华东理工大学2010高数(上)期末试卷及答案

华东理工大学2010–2011学年第一学期
《高等数学(上) (A)》期末考试试卷参考解答 2011.1
一、（每小题4分，共20分）填空题
1、曲线
2
ln
2x x
y =
的拐点坐标为 。

2、曲线
)
2)(1(1arctan
2
1
2
+-++=x x x x e y x 的铅直渐近线为 。

3、将x s i n 在2
π
=
x 处展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式为=x sin ，
其中ξ在
2
π
和
x 之间。

4、由32
sin 5x y x y +
-=确定的隐函数的微分dy = dx 。

5、极限
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--+∞→1)11(lim 12
x
x x x x = 。

二、（每小题4分，共20分）选择题
1、设α与β为同阶无穷小，则下列说法必定正确的是 （ ） （A ） βα~; (B) )(αβαo =-；
（C ）βα+与β为同阶无穷小； （D ）对一切正整数n ，n
α与n β为同阶无穷小。

2、函数
||ln )4(2
2
x x x y -+=
的第二类间断点有几个？（ ）
(A) 4个； (B) 3个； (C) 2个； (D) 1个。

3、设函数
)
(x f 为可导函数，且
1
2)
()(lim
-=--→x
x a f a f x ，则曲线)(x f y =在
))
(,(a f a 处的切线的斜率为 （ ）
(A) 2； (B) 1-； (C) 1； (D) 2-。

4、（8学分）设
sin x
x
为
()
f x 的一个原函数，0a ≠，则
()f ax dx a
=
⎰ （ ）
（A ）
3
sin ax
C
a x
+；(B)
2
sin ax
C
a x
+； (C)
sin ax
C
a x
+； (D)
sin ax
C
x
+。

4、（9，11学分）广义积分
=
+⎰∞+-0
x
x
e
e dx
( )
(A) 4π
； (B) 2π
； (C) π； (D) 发散。

5、设)(x f 连续，且
1
)(4
10
2
-=⎰-x dt t f x ，则=)8(f （ ）
(A) 108； (B) 48； (C) 18； (D) 8。

三、（本题12分）计算下列各题：
1、（8学分）计算不定积分⎰
解：⎰
⎰=
2
3
arctan
3
2
dx
x
⎰-
=x
d x x x arctan 3
2
arctan 3
22
323
4分
⎰+-
=dx x
x x x x 121
3
2
arctan 3
22
3
23
⎰+-
=
dx x x
x x 131
arctan 3
223
C
x x x x +++
-
=
|1|ln 3
13
1arctan 3
223
2分
（9、11学分）计算定积分0
⎰
解：0
⎰⎰=
10
2
3
arctan 3
2
dx
x
⎰+-
=1
2
3
23
121
3
2
1arctan 3
2dx
x
x x x
x 4分
2
ln 3
13
16
+
-
=
π。

2分
2、计算积分⎰+2
2
)
1(x
dx
解：设t
x
tan =，2分
⎰+2
2
)
1(x
dx
⎰=
dt t
t
4
2sec
sec ⎰=
tdt
2
cos
2分
dt t ⎰
+=
21
2cos C
t t ++=
2
4
2sin
C
x x
x
+++=
)arctan 1(21
2。

2分
四、（本题18分）解下列各题：
1、求曲线
⎩⎨⎧-==32
33t t y t x 在1=t 处的曲率。

解：t
t t
t dx
dy
216332
2
-=
-=
， 2分
3
2
22
12)1(t
t dx
y d +-=
， 2分
2
3
2
))'(1(|
''|y y K +=
=61
2分
2、（8学分）
⎰
⎰
--+
→x
x x dt
t t t dt
t t 0
0)sin (2)tan (lim
2
解：
()
()()()
x x x x x x dt
t t t dt
t t x x x x sin 2tan 2lim sin 2tan
lim 0
2
--=--
+
+
→→⎰
⎰ 2分
x
x x cos 11
sec
lim 2
--=+
→
2分
22
1lim
cos 1tan
lim
2
2
2
==-=+
+
→→x
x
x
x
x x 。

2分
2、（9,11学分）设函数
)
(x f 连续，
⎰
+=
x
dt
t x f x F 0
)()(，求'()F x 。

解：设y t x =+， 2分
⎰
⎰
=
+=
x x
x dy
y f dt t x f x F 20
)()()( 2分
'()F x )()2(2x f x f -=。

2
分
3、（8，9学分）计算极限
x
x e x
x sin cos
11lim
3
0----+
→
解：x
x e
x
x sin cos
11lim
3
0----+→x
x x
x x x
x x sin lim
2)
sin (2
1lim
3
02
3
0-=-=+
→+
→ 3分
x x
x cos 13lim
22
0-=+
→2
3lim
22
2
0x x x +
→=12
=。

3分
3、（11学分）判断级数
1
3!n
n
n n n
∞
=∑
的敛散性。

解：用比值判别法。

n
n
n n n n
n n n !
3)
1()!
1(3lim
11
++∞
→++ 2分
1
3)
11(3lim
>=
+
=∞
→e
n n
n ， 3分
所以级数发散。

1分 五、（本题12分）解下列各题：
1、（8学分）求函数x x y -+=1在指定区间[]1,5-上的最大值和最小值。

解：x
y --
=1211'， 2分
令0'=y ，得到
4
3=
x ， 2分
由于
4
5)43(=y ，65)5(+-=-y ，1)1(=y ，
所以，最大值为45
，最小值为56-。

