指数函数的图像和性质+课件

则 f(x1)－f(x2)＝a－ 2x1 1 －a＋ 2x2 1 ＝（2x1 1）（2x2 1）.
因为 x1＜x2，所以 2 x1 －2 x2 ＜0，又(1＋2 x1 )(1＋2 x2 )＞0.
所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)．
所以不论 a 为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
即2－2x－－x 1＋m＝－2x2－x 1－m 恒成立．
2m＝－2－2x－－x 1－2x2－x 1＝－1－1 2x－2x2－x 1＝12－x－21x＝－1，解得：m＝
－1，∴存在 2
m＝－12，使得
f(x)为奇函数．
【方法归纳】 (1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题， 可利用奇、偶函数的定义，根据 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)，结合 指数运算性质建立方程求参数； (2)若奇函数在原点处有定义，则可利用 f(0)＝0，建立方程求参数．
还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察．用同样的方 法，在同一直角坐标系内画出函数 y (1)x 的图象，并与函数y
2 ＝2x的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数y＝2x的 图象，画出函数 y (1)x 的图象？
2
新知探究
因为 y (1)x 2x，点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数y＝2x
针对练习
1 x2－2
跟踪训练 1 (1)解不等式 3
≤3.
(2)已知(a2＋2a＋3)x>(a2＋2a＋3)1－x，求 x 的取值范围．
1
解析：(1)
3
＝3 x2－2
2－x2
≤3，∵y＝3x 是 R
上的增1，∴原不等式的解集是{x|x≥1 或 x≤－1}．
学以致用
题型一.利用指数函数的单调性比较大小 例1 比较下列各题中两个值的大小： （1）1.72.5，1.73； （2）0.8 2 ，0.8 3 ； （3）1.70.3，0.93.1． 解：（1）1.72.5和1.73可看作函数y＝1.7x ， 当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值． 因为底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x是增函数． 因为2.5＜3，所以1.72.5＜1.73．
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝a－2x＋1 1(x∈R)． (1)用定义证明：不论 a 为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若 f(x)为奇函数，求 f(x)在区间[1,5]上的最小值．
解析：(1)证明：因为 f(x)的定义域为 R，任取 x1＜x2，
1
1
2x1 - 2x2
【方法归纳】 比较指数幂的大小时，主要应用指数函数的单调性以及图象的
特征，或引入中间数进行比较．
针对练习
练习1：比较下列各题中两个值的大小： （1）6 2 ，7 2 ； （2）0.3－3.5，0.3－2.3； （3）1.20.5，0.51.2．
针对练习
练习1：比较下列各题中两个值的大小： （1）6 2 ，7 2 ； （2）0.3－3.5，0.3－2.3； （3）1.20.5，0.51.2．
【方法归纳】 解指数不等式应注意的问题
(1)形如 ax＞ab 的不等式，借助于函数 y＝ax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a＞1 与 0＜a＜1 两种情况讨论； (2)形如 ax＞b 的不等式，注意将 b 转化为以 a 为底数的指数幂的形 式，再借助于函数 y＝ax 的单调性求解．
偶性，等等．
新知探究
选取底数a的若干值，例如a＝3，a＝4，
a＝1 ， 3
a＝ 14
，利用信息技术
画出图象，如图．
发现指数函数y＝ax的图 象按底数a的取值，可分 为0＜a＜1和a＞1两种类 型．因此指数函数的性 质也可以分0＜a＜1和a ＞1两种情况进行研究， 设计的表格如右表．
抽象概括
0<a<1
∵x1<x2<0，∴0<2 x1 <2 x2 <1，∴2 x2 －2 x1 >0,2 x1 －1<0,2 x2 －1<0，
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减．
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
若 f(x)为奇函数，则 f(－x)＝－f(x)恒成立．
答案：（1）6 2 7 2 ． （2）0.3－3.5＞0.3－2.3． （3）1.20.5＞0.51.2．
学以致用
题型二 利用指数函数的单调性解不等式
例 2 (1)不等式 3x－2＞1 的解集为________． 1
(2)若 ax＋1＞ a 5－3x(a＞0 且 a≠1)，求 x 的取值范围．
题型二 利用指数函数的单调性解不等式 例 2 (1)不等式 3x－2＞1 的解集为________．
2 的图象上任意一点P(x，y)关于y轴的对称点P1(－x，y)都在函数
y
(
1 2
)x
的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象
关于y轴对称．
根据这种对称性，就可以利用一个函数的图
象，画出另一个函数的图象，比如利用函数y ＝2x的图象，画出 y (1)x 的图象．如右图所
2 示．
(2)因为 f(x)在 x∈R 上为奇函数，
所以
f(0)＝0，即
a－20＋1 1＝0，解得
a＝1. 2
所以 f(x)＝12－2x＋1 1，由(1)知，f(x)为增函数，
所以 f(x)在区间[1,5]上的最小值为 f(1)．
因为 f(1)＝12－13＝16，所以 f(x)在区间[1,5]上的最小值为16.
