关于半衰期公式的理解和应用

学习原子核的半衰期时，学生对半衰期的概念和公式 n=n 0 12 n=n 0 12 tτ 、m=m 0 12 n=m 0 12 tτ （其中n 0 与m 0 表示衰变前的原子核数和质量，n与m表示衰变后剩余原子核数和质量；τ表示半衰期，t 表示衰变时间，n表示半衰期数）的理解和应用在深层次物理问题上仍有较大的难度，现以下列几例分析说明，加深对这两个公式的理解和应用。

【例1】下列关于半衰期的说法中正确的是 （）
a．放射性元素的半衰期越短，表明有半数原子核发生衰变所需的时间越短，衰变速度越大
b．放射性元素的样品不断衰变，随着剩下未衰变的原子核的减少，元素的半衰期也变短c．把放射性元素放在密封的容器中，可以减慢放射性元素的衰变速度
d．降低温度或增大压强，让该元素与其他物质形成化合物，均可减小衰变的速度
【解析】放射性元素的半衰期是指放射性元素的原子核有半数发生衰变所需要的时间，它反映着放射性元素衰变的速度快慢，衰变越快，半衰期越短；某种元素的半衰期长短由其本身因素决定，与它所处的物理状态（如温度、压强）或化学状态（如单质、化合物）无关，故选项a正确。

【例2】为测定某水库水的容量，将一瓶含有放射性同位素的溶液倒入水库中，这瓶溶液每分钟衰变5.12×10 8 次，这种同位素的半衰期为24小时，5天以后从水库中取出1m 3 的水，测得每分钟衰变10次，求水库的容量。

【解析】方法一：根据题意知，设开始时瓶中放射性同位素的总原子核数为 n 0 ，则单位时间内衰变的次数（取t=τ）：
n 1=n 0－n 0 12 124×60=12n 024×60①
5天后剩余的原子核数为：
n 1=n 0 12 tτ =n 0 12 5②
从水库中取出1m 3 的水中总原子核数为 n 2 ，单位时间内衰变的次数: n 2=n 2－n 2 12 124×60=12n 224×60③
液体水中放射性原子核数与水的体积成正比：
1v=n 2n 1④
由①②得：n 1· 12 5=12n 124×60⑤
由③⑤得：n 2n 1=n 2n 1 12 5⑥
由④⑥得：v=1n 2·n 1 12 5=110·5.12× 10 8· 12 5 m 3=1.6× 10 6m 3。

方法二：单位时间内原子核衰变数 （取t=τ）：n=n 0－n 0 12 t/τ τ×60=n 0－n 0 12 1τ×60=12n 0τ×60∝n 0
5天前单位时间内原子核衰变数n 1∝n 0①
5天后单位时间内原子核衰变数为
n 2∝n 0 12 5②
由①②得：n 2n 1= 12 5③
放射性原子核数与液体水的体积成正比，即：
1v=10n 2④
解③④得：v=1n 2·n 1 12 5=110·5.12× 10 8· 12 5m 3=1.6× 10 6m 3。

【点评】本题要理解放射性原子核单位时间内衰变的次数与放射性元素原子核的数目成正比，倒入水中的放射性原子核数与液体水的体积成正比，把这两个关系找出来便能解决本
题。

【例3】(利用 14 c进行考古)自然界中的碳主要是 12 c，也有少量 14 c，它是高层大气层中的原子核在太阳射来的高能粒子流的作用下产生的。

14 c 具有放射性，其半衰期τ=5686年， 14 c原子不断产生又不断衰变，达到动态平衡，它在大气中的含量是稳定的，大气中 12 c跟 14 c的存量比约为10 12 ∶1.2。

活着的生物体中碳的这两种同位素存量之比与空气中相同。

生物死后，也不再吸收碳， 14 c将以τ=5868年为半衰期减少，并且不再得到补充，因此测出生物遗骸中 12 c与 14 c的存量比，再跟空气中的相比较，可估算出古生物的死亡年代。

如果现测得一古代遗骸中 14 c跟 12 c的存量比为空气中的三分之二，试估算该古遗骸年代。

（已知lg2=0.301，lg3=0.477）
【点评】本题难点要理解活的生物体中和空气中 14 c与 12 c存量比基本不变和 12 c不具有放射性致使遗骸中与活体中含量相同推出 nn 0=23关系，结合半衰期的原子核数公式可求出遗骸的时间。