 1|＋|CC 2|＝62>6＝|C 1C 2|，
由椭圆的定义知C 点的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为62的椭圆，其轨迹方程为x 2
18＋
y 2
9
＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
则AP →＝⎝⎛⎭⎫x 1，y 1－92，AQ →
＝⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－92. 由AP →＝5AQ →
可得⎝⎛⎭⎫x 1，y 1－92＝5⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－92， 所以x 1＝5x 2，y 1＝5y 2－92×5＋9
2＝5y 2－18，③
由P ，Q 是椭圆C 上的两点，得
⎩⎨⎧
x 2218＋y 22
9
＝1， ④25x 22
18＋(5y 2
－18)
2
9＝1， ⑤
由④、⑤得y 2＝3，
将y 2＝3代入③，得y 1＝－3，
将y2＝3代入④，得x2＝0，所以x1＝0，所以P(0，－3)，Q(0,3)，|PQ|＝6.。