2分
（9学分）在8年内，某项投资的回报固定为每年5 000 元，设利率为年率10%
的连续复利，求此收入流的现值。

解：
⎰
-=
8
1.05000dt
e
V t
4分
=)1(500008
.0--e 。

2分
（11学分）一个椭圆形水闸长半轴为a ，短半轴为b 。

当水面上升到椭圆中心，且恰好与长轴重合时，求水闸所受的水的单侧的压力。

解：
dx
b
x a gx F b
⎰
-
=
2
212ρ 4分
2
3
2gab
ρ= 2分
2、（8学分）设)(x f 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，试证明 ),(b a ∈∃ξ，使
)
()
()(ξξξf a
f b f '=--。

证明：设))](()([)(a x x f b f x F --=， 4分
则)(x F 满足罗尔定理，有),(b a ∈∃ξ，使0
)('=ξF ，即
)
()
()(ξξξf a
f b f '=--。

2
分
2、（9、11学分）设曲线3
x
y =、1=x 和x 轴所围成的区域为D ，计算D 分别绕x 轴和y 轴旋转所围成立体的体积之比。

解：
π
π7
1)(10
2
3=
=
⎰
dx x V x 2分
π
π5
2210
3
=
=
⎰
dx xx V y 。

3分
所以14
:5:=y x V V 。

1分
六、(本题6分)(8,9学分)设0x >, 证明对一切正整数n , 成立如下不等式
2
3
4
2ln(1)2
3
4
2n
x
x
x
x
x x n
+>-
+
-
+-。

证明：将)1ln(x +展开到n 2阶泰勒公式：
1
21
223
2
)
1(12123
2
)1ln(+++++
-
-+
-
=+n n n
x
n n
x
x
x
x x ξ ， 4分
由于余项0
)
1(1211
21
2>++++n n x
n ξ，所以，有
2
3
4
2ln (1)2
3
4
2n
x
x
x
x
x x n
+>-
+
-
+-。

2
分
(11学分) 求幂级数21n
n x
n ∞
=∑
的收敛域及和函数。

解：设t x =2
，先求∑
∞
=1n n
n t
的收敛域。

容易求的收敛半径为1=r
，且当1=t 时级
数
∑
∞
=1
n n n
t
发散，1-=t 时级数∑
∞
=1n n
n t
收敛。

所以∑
∞
=1n n
n t
的收敛域为)1,1[-∈t
即)11[2
，
-∈x ，所以)1,1(-∈x ，即为21
n
n x
n
∞
=∑
的收敛域。

2分
设
∑
∞
==
1
2)(n n
n
x
x s ，
2
1
1
2122)('x
x x
x s n n -=
=∑∞
=-， 2分
)
0(12)(0
2
s dx x
x x s x
+-=
⎰
)1ln(2
x --=。

2
分
七、(本题12分) 考虑方程
)
,3,2,1(sin )2(ln
1
==n x x
n π
在区间
(,)
2
π
+∞上的根.
（1）证明方程
)
,3,2,1(sin )2(ln
1
==n x x
n π
在区间
(
,)
2
π
+∞上有实数根。

（2）证明方程
)
,3,2,1(sin )2(ln
1
==n x x
n π
在区间(
,)
2
π
+∞上的实数根唯一。

（3）设该唯一实根为 n
x ，证明n
n x ∞
→lim 存在，并写出其极限值（无需证明）。

证明：（1）原方程等价于
x
x
n
sin
2ln
=π。

设
x
x
x f n sin )2(ln
)(1
-=π
， 2分
且
1
)2
(
-=π
f ，
0)1()3(ln )2
3
(1
>--=n f π，所以由零值定理知0)(=x f 有实根。

即方程
x
x
n sin )2(ln
1
=π
在区间(
,)
2
π
+∞上有实数根。

2分
（2）当
2
3π≥
x 时，
sin )3(ln )(1
>-≥x x f n ，所以方程在)
,2
3[
+∞π
上无实根。

当
2
3ππ<
≤x 时，0sin ≤x ，
2ln 2ln
>≥πx
，所以0)(>x f 。

2分
因此，方程
0)(=x f 的根只能在)
,2
(ππ
中。

当)
,2(ππ
∈x ，
cos 1)
2(ln
1
)('1>-=
--
x x
x
n x f n
n π
，所以
)
(x f 在
)
,2(
ππ
，因此方程
实根是唯一的。

2分
（3）由于n
x 为
x
x
n
sin )2(ln
1=π
的根，即有
n
n
n
x x sin
2ln
=π
，且
)
,2
(
ππ
∈n x 。

1
分
若n n x x >+1，则π
π
n
n x x 2ln
2ln
1
>+，即
n
n
n n x x si n
si n
11
>++。

而x si n 在)
,2
(
ππ
上是递
减的， 所以
n
n x x sin sin 01<<+，即
n
n
n n
x x sin
sin
01<<+。

所以
1
1
1sin
sin
+++<n n n n
x x ，必
有1sin 1>+n x 矛盾。

所以n n x x ≤+1。

2分
又
)
,2
(
ππ
∈n x 所以n
n x ∞
→lim 存在。

且2
lim π
=
∞
→n n x 。

1分
（证明2
lim π
=
∞
→n n x 可用反证法。

）。