1 (2)若 ax＋1＞ a 5－3x(a＞0 且 a≠1)，求 x 的取值范围．
解析：(1)3x－2＞1⇒ 3x－2＞30⇒ x－2＞0⇒ x＞2，所以解集为(2，＋ ∞)． 答案：(1)(2，＋∞)
1 (2)若 ax＋1＞ a 5－3x(a＞0 且 a≠1)，求 x 的取值范围．
1 解析：(2)因为 ax＋1＞ a 5－3x，所以当 a＞1 时，y＝ax 为增函数，可 得 x＋1＞3x－5，所以 x＜3. 当 0＜a＜1 时，y＝ax 为减函数，可得 x＋1＜3x－5，所以 x＞3. 综上，当 a＞1 时，x 的取值范围为(－∞，3)， 当 0＜a＜1 时，x 的取值范围为(3，＋∞)． 答案： (2)见解析
a>1
图象
定义域 值域
性质
R
(0，+∞)
（1）过定点(0，1)，即x=0时，y=1
（2）减函数
（2）增函数
（3）非奇非偶函数，即无奇偶性
学以致用
题型一.利用指数函数的单调性比较大小 例1 比较下列各题中两个值的大小： （1）1.72.5，1.73； （2）0.8 2 ，0.8 3 ； （3）1.70.3，0.93.1．
解析：(1)f(x)在(－∞，0)上单调递减．
证明：∀ x1，x2∈(－∞，0)，且 x1<x2，
则
f(x1)
－
f(x2)
＝
（
2 x1 2x1 1
m）（
2 x2 2x2 1
m）
＝
2 x1
2 x2
2x1 1 2x2 1
＝
2x（1 2x2 1）
2x（2 2x1 1）
2x2 2x1
（2x1 1）（2x2 1）（2x1 1）（2x2 1）=（2x1 1）（2x2 1），
(2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2＞1，
∴y＝(a2＋2a＋3)x 在 R 上是增函数．∴x＞1－x，解得 x＞1. 2
| ∴x
的取值范围是
x
x＞1 2
.
学以致用
题型三 指数函数性质的综合应用 例 3 已知函数 f(x)＝2x2－x 1＋m，m∈R. (1)判断函数 f(x)在(－∞，0)上的单调性，并证明你的结论． (2)是否存在 m，使得 f(x)为奇函数？若存在，求出 m 的值；若不存 在，请说明理由．
指数函数的图象和性质
新知探究
问题1 首先画出指数函数的图象，我们先从简单的函数y＝
2x开始．请同学们利用计算器完成x，y的对应值表，并用描
点法画出函数y＝2x的图象．
x
y
-2
0.25
-1.5
0.35
-1
0.5
-0.5
0.71
0
1
0.5
1.41
1
2
1.5
2.83
2
4
新知探究
问题2 为了得到指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质，我们
学以致用
例1 比较下列各题中两个值的大小： （1）1.72.5，1.73； （2）0.8 2 ，0.8 3 ； （3）1.70.3，0.93.1． 解： （2）同（1）理， 因为0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x是减函数． 因为 2 3，所以0.8 2 0.8 3 ．
学以致用
例1 比较下列各题中两个值的大小： （1）1.72.5，1.73； （2）0.8 2 ，0.8 3 ； （3）1.70.3，0.93.1． 解：（3）由指数函数的特性知1.70.3＞1.70＝1，0.93.1＜0.90＝1， 所以1.70.3＞0.93.1．
新知探究
问题3 选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值，例如a＝
3，a＝4， a＝1 ， a＝1 在同一直角坐标系内画出相应的指数
3
4
函数的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们
有哪些共性？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写
出指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域、值域、单调性、奇